Megoldas 4 - feladatok PDF

Preview

Summary

feladatok...

Description

Kovács Gábor

A565796

1. Egy csomagológép 1 kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mennyisége normális eloszlású valószínűségi változó 1 kg várható értékkel és 0.022 kg szórással. A zacskó sújra nézve első osztályú, ha a súlya 0.95 kg és 1.05 kg közé esik. Mi a valószínűsége, hogy két véletlenül kiválasztott zacskó közül legfeljebb az egyik első osztályú? m 1

 0.022

A normális eloszlású  valószínűségi változó jelentse a zacskó súlyát Annak a valószínűsége hogy első osztályú lesz a zacskó:  0.95  1   1.05  1  P( A)  P(0.95    1.05)    2 (2.2727)  1 0.9770      0.022   0.022  P( A) 1  P( A) 1  0.9770 0.0230

Annak a valószínűsége hogy legfeljebb az egyik zacskó elsőosztályú a két véletlenül kiválasztott zacskó közül: P (I .osztályú )  P ( A ) P ( A )  P ( A ) P ( A )  P (A ) P ( A ) 0.0230 2  2 (0.9770 0.0230)  0.0455

2. Egy kör sugara egyenletes eloszlású a (0, 4.2) intervallumban. Számítsa ki a kör területének, mint valószínűségi változónak a mediánját!  Tkö r r 2    f (  )  2  b  a 4.2  0 m( )   2.1 2 2 2 2 m() m ( )  2.1  13.8544

Tehát a medián értéke 13.8544

1

Kovács Gábor

A565796

3. 22 doboz mindegyikében 39 golyó van, amelyek közül rendre 18, 19, 20, . . . ,39 fehér. Találomra választunk egy dobozt, majd abból véletlenül kihúzunk egy golyót. Mi a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? 1 doboz választásának a valószínűsége:

1 22 18 39

Fehér golyó húzásának a valószínűsége, dobozonként: P(1.dobozból) 

P (2.dobozból ) 

19 39

 P(22.dobozból) 

39 39

Annak a valószínűsége hogy a kiválasztott dobozból fehér golyót veszünk ki: P( fehér) 

1 39 1  (18  39) 22  1 18 1 19     ...      0.7308 22 39 22  2 39 22 39 22 39 

4. Egy szervizbe műszakonként átlagban 5 gépkocsi jelentkezik javításra és számuk Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Mi a valószínűsége, hogy egy nap legalább 4, de legfeljebb 7 gépkocsit javítanak? E ( ) 5   7

P (4   7) e    i 4

 5 4 5 5 56 5 7  k  e 5       0 .6016 5! 6! 7!  k!  4!

Tehát 0.6016 a valószínűsége. 5. Egy csiga életének hossza exponenciális eloszlású valószínűségi változó 4.33 év várható értékkel. Mi a valószínűsége, hogy kedvenc csigánk életének harmadik évében pusztul el? 1 E ( ) 4.33  





100 433

100 100     2 3   P (A )  P (2    3)  F (3)  F ( 2)  1 e 433    1  e 433  0.1299    

Tehát 0.1299 annak a valószínűsége, hogy kedvenc csigánk életének harmadik évében pusztul el!

2

Kovács Gábor

A565796

6. Egy  egyenletes eloszlású valószínűségi változóról tudjuk, hogy E( )=4.4 és D()=3.9. Mi a valószínűsége, hogy 4 egymástól függetlenül megismételt kisérlet mindegyikében  2.4 és 9.6 közötti értéket vesz fel? a b E ( )  a 8.8  b 4.4       2 

b a  3.9  D ( )  2 3

b  (8.8  b) 3.9  2 3

b 3.9  3  8.8 15.5550 ; a 8.8  b  6.7550

x a  ha a x b F( x) b a 0 egyébként.  9.6  ( 6.7550)  P ( A)  P (2.4  9.6)  F (9.6)  F (2.4)     15.5550 ( 6.7550) 

 2.4  ( 6.7550)    0.3227  15.5550 ( 6.7550) 

