Medidas de dados agrupados e Relação entre média, mediana e moda PDF

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Summary

Média populacional
Média amostral
Mediana
Moda
Valor discrepante
Distribuição de frequências
Relação entre média, mediana e moda
Simetria
Uniforme ou retangular
Negativamente assimétrica
Positivamente assimétrica
Tipos de distribuiçõ...

Description

MEDIDAS DE POSIÇÃO DE DADOS AGRUPADOS E RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA, MEDIANA E MODA Quando resumimos dados por meio de tabelas de frequências obtemos mais informações sobre o comportamento de uma variável do que a própria tabela de dados brutos. Muitas vezes queremos resumir ainda mais estes dados, apresentando um ou alguns valores que sejam representativos da série toda. Uma medida de posição é um valor calculado para representar um conjunto de dados. As três medidas de posição mais comuns são a média, a mediana e a moda. Média A média (ou média aritmética) de um conjunto de dados é a soma de todos os dados dividida pela quantidade total de dados. Para encontrar a média de um conjunto de dados, usamos uma das fórmulas a seguir: ∑x

Média populacional: μ =

N

,

∑x

Média amostral: x =

n

Exemplo 1 Suponha que temos parafusos embalados em caixas rotuladas contendo 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores 98, 102, 100, 100, 99, 97, 96, 95, 99 e 100. Para essas caixas o número médio de parafusos será: Solução:

x 98 + 102 + 100 + 100 + 9910+ 97 + 96 + 95 + 99 + 100 = 986 10 = 98, 6 Assim, em média, as caixas contém 98,6 parafusos.

Mediana A mediana de um conjunto de dados é um valor que está no meio dos dados quando o conjunto de dados é ordenado. Se o conjunto de dados tem um número ímpar de dados, a mediana é o dado do meio. Se o conjunto de dados tem um número par de entradas, a mediana é a média das duas entradas do meio.

Exemplo 2 Colocando os dados do exemplo anterior em ordem crescente, obtemos 95, 96, 97, 98, 99, 99, 100, 100, 100 e 102. Neste caso, o número de dados é 10, um número par, tomamos a mediana como a média dos dois valores que ocupam a posição central. Assim, a mediana é: Solução:

M ediana =

99+99 2

= 99

Note que, se agora usamos a caixa que tem 95 parafusos, a mediana ainda será 99. Moda E o valor do conjunto de dados que ocorre com maior frequˆencia. Se nenhum valor é repetido, o conjunto de dados não tem moda. Se dois valores ocorrem com a mesma frequência, os dois são considerados como moda e o conjunto  é chamado de bimodal. Exemplo 3 Dos dados do exemplo 1 é imediato que o valor mais frequente é 100 e assim a moda é 100. Valor Discrepante É aquele dado que está muito afastado dos outros valores dentro do conjunto. Um conjunto de dados pode ter um ou mais valores discrepantes, causando lacunas na distribuição. As conclusões tomadas de um conjunto de dados com valores discrepantes podem conter falhas. Embora a média, a mediana e a moda descrevem valores típicos de um conjunto de dados, há vantagens e desvantagens no uso de cada uma delas. A média é uma medição

confiável, pois leva em conta cada entrada dos dados, mas pode ser afetada quando o conjunto de dados têm valores discrepantes.

Exemplo 4 A tabela abaixo apresenta uma amostra de idades de uma turma. Encontre a média, a mediana e a moda. Qual medida melhor descreve esse conjunto de dados? Há valores discrepantes?

Solução: ∑x

Média: x =

n

=

535 21

= 25, 47

Mediana: o valor central é 22. Moda: O valor com maior frequência é 20. Note que o conjunto de dados tem um valor discrepante, assim a média  é influenciada por esse valor já que leva em consideração todos os dados. A mediana leva em consideração todos os dados e não é afetada pelo valor discrepante. Finalmente, a moda existe mas não parece representar um valor típico. Algumas vezes, a comparação gráfica pode ajudar a decidir qual medida representa melhor o conjunto de dados.

