Mécanique Analytique PDF

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Notes de cours de Mécanique Analytique...

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I. Introduction L’évolution de la physique depuis ces débuts (dans l’antiquité) a conduit à une séparation du monde qui nous entoure en classe de phénomènes, chacune régit par un ensemble de lois bien spécifiques : celle de la mécanique classique, de l’électromagnétisme, de la thermodynamique ème siècle. Cependant un certain nombre de etc. C’était tout au moins la situation à la fin du 19 phénomènes restaient inexplicables dans le cadre de ces théories (notamment lorsque ces phénomènes étaient faisaient intervenir plusieurs de ces théories). Par exemple, lors de l’étude du spectre d’émission de certains gaz, comme l’hydrogène, les physiciens observaient des fréquences (couleurs) spécifiques et non un spectre continue comme celui de la lumière dite « blanche». On avait pu établir des règles empiriques (loi de Balmer-Rydberg-Ritz) pour décrire ces spectres de « raies » mais aucune des théories physique de l’époque ne permettait de comprendre ces règles empiriques. Un autre exemple concerne l’atome d’hydrogène. Dès lors qu’on sut qu’il était constitué d’un électron (de charge électrique négative) et d’un noyau (de charge positive) on tenta de le décrire soit par un modèle de type Thomson, puis par un modèle planétaire (dit de Rutherford) lorsqu’il s’avéra que le premier ne rendait pas compte des expériences de diffusion. Cela nécessitait l’utilisation des lois de la mécanique (Newtonienne) et de l’électromagnétisme (de Maxwell). Or on savait depuis longtemps que toute charge accélérée placée dans un champ électromagnétique extérieur (comme l’est l’électron de l’atome d’hydrogène soumis au champ créé par le noyau) rayonne, et donc perd de l’énergie. Par conséquent le modèle planétaire de l’hydrogène ne pouvait pas décrire un atome stable ! Cette ème contradiction très forte est à l’origine d’une des théories fondamentales de la physique du 20 siècle : la mécanique quantique. Cette dernière élucidera au passage les différents problèmes insolubles par les théories classiques, comme les spectres de raie ou la catastrophe ultraviolette (impossibilité d’interpréter le rayonnement d’un corps noir par les théories « classiques »). Parallèlement à ces découvertes (en fait bien avant), une formulation alternative de la mécanique classique avait été proposé. Cette formulation, bien qu’un peu plus restrictive que la formulation newtonienne avait l’intérêt d’offrir un cadre mathématique très précis à la mécanique classique. Notamment elle permettait de comprendre comment les propriétés d’invariances (continues) d’un système étaient canoniquement liées à des quantités conservées, chose très délicate à mettre en évidence en formalisme newtonien. Mais ce qui fit (et fait encore) le grand intérêt de ce formalisme dit ANALYTIQUE de la mécanique est qu’il aura un rôle fondamental dans l’élaboration de la nouvelle théorie qu’est la Mécanique Quantique ainsi que dans TOUTe la physique moderne, que ce soit la Relativité Restreinte, et donc l’électromagnétisme de Maxwell, la Relativité Générale, et toutes la Théorie Quantique des Champs sur laquelle se base toute la physique des particules modernes dont le Higgs est un des avatar. Nous nous proposons donc de présenter dans un premier temps la mécanique analytique dans sa formulation lagrangienne puis hamiltonienne. Dans un second temps nous reviendrons sur certains des phénomènes, dits « quantiques », ainsi que sur l’introduction de la mécanique ondulatoire qui en découle et nou tenterons de montrer l’intérêt que revet la Mécanqiue Analytique. Nous laisserons l’auditoire aux portes de la nouvelle théorie qu’est la Mécanqiue Quantique.

II. Mécanique Analytique. Comme nous le signalions dans l’introduction, la mécanique analytique est une approche alternative à la mécanique newtonienne. Nous en étudierons dans ce cours deux formes : la mécanique lagrangienne et la mécanique hamiltonienne. Le formalisme lagrangien a pour lui l’avantage d’une certaine naturalité et surtout il permet de mettre en place un théorème, dit théorème de Noether, qui établit le lien entre invariances (symétries) et quantités conservées des systèmes mécaniques. Quant au formalisme hamiltonien, s’il permet aussi de caractériser de façon simple les quantités conservées, il a surtout la vertu d’être un formidable outil, via le principe de correspondance, pour définir une méthode de quantification des systèmes classiques. Enfin nous montrerons comment le formalisme lagrangien s’inscrit dans une approche plus générale, l’approche variationnelle, dont Fermat fut l’un des inventeurs avec le Principe qui porte son nom. Mais à tout seigneur tout honneur, commençons par l’approche lagrangienne.

