Método de eliminación de Gauss y sustitución regresiva PDF

Preview

Summary

Método de eliminación de Gauss y sustitución regresiva...

Description

3. Método de eliminación de Gauss y sustitución regresiva Sean A una matriz cuadrada dada de orden N, y B un vector dado de orden N; se desea, resolver la ecuación matricial: AX = B

(3.4)

El vector solución X puede obtenerse sin dificultad en caso de que A sea triangular superior con todas la entradas diagonales no nulas. Como generalmente no se presenta este caso, nuestro trabajo será convertir la matriz A y B en A’ y B’, tal que se cumpla lo siguiente: A’X= B’,

donde: A’ es una matriz triangular superior.

Para lograr esto utilizamos la matriz ampliada [A: b], que es la unión de términos de A y B; así, para el caso de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, en orden cero la representación es:

[E 1] 0   a11  [A : B] 0  [E 2] 0   a21 [E 3] 0   a31 Dónde:

a12 a22 a32

a 13 b1   a 23 b2  a 33 b3 

(3.5)

[E1]0, es la representación de la primera fila de la matriz ampliada en orden cero.

Por eliminaciones sucesivas, convertimos esta matriz ampliada a otra nueva, de modo que al final se obtenga [A: B]N-1 , es decir una matriz ampliada en orden N-1, entonces: [A:B]0 [A: B]1............[A : B]N-2  [A: B]N-1

(3.6)

El método consiste en sustituir los vectores fila [Ei]m secuencialmente en dos pasos: i)

[E j ]m  [E j ]m 1 ; (j = 1, 2,….., m)

ii)

[E i ] m  [E i ]m1 

a mim1 [ Em ]m 1 ; (i = m+1,……,N) m1 a mm

(3.7)

Donde m, es el orden de eliminación y el valor amm es el elemento pivote por aplicaciones sucesivas de los pasos (3.7), se llega a una matriz ampliada [A: B] N-1, que es una matriz triangular superior de la forma:

 a11 N 1  [ A : B ]N 1   0   0

a 12 N 1 a 22 N 1 0

a13 N 1 b1 N 1   a23 N 1 b2 N 1   a33 N 1 b3 N 1 

(3.8)

En este punto podemos resolver el sistema, acomodando la ecuación (3.8) en la siguiente forma:

 a11 N 1 a 12N 1    0 a 22N 1  0  0

  a 13 N 1  x  x 1   b 1 N 1         a 23 N 1  y  x 2    b 2 N 1       a 33 N 1  z  x 3   b 3 N 1 

(3.9)

El proceso de sustitución regresiva tiene dos partes: a) Dado que la última ecuación solo involucra a z (x3) y siendo que aNNN-1  0, debemos tener:

xN 

bNN 1 b' ó z  3 N 1 a'33 a NN

(3.10)

b) El segundo paso nos permitirá conocer el valor de las incógnitas restantes: N   1 xi   bNi 1   aitN 1 xt  N 1 ; (i = N-1,……, 1) t  i 1   aii

(3.11)

Ejemplo: Resolver mediante el método de Eliminación de Gauss y Sustitución Regresiva el siguiente sistema de ecuaciones lineales: -1x + 1y - 4z = 0 2x + 2y = 1 3x + 3y + 2z = 1/2 En notación matricial, tenemos:

 - 1 1 - 4  x   0        2 2 0  y    1   A.X  B  3 3 2  z   1/2       Calculamos la matriz ampliada [A: B] 0, en orden cero.

 -1 1 - 4 0    [A : B]   2 2 0 1   3 3 2 1/2    0

Llevamos [A: b]0 [A: b]1; el elemento pivote es el primer valor de la diagonal, entonces, como es la primera eliminación m = 1. -

Se mantiene fijo el primer vector fila, es decir: [E1]0 = [E1]1 El cálculo se inicia para [E2]1

a   2 [E 2 ]1  [E 2 ]0   21 [E 1 ] 0  2 2 0 1     1 1  4 0   0 4 - 8 1   1  a 11  a   3  [E 3 ]1  [E 3 ]0   31 [E 1 ] 0  3 3 2 1/2     1 1  4 0   0 6 - 10 1/2    1  a11  La nueva matriz ampliada [A: B]1

[E1 ]1   - 1 1 - 4 0    [A : B]1  [E 2]1   0 4 - 8 1  [E 3]1   0 6 - 101/2  Como [A: B]1 no es una matriz triangular superior, es necesario repetir el proceso a partir del vector fila por reducir. Llevamos [A: B]1 [A: B]2; el elemento pivote es el segundo valor de la diagonal, para este caso m = 2. -