Exemplo 5 Remova o valor discrepante do exemplo 4. Então, refaça o exemplo. Como a ausˆencia do valor discrepante muda cada uma das medidas? Média Quando agrupamos dados em uma distribuição de frequências, utilizamos o ponto médio de cada classe como aproximação de todos os valores dentro dessa classe. Assim, as equações para a média da população e da amostra é:

μ=

∑ (f x c) ∑f

=

∑ (f xc ) N

e

x=

∑ (f x c) ∑f

=

∑ (f xc ) n

Onde xc representa o ponto médio de cada classe.

Exemplo 6 A Tabela 1 apresenta os salários de 36 empregados da Companhia MB como fração do salário mínimo. Calcular a média. Tabela 1: Frequências para a variável Salário

Solução: Na Tabela 1 adicionamos a coluna que contém os valores xc e f i xc . O cálculo final é imediato.

Assim, μ =

∑ (f xc ) N

=

404 36

= 11, 22.

Mediana Para dados agrupados, é necessário determinar a classe que contém a mediana. Então, determinamos sua posição mediante interpolação. A classe que contém a mediana ´é aquela cuja frequˆencia acumulada iguala ou excede a metade dos dados. Finalmente a mediana é calculada usando a equação.

M ed = Ll + ( onde:

N/2−F a f c )Δ,

➔ Ll : limite exato inferior da classe que contém a mediana. ➔ N : número total de dados da população ( n se fosse amostra). ➔ F a : frequência acumulada da classe anterior à classe que contém a mediana. ➔ f c : número de dados dentro da classe que contém a mediana. ➔ Δ : amplitude do intervalo que contém a mediana.

Exemplo 7 Na tabela 2 repetimos os dados do Exemplo 6 com a coluna das frequências acumuladas F i . Calcular a mediana. Tabela 2: Tabela 2: Frequˆencias para a variável Salário

Solução: Note que a mediana ocupa a posição 36/2 = 18. Assim, a mediana está contida na segunda classe. A classe cuja frequência acumulada é menor que 18 é a primeira classe. Então: ➔ Ll = 8 ➔ N = 36 ➔ F a = 10 ➔ f c = 12 ➔ Δ=4 Finalmente, temos: M ed = 8 + ( 36/2−10 ) 4 = 10, 67. 12 Moda Para dados agrupados em classes, primeiro identificamos a classe que contém a moda determinando qual tem a maior frequência absoluta ( f i ) . Então, interpolamos dentro da classe modal com a equação d

M oda = Ll + ( d +d1 )Δ, 1

2

onde: ➔ Ll : limite inferior da classe que contém a moda. ➔ d1 : diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe anterior. ➔ d2 : diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe seguinte. ➔ Δ : amplitude do intervalo modal.

Exemplo 8 Com referência à Tabela 2, calcular a moda. Solução: Note que a moda está na segunda classe, já que tem maior frequência absoluta, f 2 = 12. Por outro lado, temos: Ll = 8 d1 = 12 − 10 = 2 d2 = 12 − 8 = 4 Δ=4 2 )4 = 9, 33. Finalmente, temos: M oda = 8 + ( 2+4

Relação entre média, mediana e moda As diferenças entre os valores da média, mediana moda permitem saber a forma do histograma (ou curva) de frequências em termos de assimetria. Definição 1. Uma distribuição de frequências é simétrica se desenhamos uma linha vertical no meio do gráfico e as metades resultantes são aproximadamente iguais. 2. Uma distribuição de frequências é uniforme ou retangular quando todas as classes tˆem frequˆencias iguais ou aproximadamente iguais. Uma distribui¸c˜ao uniforme tamb´em ´e sim´etrica. 3. Uma distribuição de frequências é assimétrica se a “cauda”do gráfico se alonga mais em um dos lados. Se a cauda se estende à esquerda então

é chamada de

negativamente assimétrica. Se a cauda se estende à direita

é chamada de

positivamente assimétrica.

Tipos de Distribuições...