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BLOQUE II. ANÁLISIS DE UNA VARIABLE: MEDIDAS DE POSICIÓN. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

MEDIDAS DE POSICIÓN (Resumen) -. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA, MEDIANA Y MODA -. MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES: CUANTILES

MEDIDAS DE DISPERSIÓN (de Representatividad) -. DISPERSIÓN O VARIABILIDAD -. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS -. MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVAS

ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE POSICIÓN (o Resumen)

•

En el tema anterior ... 1

⋮

1

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1

0

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•

En este tema ... – Obtener una serie de medidas y/o coeficientes, que nos permitirán resumir los datos, que nos permitirán intuir el comportamiento de la variable objeto de estudio.

ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE POSICIÓN (o Resumen)

MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

PROMEDIOS (O MEDIAS)

MEDIANA

MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL

MODA

LOS CUANTILES: -. CUARTILES

MEDIA ARITMÉTICA MEDIA GEOMÉTRICA

-. DECILES -. PERCENTILES

MEDIA ARMÓNICA

ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA EJEMPLO 1:

Si tenemos el siguiente conjunto de datos ... 10, 9, 8, 10, 9, 9, 10, 9, 10, 9

... y deseamos encontrar un valor resuma y represente a todo el conjunto: (...) seguramente lo primero que se os ocurriría es sumar todos los valores y dividirlos entre el número total de datos. 10 9 8 10 9 9 10 9 10 9 10 A este valor se le 8 9 5 10 4 9, 3 denomina MEDIA 10 ARITMÉTICA. ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA MEDIA ARITMÉTICA = cociente entre la suma de todos los valores

observados de la variable y el total de datos  Datos sin agrupar: 1

1

2

∑

⋯

2

∑

 Si las frecuencias absolutas de los valores de la variable son unitarias (todas iguales a 1): 1

2

⋯

1 ⇒

1

2

⋯

∑

 Datos agrupados en intervalos:  Se calcula del mismo modo, pero utilizando, en este caso, la marca de clase o punto medio del intervalo como valor observado de la variable EJEMPLOS

ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA EJEMPLO 2: Tras encuestar a 25 familias sobre el número de hijos que

tenían, se obtuvieron los siguientes datos:

Nº hijos

(xi)

0 1 2 3 4 TOTAL

Nº familias

(ni)

5 6 8 4 2 N = 25 familias

0 5 1 6 2 8 3 4 4 2 25

0 5 0 1 6 6 2 8 16 3 4 12 4 2 8

Es decir, las familias encuestadas tienen un número medio de hijos de 1'68.

42 hijos

0 6 16 12 8 25

42 1, 68 hijos 25 ESTADÍSTICA APLICADA

PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA EJEMPLO 3: Se han observado los pesos (en kg.) de 5 estudiantes.

Siendo éstos los siguientes: 54, 59, 60, 63, 64

peso (x i)

Nº estudiantes

(ni)

54 59 60 63 64

1 1 1 1 1

54 1 54

Total = 300 kilos

N = 5 estudiantes

300 kilos

59 1 59 60 1 60 63 1 63 64 1 64

54 59 60 63 64 5

Es decir, los estudiantes encuestados tienen un peso medio de 60 kg

300 5

60 kg ESTADÍSTICA APLICADA

PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA EJEMPLO 4: Se han observado los pesos (en kg.) de 100 estudiantes,

cuyos resultados se presentan agrupados en intervalos en la siguiente tabla de frecuencias:

Peso

Nº estudiantes 1

Li-1 - Li

(ni)

30 - 40 40 - 50 50 - 60

30 20 50

Total

2 (30+40) / 2 = 35 (40+50) / 2 = 45 (50+60) / 2 = 55

35 30 1050 45 20 900 55 50

N = 100

35 30 45 20 55 50 100

2750 4700

1050 900 2750 100

4700 100

47 kg

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ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA:

1.

MEDIA ARITMÉTICA = CENTRO de GRAVEDAD de la distribución:  La suma de las desviaciones (diferencias) de los valores de la

variable con respecto a su media es igual a cero.

( 2.

1

)

1

(

2

)

2

⋯ (

)

0

EJEMPLO 6

La MEDIA ARITMÉTICA se ve afectada por CAMBIOS de ORIGEN:  Si a todos los valores de la variable le sumamos (o restamos) un

valor constante K (un número positivo), la media queda aumentada (o disminuida) en ese número.

⇒

EJEMPLO 7

ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

EJEMPLO 6

125

MEDIA ARITMÉTICA = CENTRO DE GRAVEDAD DE LA DISTRIBUCIÓN

100

nº de años Frecuencia 11 4 12 62 13 62 14 86 15 89 16 121 17 45 21 18 19 7 20 1 Total 498

Porcentaje ,8 12,4 12,4 17,3 17,9 24,3 9,0 4,2

Frecuencia

Edad 75

50

25

1,4 ,2 100,0 0 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Edad

11 4 12 62 13 62 14 86 ⋯ 19 7 20 1 498

14, 8

22

Peso

M. Clase

frec

Fr. acum.