1) Formalisme lagrangien. L’intérêt d’un formalisme analytique réside fondamentalement dans le fait que les lois de Newton sont des lois vectorielles. Or on savait depuis longtemps que dans de très nombreux cas, les équations du mouvement peuvent être obtenues par l’intermédiaire de l’énergie, via l’intégrale première de celle-ci, c'est-à-dire à partir d’une quantité scalaire. Il est donc relativement naturel de se demander si l’on peut toujours retrouver les équations du mouvement de la mécanique à l’aide d’une quantité scalaire. Bien que la réponse soit en général négative, nous allons voir que dans une de très nombreux cas (importants) elle est positive et que les conséquences en sont très intéressantes.

a- Rappels. Nous devons tout d’abord faire un certains nombres de rappels sur le cadre théorique de la mécanique newtonienne. Dans cette approche, l’espace physique est supposé être ℝ . C’est une espace de points dans lequel les évènements physiques (mécaniques) prennent place et se déroulent. On suppose que cet espace est munit d’une distance euclidienne ainsi que d’une mesure d’angle. De plus on suppose que l’on repère les évènements physiques à l’aide d’un temps (une horloge) universelle. Cela veut dire que si l’on a deux horloges différentes que l’on synchronise à instant donné, elles resteront synchronisées quel que soit leur situation dans cette espace. De



manière plus mathématique, on associe à l’espace physique ℝ un espace vectoriel, noté ici ℝ , mais qui lorsqu’on choisit un point origine, usuellement noté , dans ℝ s’identifie à ℝ ! Ceci crée malheureusement une grande confusion que nous éviterons dans cette introduction, en différenciant



les deux espaces. On attache ensuite à ℝ un produit scalaire euclidien qui permet de calculer les distances et les angles dans ℝ . On parle souvent d’un repère dans l’espace lorsqu’on caractérise

 une base de l’espace vectoriel ℝ et qu’ensuite on attache un système d’axes en canoniquement associés à cette base. Autrement dit chaque axe du repère en pointe dans une direction d’un des vecteurs de la base. Le repère sera dit cartésien si la base est orthonormée directe. Enfin on parle de référentiel ou d’observateur si en plus d’un repère on se donne une horloge permettant de différencier les évènements physiques. Nous n’envisagerons ici que des référentiels cartésien, c'est-à-dire ceux ayant un repère cartésien, et nous els qualifierons simplement de

(

référentiel (ou d’observateur). Nous noterons d’ambigüité) un référentiel, et

(

  

utiliser la convention traditionnelle :

)

)

(ou simplement

s’il n’y a pas

la base orthonormée directe associée. On pourra aussi

), (

(

  

).

On rappelle donc que la métrique euclidienne est universelle ainsi que l’horloge ! Autrement dit, quel que soit le référentiel la distance entre deux points est toujours la même (est absolue) et le temps séparant deux évènements l’est aussi (du moment que l’on s’est mis d’accord sur l’unité de temps). Notons également que la notion de référentiel est suffisamment large pour que deux observateurs puissent être en mouvement l’un par rapport à l’autre. Ceci pose d’ailleurs immédiatement la question du mouvement absolu. En fait si l’on croit à l’existence de l’espace physique ℝ comment entité physique, alors on peut parler de point de cet espace qui seront fixes les uns par rapport aux autres. Mais si maintenant on dit que nous n’avons accès à cet espace que par l’intermédiaire de ces propriétés ou plutôt de ce qui se passe dedans alors on ne peut considérer que des observateurs (des référentiels) et la notions de référentiels absolus devient plus flou (relative). Or nous voulons étudier le mouvement (déplacement) d’objets physiques, ayant une masse inerte donc, dans l’espace. Plus précisément nous voulons étudier le déplacement des masses par rapport à nous, observateurs, dans notre référentiel, sans vraiment savoir si nous-mêmes sommes en mouvement dans notre espace physique. La mécanique newtonienne précise cependant les choses en définissant une classe particulière de référentiels : les référentiels d’inertie. On dit qu’un référentiel est d’inertie si lorsqu’un système mécanique au repos à un instant donné et soumis à aucune action extérieure (nous disons force habituellement) reste au repos. Dans ces référentiels particuliers, on définit alors la théorie newtonienne par l’équation fondamentale bien connue :



 = γ .