P(kisérlet )  P ( A) 4 (0.3227) 4 0.0108

Tehát annak a valószínűsége, hogy 4 egymástól függetlenül megismételt kisérlet mindegyikében  2.4 és 9.6 közötti értéket vesz fel 0.0108. 7. A ( valószínűségi változóról tudjuk, hogy P(=46, =7) =0.18, P(=46, =24) =0.17, és P(=51, =7) =0.27. Ismert, hogy  csak a 46 és 51, míg  csak a 7 és 24 értéket veheti fel. Számítsa ki E( ‫׀‬=51) feltételes várható értékét!  46 51 P()

7 0.18 0.27 0.45

24 P() 0.17 0.35 0.38 0.65 0.55 1

2 P(  y i , 51) 0.38 0.27 7   24  16.9385 E (   51)  y i  P(  51) 0.65 0.65 i 1

Tehát E(‫׀‬=51) feltételes várható értéke 16.9385.

3

Kovács Gábor

A565796

8. Egy dobozban 10 alkatrész van, amelyek közül 6 selejtes. 3 elemű mintát veszünk valószínűsége, hogy a mintában legfeljebb 1 selejtes alkatrész van?

visszatevéssel. Mi a

Visszatevéses mintavétel, ahol N=10; s=6; n=3; k=1.

s6 64 P(S)   PJó1 P(S)1  1 0 10 N 10 P( 1) P( 0) P( 1) 3 0

2 1

3 3 0 3 2 1  4   6   3!   4   6  P( 1)  PJó P(S )   PJó P(S ) 1           0.3520 0 1 10 10 2!1! 10 10  Tehát 0.3520 a valószínűsége annak, hogy a mintában legfeljebb 1 selejtes alkatrész van! 9. A  valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:

0, ha x 2.6  f ( x)   a x 3 , ha x  2.6 Számítsa ki a  mediánját! 



a

f ( x) dx  x 2.6



3



a   a 0  1  dx  2  2 2 2 .6 2  x  2.6

a 13.52



13.52 1 1  13.52  1   1 f ( x) dx   3 dx 13.52  2  13.52    2  1 2 m2  2 x x m 2 13 . 52 2     2.6  2.6  m

m

4



m  13.52 3.6769

Kovács Gábor

A565796

Tehát a median értéke 3.6769. 10. A és B független események, P(A)=0.32 és P(B)=0.28. Határozza meg P(AA+B) értékét! P(A)=0.32 P(B)=0.28

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.32+0.28-0.0896=0.5104 P(AB)=P(A)P(B)=0.320.28=0.0896

P ( AA  B) 

P( A) 0.32  0. 6270 P (A  B ) 0. 5104

Tehát P(AA+B)=0.6270.

11.

Legalább hány elemű mintát kell vennünk, ha visszatevéses mintavételnél a selejtarány 0.12 pontossággal (legfeljebb ennyi eltéréssel) és 0.87 megbízhatósággal akarjuk becsülni ? 1    0.87 P  n  p  0.12  1  4 0.12 2 n n     1  0.13 4 n 0.12 2 1 n 4 0.130.12 2 n  137.7410 n  133.5470

Tehát legalább 134 elemű mintát kell venni.

12. Legyen a ( vektorváltozó sűrségfüggvénye:

xye k( x  y ) , ha x  0, y  0 f ( x, y)  0, egyébként. 2 2

Hol veszi fel  peremeloszlás-függvénye a 0.44 értéket?

5

Kovács Gábor

A565796

13. Két út vezet az A városból a B városba és szintén két út B-ből C városba. (Az A városból a C városba csak a B városon át lehet eljutni.) Mind a négy út egymástól függetlenül, 0.73 valószínűséggel járhatatlan a hó miatt. Feltéve, hogy A-ból C-be nincs végig járható útvonal, mi valószínűsége, hogy A-ból B-be van járható út? P( 1 ) P(1. út nem járható) P(2. út nem járható) 0.73 P(1)  P(1. út járható)  P(2. út járható) 1  P( 1 ) 0.27

Annak a valószínűsége hogy A-ból B-be van járható út: P(A  B )  P(1) P(2)  P(1) P( 2)  P( 1 ) P(2)  0.272  2 (0.27 0.73) 0.4671

14. A  exponenciális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 6.20. Számítsa ki azt a m értéket, amelytől jobbra és balra megegyezik az =2 valószínűségi változó sűrűségfüggvénye alatti terület!