40 – 50

45

5

5

50 – 60

55

10

15

60 – 70

65

21

36

70 - 80

75

11

47

80 - 90

85

5

52

90 - 100

95

3

55

100 – 130

115

3

58

45 5 55 10 … 115 3 58

MEDIA = CENTRO DE GRAVEDAD

69, 3

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA EJEMPLO 7: La siguiente tabla recoge las calificaciones obtenidas por un

alumno en las 10 asignaturas cursadas en el 1er. año de carrera:

Nota media:

calificación

Nº asignaturas

(xi)

(ni )

5,5 6 6,5 7 7,5

3 2 2 1 2

16,5 12 13 7 15

N = 10

63,5

Total

63, 5 10 Si

6, 35 puntos 1 ⇒

6, 35 1 7, 35

Los profesores, de forma unánime, han decidido aumentar la nota del alumno en 1 punto en cada una de sus asignaturas, como premio a su buen comportamiento en clase: ¿nueva nota media?

1

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA:

3.

La MEDIA ARITMÉTICA se ve afectada por CAMBIOS de ESCALA:  Si a todos los valores de la variable le multiplicamos (o

dividimos) por un valor constante K (un número), la media queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. EJEMPLO 8

⇒ 4.

CAMBIOS de ORIGEN y de ESCALA  TRANSFORMACIÓN LINEAL de la variable:

donde:

y

⇒ son constantes ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA EJEMPLO 8: La siguiente tabla recoge el número de horas semanales

que dedican al estudio una muestra de 120 alumnos:

Nº horas

Nº alumnos

Li-1 - Li

(ni)

2– 4 4– 6 6 – 10

60 40 20

Total

1

2 6/2=3 10 / 2 = 5 16 / 2 = 8

3 60 180 5 40 200 8 20 160 540

N = 120

Nº medio de horas de estudio: ¿Cuál sería el tiempo medio dedicado al estudio expresado en minutos?

540 120 Si

4, 5 horas 60 ⇒ 4 , 5 60

60

270 minutos

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ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA:

5.

 Si de un conjunto de valores obtenemos 2 o más subconjuntos

disjuntos, entonces la media aritmética del conjunto total se relaciona con las medias de distintos subconjuntos disjuntos de la siguiente forma: 1 1

1

2

2

⋮

⋮

2

2 1

⋮ 1

1

⇒

1

⇒

⇒

2

⇒

1

2

media del 1er . subconjunto

1

⋮

2

media del 2do . subconjunto EJEMPLO 9 ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA EJEMPLO 9: Se sabe que la nota media de los 220 alumnos aprobados

en una determinada asignatura en el grupo de mañana, es igual a 6,5 puntos. Mientras que la nota media de los 125 alumnos aprobados en esa misma asignatura y matriculados en el grupo de tarde, ha sido de 7 puntos. ¿Cuál es la nota media del conjunto total de alumnos aprobados en esa asignatura? X = nota de los alumnos aprobados en una determinada asignatura N = total alumnos que aprobaron la asignatura Mañana (1er. subconjunto)

Tarde (2º subconjunto)

220 alumnos

125 alumnos

nota media = 6,5 puntos

nota media = 7 puntos

1 1

220 6 ,5

2 2

125 7

1

2

220 125 1

1

345 2

2

6, 5 220 7 125 345

6, 68

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA USO DE LA MEDIA ARTIMÉTICA:

 Su uso como medida de resumen tiene pleno sentido sólo en el caso de variables cuantitativas. VENTAJAS:

 En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.  Es un valor único para cada distribución de frecuencias.  Es siempre calculable. INCONVENIENTES:

 Es muy sensible a valores extremos. Si la variable presenta valores extremos (tanto por grandes como por pequeños), esto puede distorsionar su valor, haciéndola poco representativa. EST

EJEMPLO 10

PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA EJEMPLO 10

ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIANA MEDIANA = valor de la variable (supuesta ésta ordenada de menor a

mayor) que deja a su izquierda y a su derecha el mismo número de observaciones (el 50% de las observaciones a su izquierda y el otro 50% a su derecha) 

= valor de la variable que ocupa la posición central, si el nº total de observaciones (N) es un número impar 1.7 1.8 1.5 1.6

1.9

altura (en metros)

⇒ 

1. 7

= media aritmética de los 2 valores centrales de la variable, si el nº total de observaciones (N) es un número par 1.8 1.9

⇒

1. 7 1. 8 2

1. 75

2.0

1.7 1.5 1.6

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ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIANA ¿CÓMO SE CALCULA LA MEDIANA (o valor mediano)?