(0.1)

 Dans l’équation (0.1), la quantité s’appelle la force extérieure appliquée au système. C’est une quantité vectorielle qui caractérise l’ensemble des actions sur le système mécanique étudiée. Ces actions se font à distance et sont très mystérieuses. La quantité s’appelle la masse INERTE du système étudiée. Bien qu’aucune expérience n’est jusqu’à présent permis de les différencier numériquement, il ne faut pas la confondre avec la masse grave, c'est-à-dire la quantité  caractérisant l’action du champ de gravitation sur le système. Enfin, la quantité γ s’appelle l’accélération du système et elle caractérise l’évolution de la vitesse du système au cours de son mouvement. Avant de passer aux quantités scalaires, notons plusieurs choses. Tout d’abord, par hypothèse, les forces extérieures sont universelles. C'est-à-dire qu’elles ont la même expression dans tous les référentiels (qu’ils soient d’inertie ou pas !). La masse inerte est aussi une quantité

universelle. Or l’accélération ne l’est pas. Par suite, l’équation (0.1) est fortement dépendante du référentielle. C’est d’ailleurs ce que dit la phrase « dans un référentiel d’inertie, on a : (0.1)». On notera alors que l’accélération, bien que dépendant du référentiel, ne dépend pas du référentiel d’inertie. Ainsi l’accélération du système sera la même dans tout référentiel d’inertie. Ceci se confirme lorsqu’on calcul la loi de transformation des vitesses puis des accélérations par changement de référentiel. La conséquence de tout cela est que par passage d’un référentiel d’inertie à un référentiel non inertiel, l’accélération (mais pas la force extérieure qui elle est invariante) va produire des termes supplémentaires. Ces termes pourront être alors réorganisés et interprétés à leur tour comme des forces, qu’on appellera forces inertielles. On distingue la force d’inertie d’entrainement et celle de Coriolis. Du point de vue de la terminologie, on devrait dire que deux référentiels sont galiléens l’un par rapport à l’autre si l’un est inertiel et si l’autre est en translation rectiligne et uniforme par rapport à celui-ci. On montre facilement qu’alors ce second référentiel est aussi inertiel. Inversement si deux référentiels sont inertiels alors ils sont en translation rectiligne et uniforme l’un par rapport à l’autre et donc galiléens l’un par rapport à l’autre. Par suite on confond la notion de référentiel galiléen et inertiel. Pour finir rappelons que deux référentiels galiléens étant en translation rectiligne et uniforme



l’un par rapport à l’autre, si l’on note

du premier par rapport au second, on aura :



=





+

,

(0.2)

et pour les vitesses puis les accélérations des systèmes :



=



+







, γ =γ .

(0.3)

b- De l’énergie au lagrangien. Les équations de Lagrange. Comme nous le rappelions dans l’introduction, on savait que dans de nombreux cas il est possible de retrouver les équations du mouvement (obtenues à partir de (0.1)) à l’aide de l’intégrale première de l’énergie. Par exemple, dans le cas d’un oscillateur harmonique à une dimension (tel qu’un ressort au bout duquel est accrochée une masse ) on sait que l’énergie totale, constituée de l’énergie cinétique plus l’énergie potentielle s’écrit sous la forme :

ɺ +

, de sorte qu’en

= , on obtient bien ɺɺ + ω

écrivant la conservation de cette énergie :

ω=

=

= , avec

. Nous allons reprendre ici cette idée en la généralisant. Nous resterons cependant dans

le cadre de la mécanique du (ou des) point matériel. Soit donc un système ponctuel de masse référentiel galiléen

(

dont l’évolution dans le temps est observé dans un

) . Par définition, l’énergie cinétique du système s’écrit : =



=

∑ɺ =

.

(0.4)

Montrons que cette énergie cinétique est directement liée à l’accélération du système. Pour cela nous allons considérer les ɺ comme des variables dont

∂ ∂  =  ∂ɺ ∂ɺ 

dépend et dériver par rapport à celles-ci :

 = 

∑ɺ =

∂ɺ

∑ ∂ɺ

.

(0.5)

=

Or

∂( ɺ ɺ ∂ɺ = ∂ɺ ∂ɺ

) = ∂ɺ

ɺ +ɺ

∂ = ∂ɺ

∑

∂ɺ

∂ɺ =δ ɺ + ɺ δ = δ ɺ . ∂ɺ

(0.6)

δ ɺ =

(0.7)

D’où :

ɺ.

=

Par suite :

∂   =  ∂ɺ 

ɺɺ .

(0.8)

On notera bien la différence entre les dérivations rondes et la dérivée droite. Les dérivées partielles se font par rapport à des variations infinitésimales de la vitesse du système alors que la dérivée droite se faite pour une variation de temps pendant laquelle la vitesse (entre autre) a varié. Nous reviendrons plus loin sur cette subtilité qui est d’une importance capitale ! Notons enfin qu’ici, la fonction de dépend que de la vitesse et pas des positions. C’est la raison pour laquelle nous avons dérivées sans soucis par rapport aux ɺ . Notons aussi que temps. Par suite ∂

∂ =

≠

tandis que

ne dépend jamais explicitement du

(le vérifier). Ceci montre bien la subtilité dont

nous parlions précédemment. Supposons maintenant que notre point matériel soit soumis à un potentiel extérieur

( ).