E ( ) 6.20 

1 



 

10 62

1 2 2 E ( ) E ( 2 )  2  76.88     10  2     62 

F (m ) 



100   7688

1 2

F ( m) 1  e

  m



1  2

m

1 1 ln 2  ln 2  53.2892 100  7688

Tehát m=53.2892 érték esetén jobbra és balra megegyezik az =2 valószínűségi változó sűrűségfüggvénye alatti terület!

15. A (;) véletlen vektor együttes sűrűségfüggvénye:

6

Kovács Gábor

A565796

C , ha 0 x 10.4 10.4 17.1 , é s x y x         f (x, y)  0, ha egyébként. Határozza meg a korrelációs együttható értékét !

7

Kovács Gábor







A565796

10.4 17.1 x

 f x , y dydx  

 

0



Cdydx C

10.4 x



10.4

10.4

17.1  x   y  10.4  x dx

C

 6.7dx

C  6.7x 

10.4 0

69.68 C 1  C 

0

0

10.4 17.1 x

1 69.6

17.1  x

10.4  y2 x E      xy  f x , y dydx  C   xydydx  C  x  dx C  184.25  13.4 x dx   2  2  10.4 x 0 0 10.4 x 0  



C 2

10.4

2 184.25x  13.4 x dx 

0

E   



C 2





x f x , y dydx C

 

10.4

184.25 x 2 13.4x3     2 3   10.4 17.1 x



 0

C  4939.8475 35.4467 2

10.4

10.4

0

0

 6.7 x 17.1 x   xy  10.4 x dx C  6.7xdx C  2

xdydx C

10.4 x

0

10.4

2

10.4

  0



 362.336 C 5.2 E   







y f x , y dydx C

 



0

17.1 x

10.4  y2  dx C  92.125  6.7 xdx      2  10.4 x 0 0

10.4

ydydx C

10.4 x

10.4

 6.7x  C  92.125x   2 0  2

10.4 17.1 x

C 595.764 8.55

cov  ,  E    E   E   35.4467 5.28 .55  9 .0133

 



E2 



2 x f x , y dydx C

 

10.4 17.1  x

 0

2  x dydx C

10.4

10.4  x

  x y 2

17.1 x 10.4

0

10.4

 6.7 x 3  2  6 . 7 x dx C     3 0 0

10.4

dx C x



 2512.1963C  36.0533 



   y

E 2 

2

f  x , y dydx C

 



C 3

 0

 552.75 x  3875.347x  2 

  E   

10.4 17.1 x

2



10.4 x

20.1x   3  3

2  y dydx C

10.4

0

17947.4776  C  85.8567 3

2 2 2 D    E   E    36.0533 5.2 3.0022

D   r  ,   

2

17.1  x

 y3 C dx    3  3 10.4  x 0

10.4

E 2    85.8567  8 .552 3.5713

 9.0133 cov ,    0.8406  3.5713 3 . 0022       D D

Tehát a korrelációs együttható értéke –0.8406. 16. A  valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

8

10.4

 3875.347 

0

522.75x  20.1x 2d

Kovács Gábor

A565796

0, ha x 0,   2 F( x)  A(2.8x 10.2x), ha 0  x 6,  ha 6  x. 1,  Határozza meg E(69 – 576) értékét !

 A(5.6 x 10.2), ha 0  x 6 f (x) F ' ( x)  ha egyébként  0, 



6





0



1 f (x dx )   A (5.6x  10.2)dx A  5.6x  10.2dx A 2.8x 2  10.2x



6 0

A (100.8  61.2) 

1 A (162)  A  162 

E ( ) 



6



6

 5.6 3  x  5.1x 2   A (403.2 183.6)  586.8 A  A  3 0 1  576  326,0667 E (69  576) 69 E ( )  576 69 586.8  162

Tehát E(69 – 576) értéke –326.0667.

17. Hány 7 jegyű szám készíthető 1 darab egyes, 2 darab kettes és 4 darab hármas számjegyből?

,

,

Pnk81 k 2 k 3 

6

 5.6 3  x A (5.6 x  10.2)dx  A  5.6 x 2  10.2 xdx  A x  5.1 x2    3  0  0

 x  f (x )dx 

n7 ! 7! 105  4! k1 !k 2 !k 3 ! 1!2!