 Datos sin agrupar: 1.

Ordenamos los valores de la variable de menor a mayor

2.

Calculamos sus frecuencias absolutas acumuladas 

3.

Calculamos la mitad del nº de observaciones 

2  Si

2

: que se corresponda con el primer

 Si

2

:

2

1

2 = media aritmética del valor de la variable correspondiente a N/2 y del siguiente ESTADÍ

EJEMPLOS

PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

EJEMPLO 1: Tras encuestar a 13 familias sobre el número de hijos que tenían, se obtuvieron los siguientes datos:

⇒ 1 valor central

0

3

3

1

2

5

2

3 8

3

4 12

4

1 13

0001122233334 2hijos

MÉTODO DE CÁLCULO EN LA PRÁCTICA:

2

13 2

6, 5

⇒ ⇒¿

2

?

EJEMPLO 2: Tras encuestar a 12 familias sobre el número de hijos que tenían, se obtuvieron los siguientes datos:

⇒ 2 valores centrales distintos

0 1

2 1

2 3

2

3 6

3

4 10

4

2 12

001222333344 2 3 2

MÉTODO DE CÁLCULO EN LA PRÁCTICA:

2

12 2

6

2, 5hijos

EJEMPLO 3: Tras encuestar a 12 familias sobre el número de hijos que tenían, se obtuvieron los siguientes datos:

⇒ 2 valores centrales iguales

0

1

1

1

1

2

2 3

5 7 3 10

4

2 12

012222233344 2 hijos

MÉTODO DE CÁLCULO EN LA PRÁCTICA:

2

12 2

6

⇒ ⇒¿

2

?

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIANA ¿CÓMO SE CALCULA LA MEDIANA (o valor mediano)?

 Datos agrupados en intervalos: 

El procedimiento de cálculo es INDEPENDIENTE de si los intervalos son de amplitud constante o variable



1er . paso: Determinar el INTERVALO MEDIANO 



2º paso: Calcular el valor mediano:

2

2

⇒

1

,

1

1

extremo inferior del intervalo mediano

1 1

frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al mediano frecuenica absoluta del intervalo mediano

amplitud del intervalo mediano

EJEMPLO 11 ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA EJEMPLO 11: Distribución de los salarios de los empleados de una compañia:

salarios

nº empleados

L i-1 - Li

ni

600 – 700 700 – 800 800 – 950 950 – 2000 más de 2000

10 15 20 18 7

Total

Ni 10 10 + 15 = 25 25 + 20 = 45 ¿ 45 + 18 = 63 63 + 7 = 70

70 2

2 2

35

?⇒

1

INTERVALO MEDIANO

N = 70

VALOR MEDIANO: 1

2

1

800

35 25 150 875 20 ESTADÍSTICA APLICADA

PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIANA USO, VENTAJAS E INCONVENIENTES:



En el caso de variables cualitativas expresadas en escala ordinal, es la medida más representativa (en distribuciones de este tipo no tiene sentido la utilización de un promedio).



En el caso de variables cuantitativas, es preferible a la media aritmética en presencia de valores extremos.



Es fácil de calcular, aunque en su determinación no intervienen todos los valores de la variable.

NOTA:

A la mediana le afectan los CAMBIOS DE ORIGEN Y DE ESCALA. Exactamente de la misma manera que sucedía en el caso de la media aritmética. ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA MODA = valor de la variable que más veces se repite (más frecuente)

 Datos sin agrupar: 

con mayor frecuencia absoluta 

max

 La moda (o valor modal) puede no ser única:  Cabe la posibilidad de encontrar distribuciones con 2 ó más modas: distribuciones BIMODALES, TRIMODALES, etc.  La distribución puede presentar una MODA ABSOLUTA y una RELATIVA

EJEMPLOS ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA

xi

ni

1 2 5 7 12 15

3 4 9 10 7 2

xi

2

ni

3

max

10

7 Distribución UNIMODAL

5

8

9

12

14

xi

ni

16 17 18 19 20 21

1 8 3 2 8 2

18

EJEMPLOS

max

8

1 2

17 20

Distribución BIMODAL 21 1

5

4

15

4

17

6

2

2

14 9

ESTADÍSTICA APLICADA PROFS. MÓNICA MARTÍN DEL PESO / ANA BELÉN RABADÁN GÓMEZ

ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA  Datos agrupados en intervalos:  INTERVALOS DE AMPLITUD CONSTANTE:

max

 INTERVALO MODAL = intervalo más frecuente :

1

,

¿Cómo seleccionar de entre todos los valores comprendidos en el intervalo, aquel que desempeñará el VALOR MODAL? (...) Suponiendo que: -. Todos los valores del intervalo están distribuidos uniformemente dentro del mismo. -. La moda estará más cerca de...