MEDIÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE SÓLIDOS EM ROTAÇÃO PDF

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EXP. IV – MEDIÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE SÓLIDOS EMROTAÇÃOIntrodução : O momento de inércia I de uma partícula desempenha, no movimento de rotação, o mesmo papel que a massa desempenha no movimento de translação; ele é definido, para uma partícula de massa m, como:I = mr 2em que r é a distância da...

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EXP. IV – MEDIÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE SÓLIDOS EM ROTAÇÃO Introdução: O momento de inércia I de uma partícula desempenha, no movimento de rotação, o mesmo papel que a massa desempenha no movimento de translação; ele é definido, para uma partícula de massa m, como:

I = mr 2 em que r é a distância da partícula ao eixo de rotação. Para um sistema de N partículas, tem-se: N

I=

∑m r

2

i i

i= 1

Se a distribuição de massa for contínua, então: I = ∫ r 2 dm = ∫ ρr 2 dV

e a integral é estendida ao corpo todo. A segunda lei de Newton aplicada a um corpo rígido em rotação, em torno de um eixo fixo, é dada por:

τ = Iα em que τ é o torque resultante aplicado ao corpo e α é a aceleração angular, relativamente ao eixo fixo. Considere o seguinte arranjo experimental: eixo disco

M fio

polia

suporte mesa

porta-peso m Figura 1 – Arranjo experimental para estudo do Momento de Inércia

Aplicando a segunda lei de Newton para a massa pendente, obtém-se: mg – T = ma, 2

onde g é a aceleração da gravidade local, (9,782028 ± 0,000023) m/s , T é a tensão no fio e a é a aceleração linear do fio e, por conseguinte, da massa pendente e dos pontos

da periferia da polia fixa no disco. O torque, τ, aplicado no disco pela tensão, T, é dado por: τ = rT, r r r r r pois τ = r × T e, como r ⊥ T , segue que τ = rT. Aplicando a segunda lei de Newton, tem-se: τ = rT = Iα , onde I é o momento de inércia do disco, α é a aceleração angular, r é o raio da polia em que se enrolou o fio e T é a tração no fio quando o disco gira. Das equações anteriores e considerando que α = a/r, obtém-se:

I =

m(g − a)r 2 a

Para medir a aceleração a é suficiente observar que a massa pendente se desloca com essa aceleração (constante) a partir de uma altura h, portanto, indicando com t o tempo de queda da massa pendente: h =

1 2 at 2

ou

a =

2h . t2

Logo,

  gt 2 I = mr 2  − 1   2h Pode-se mostrar que se algum objeto, de momento de inércia I΄, for colocado sobre o disco, obtém-se:  g t *2  I * = I + I ′ = mr 2  − 1  2h  Portanto, uma vez medidos os tempos de queda da massa pendente na configuração com o objeto sobre o disco e com o disco sem objetos, t* e t respectivamente, pode-se medir I΄ indiretamente através do modelo de medição:

I′ =

mr2 g 2 2 (t * − t ) 2h

Obs: Para uma barra homogênea e uniforme de dimensões laterais A e B e pequena espessura, em rotação relativamente ao eixo de simetria perpendicular a superfície maior da barra, o calculo do momento de inércia através da integral retorna: I=

M ( A 2 + B 2) , onde M é a massa da barra. 12...