On retrouve bien entendu la force extérieure associée qui agit sur le système en écrivant :



 = −∇ .

(0.9)

On remarquera l’abus de langage lorsqu’on parle du potentiel

( ) . On devrait

dire l’énergie

potentielle dont dérive la force extérieure. Notons que nous ne considérons pour l’instant qu’un potentiel ne dépendant que des positions. Le principe fondamental de la dynamique (0.1) prend alors la forme, après projection sur les axes du référentiel et en utilisant (0.8) :

=−

∂ = γ = ∂

ɺɺ =

∂   ,  ∂ɺ 

(0.10)

soit :

− Or comme

ne dépend pas des

∂ ∂

=

(0.11)

:

∂ ∂ Et de la même façon, comme

∂   . ∂ ɺ 

= .

(0.12)

ne dépend pas des ɺ :

∂ = . ∂ɺ

(0.13)

Par conséquent, si nous introduisons la quantité :

= −

,

(0.14)

l’équation (0.11) prend alors la forme

∂  ∂ =  −  ∂ɺ  ∂ Pour

=

. La quantité

,

(0.15)

s’appelle le LAGRANGIEN du système et les équations (0.15) les

équations de Lagrange. Par construction elles sont équivalentes aux équations du mouvement du formalisme newtonien. Avant d’essayer de généraliser penchons-nous sur la natures des quantités ɺ par rapport aux

. Tout d’abord rappelons qu’il y a une confusion de notations dans les

eux-mêmes. En effet,

on note de la même façon le système de coordonnées et les coordonnées du système physique à un instant donné. Or ce sont ces dernières quantités qui nous intéressent et que sont censés déterminées les équations du mouvement. Ainsi, les désignent la position du système. Par conséquent :

sont des fonctions de

ɺ ≡

lorsqu’elles

. Ces dernières quantités ont

également une interprétation intrinsèque. Rappelons que nous avons dit qu’à notre espace physique



nous pouvons associer un espace vectoriel, noté ℝ . En fait, ce que nous avons fait c’est définir une espace vectoriel en chaque point de notre espace physique ℝ , ou plus particulièrement, pour chaque observateur. Cet espace vectoriel s’appelle l’espace tangent à l’espace physique en ce point (ou tangent de l’observateur). Cet espace tangent étant vectoriel on peut le munir d’une base. C’est justement notre base cartésienne. Et comme nous travaillons, par hypothèse, dans l’espace physique (plat), ℝ , cette base s’étend canoniquement en tout point de ℝ , de sorte qu’on peut la dessiner partout dans cet espace. C’est d’ailleurs ce qu’on fait intensivement en mécanique. On peut très facilement se rendre compte que cette propriété n’est pas vraie pour tout espace. Par exemple, supposons que notre espace soit à deux dimensions et plus précisément la sphère à deux

dimensions,

. En dessinant cette sphère dans l’espace à trois dimension, pour mieux la visualiser,

on voit immédiatement, que les différent espaces tangents de ne coïncident pas ! Par suite si l’on met une base dans un tangent en un point, il faut expliquer quelle règle on choisit pour la relier à une base du tangent en un autre point de la sphère. Il n’y a en général pas « universalité » des bases des espaces tangents à un espace. Une autre façon de voir le problème est de se rappeler que tous les espaces vectoriels (réel) de dimension finie sont isomorphes à ℝ . Cependant les isomorphismes ne sont pas canoniques. C'est-à-dire qu’il n’existe aucun isomorphisme canonique reliant à la base standard de ℝ à celles des espaces vectoriels réels de dimension . C’est pour cette raison que les coordonnées d’un vecteur dépendent de la base choisie pour les écrire ! Pour en revenir à nos variables ɺ , nous devrions les comprendre comme étant les composantes d’un vecteur tangent à notre espace aux points de coordonnées vue, les variables

( ) . De ce point de

et ɺ sont totalement indépendantes. Du coup la façon de comprendre (0.15)

≡

est la suivante. On considère la fonction

(

ɺ ) , fonction de six variables indépendantes

(fonction sur ce qu’on appelle le fibré tangent de l’espace physique) ; on calcul alors les dérivées partielles de

par rapport à chaque variables

et ɺ ; on considère ensuite les

et ɺ comme

« tant la position et les vitesses du système et on écrit finalement (0.15). Bien entendu, une fois qu’on a compris la démarche, on ne fera plus tous ces détails : on se contentera de considérer les variables

et ɺ comme indépendantes ET représentant les positions et la vitesse du système dans

(0.15). Afin de généraliser (0.15), commençons par noter que l’énergie cinétique une fonction des ɺ et seulement des ɺ :