Így a megadott számokból 105 darab 7 jegyű szám készíthető!

9

Kovács Gábor

A565796

18. Egy dobozban 11 alkatrész van, amelyek közül 6 selejtes. 3 elemű mintát veszünk valószínűsége, hogy a mintában legfeljebb 2 selejtes alkatrész van?

visszatevéssel. Mi a

Visszatevéses mintavétel, ahol N=11; s=6; n=3; k=2.

65 s6 P(S )   P Jó 1 P(S) 1  11 N1 P(  )2  P(  )0  P( 1) P(  )2 3  3 0 3 2 1 3 1 2 P(  )2   P Jó P(S)    P Jó P(S)   P Jó P(S) 0  1 2 3 0

2 1

1 2

 5   6   3!   5   6   3!   5   6 P(  )2  1                0.8377 1  1   2!1! 1   1   1!2!  1   1  Tehát 0.8377 a valószínűsége annak, hogy a mintában legfeljebb 2 selejtes alkatrész van! 19. Egy terméket három üzemben készítenek. A három üzemben a selejtszázalék rendre 0.07, 0.26 és 0.30,míg a három üzemben az összterméknek render 24, 39, és 37 százalékát állítják elő. Az össztermékből kivesznek egy darabot, és az hibás. Mi a valószínűsége, hogy az első üzemben gyártották?

10

Kovács Gábor P(I.üzem | selejt  

A565796

0.07 0.24 0 .0733 0.07 0.24  0.26 0.39  0.3 0.37

Tehát 0.0733 annak a valószínűsége, hogy az első üzemben gyártották ezt a hibás darabot. 20. Egy munkadarab hossza közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 57mm. Határozza meg a munkadarab hosszának a szórását, ha 0.92 annak a valószínűsége, hogy a munkadarab hossza kisebb, mint 57.08mm ?  ? E   m 57 P    0.92  0.08   57.08  m   57.08  57  P   57.08 F  57.08  0.92     0.92               0.08 1.405     0.0569 

Tehát a munkadarab hosszának a szórása 0.0569. 21. Egy dobozban 7 fehér és 30 piros golyó van. Ketten felváltva húznak egy-egy találomra választott golyót, amelyet visszatesznek. Ezt addig folytatják, amíg csak valamelyikük piros golyót nem húz. Mennyi a valószínűsége annak, hogy nem a kezdő húz először piros golyót ? N 37

p

30 37

n f 7 n p 30

q 1  p 





i 0

i 0

P   p q 2i 1 

7 37

30  7    37  37

2i 1

30 7 1 210     0.1591 2 1320 37 2 7   1    37 

Tehát 0.1591 a valószínűsége annak, hogy nem a kezdő húz először piros golyót! 22. Hányféleképpen rakhatunk be 4 levelet 10 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe több levelet is tehetünk ? Ismétleses variáció (mert egy rekeszt többször is kiválasztunk), ahol n=10; k=4. n k   k 

1  10  4  1 13  13! 715       4 4 9 !4!     

Tehát 715 féle képpen rakhatjuk a leveleket a rekeszekbe!

11

Kovács Gábor

A565796

23. Az A, B és C független események, amelyre P(A)=0.420, P(B)=0.290 és P(C)=0.765. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy pontosan kettő következik be közülük ! P( A) 1  P( A) 1  0.420 0.580 P( B) 1  P( B) 1  0.290 0.710 P (C ) 1  P (C ) 1  0 .765  0.235

Pontosan kettő következik be az esemányek közül: D  ABC  ABC  ABC

P  D   P  A  P B  P( C )  P  A P( B) P C   P( A) P B  P C  P  D   0,4200,2900.235 0,4200.7100,765  0.580 0,290 0,765 P D  0.3854

Tehát 0.3854 a valószínűsége annak, hogy A,B és C független események közül legalább kettő bekövetkezik 24. Tudjuk, hogy P(A)=0.22, P(A|B)=0.22 és P(B|A)=0.54. Mennyi a valószínűsége, hogy az A és B legalább egyike bekövetkezik ? P (AB ) P (A )P (B | A ) 0.220.54  0.1188 0.1188 P( AB)  0.54 P( B)  0.22 P (A | B ) P (A  B ) P (A ) P (B )  P (AB )  0.22  0.54  0.1188 0.6412

Tehát 0.6412 a valószínűsége annak, hogy A vagy B legalább egyike bekövetkezik 25. Ketten megbeszélik, hogy délután 5 óra és délután 5 óra 46 perc között találkoznak. Mekkora valószínűséggel találkoznak, ha egymástól függetlenül érkeznek és mindketten 15 perc várakozás után elmennek ha a másik addig nem érkezett meg? x  y 15 0  x, y 46

Ha x  y 0  x  y : akkor x  y 15  x  15  y teljesül! Ha x  y  0  x  y : akkor y  x 15  y x  15 teljesül!

P( találkoznak) 

Tkedvező 462  312   0.5458 Tösszes 462

Tehát 0.5458 a valószínűsége annak hogy találkoznak!

12

Kovács Gábor

A565796

26. Az A esemény bekövetkezésének a valószínűsége 0.79. Mennyi a valószínűsége, hogy tíz kisérletből legfeljebb hétszer következik be? Ha tíz kísérletből legfeljebb hétszer következhet be akkor legalább háromszor nem kell bekövetkeznie.

P(0 2)P( 0) P( 1) P( 2) 10 10 0 10 9 1 10 8 2 P(0 2) 0.79 1 0.79  0.79 1 0.79   0.79 1 0.79  0 1  2  P (0 2)0.6475 P ( 7) P ( 3) 1  P (0  2) 1  0.6475 0.3525

Tehát 0.3525 a valószínűsége hogy 10 kisérletből legfeljebb hétszer következik be az A esemény! 27. 9 golyót osztunk ki egyenként 7 dobozba úgy, hogy bármelyik dobozt egyenlő valószínűséggel választjuk minden golyó elhelyezésekor. Mennyi a valószínűsége, hogy a harmadik dobozba 4 golyó kerül? 1 7

Annak a valószínűsége hogy a golyó az adott dobozba kerül: P( A)   p Ennek a 9-ből 4-szer kell bekövetkeznie.

13

Kovács Gábor

A565796

45

9 4 5  9! 1 6   1ppP        0.243 4  4!5 7 7  28. Egy hallgató ennek a feladatnak a megoldásával átlagosan 6 perc alatt végez. A feladatra fordított idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Mi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenül kiválasztott hallgató 9 percen belül oldja meg a feladatot? E   

1 6  



P  9  F (9) 1  e



1 6

1 9 6

 0.7767

Tehát annak a valószínűsége, hogy a hallgató 9 percen belül oldja meg a feladatot 0.7767. 29.

Egy dobozban összesen13 golyó van, ebből 6 fehér és 7 fekete. Hányféle sorrendben húzhatjuk ki a golyókat,ha azokat egymás után húzzuk ki, és az egyszínűek között nem teszünk különbséget? Ismétléses permutáció, ahol N=13; P1=6; P2=7. 13! N!  1716 6!7! P1 !P2 !

Tehát 1716 különböző sorrendben húzhatjuk ki a golyókat!

30.

Egy kilogram kalácsban átlag 82 szem mazsola van. Az 5 dekás szeletekben a mazsolák száma Poissoneloszlást követ. Legalább hány szeletet kell vennünk, hogy már legalább 0.95 legyen annak a valószínűsége, hogy lesz közöttük mazsola nélküli szelet? 14

Kovács Gábor

P(  k ) 

A565796

k   e k!

Az egy szeletben lévő mazsolák száma:  E ( ) 

82  4.1 20

Annak a valószínűsége hogy egy adott szelet mazsolás: P( mazsolás) 1  P( nem mazsolás) 1  P( 0) 1 

4.10 e 4.1 1  e 4.1 0!

Annak a valószínűsége hogy n szelet között lesz mazsola nélküli szelet ellentetje annak hogy minden szelet mazsolás! 1 P(mazsolás ) n 0.95

1  e 

 4.1 n

0.05 ln 0.05 n ln 1  e  ...