Fijo el primer y segundo vector fila, es decir: [E1]2 = [E1]1 y [E2]2 = [E2]1 El cálculo se inicia para [E3] 2

 a 1 32 [E 3 ] 2  [E 3 ]1  1  a 22

  6 [E 2 ]1  0 6 - 10 1/2   0 4 - 8 1  0 0 2 - 1  4 

La nueva matriz ampliada [A: B]2 es:

[E1 ]2  - 1 1 - 4 0    [A : B] 2  [E 2 ]2  0 4 - 8 1  [E 3 ]2   0 0 2 - 1  Esta matriz es triangular superior. Nótese que se emplearon N-1 matrices ampliadas. En este punto procedemos a efectuar la sustitución regresiva:

 - 1 1 - 4  x   0       2 2  0 4 - 8  y    1   A .X  B  0 0 2  z   - 1      El proceso de sustitución regresiva tiene dos partes: a) Operando con la ecuación (3.10) se tiene:

x3 

b32 a233

 z 

-1 2

b) El segundo paso nos permitirá conocer el valor de las incógnitas restantes: i =2

3   1 x2  b22   a22t xt  2 t 21   a22

x2 = y = -0.75 i =1 3   1 x 1  b 12   a12t x t  2 t11   a11

x1 = x = 1.25 Las soluciones del Sistema son: x = 1.25; y = -0.75 y z = -0.5 Los resultados computacionales para este problema empleando Fortran son los siguientes: SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ELIMINACION GAUSS Y SUSTITUCION REGRESIVA ============================================================ INGRESO DE DATOS (SOLUCION SISTEMA DE N EC.CON N INCOGNITAS ============================================================ INGRESE DIMENSION DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES 3 INGRESE ELEMENTOS DE MATRIZ A -1.0 1.0 -4.0 2.0 2.0 0.0 3.0 3.0 2.0 INGRESE VECTOR DE TERMINOS INDEPENDIENTES 0.0 1.0 0.5 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR PRELIMINAR ===================================== -1.00000 1.00000 -4.00000 .00000 4.00000 -8.00000 .00000 6.00000 -10.00000 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR PRELIMINAR ===================================== -1.00000 1.00000 -4.00000 .00000 4.00000 -8.00000 .00000 .00000 2.00000 MATRIZ INGRESADA ================ -1.00000 2.00000 3.00000

1.00000 2.00000 3.00000

-4.00000 .00000 2.00000

.00000 1.00000 .50000

.00000 1.00000 -1.00000

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR FINAL ================================ -1.00000 1.00000 -4.00000 .00000 4.00000 -8.00000 .00000 .00000 2.00000 SOLUCIONES ========== X 1= 1.25000 X 2= -.75000 X 3= -.50000 Codificación: La codificación elaborada que genera los resultados mostrados es la siguiente: PROGRAM SOLUCION_SIST_EC_LINEALES REAL(4) A(100,100),A1(100,100),XSOL(100) 10 WRITE (*,*)'' WRITE (*,*)' SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS ELIMINACION DE' WRITE (*,*)' GAUSS Y SUSTITUCION REGRESIVA' WRITE (*,*)' ==========================================================' WRITE (*,*)'' WRITE (*,*)' INGRESO DE DATOS (SOLUCION SISTEMA DE N CON N INCOGNITAS)' WRITE (*,*)' ==========================================================' WRITE (*,*)'' WRITE (*,*)' INGRESE DIMENSION DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES ' READ (*,*)M1 WRITE (*,*)'' WRITE (*,*)' INGRESE ELEMENTOS DE MATRIZ A ' DO I=1,M1 READ(*,*)(A(I,J),J=1,M1) END DO DO I=1,M1 WRITE (*,*)' INGRESE VECTOR DE TERMINOS INDEPENDIENTES' READ(*,*)A(I,M1+1) END DO ! COPIANDO EN LA MATRIZ DE PASO 20 LP=2 LN=LP-1 DO I=1,M1 DO J=1,M1+1 A1(I,J)=A(I,J) END DO END DO ! FIN DEL COPIADO ! HACIENDO LA ELIMINACION 21 DO I=LP,M1

WPASO1=A1(I,LN) WPASO2=A1(LN,LN) DO J=1,M1+1

! !

! 27

! ! 28

A1(I,J)=A1(I,J)-(WPASO1/WPASO2)*A1(LN,J) END DO END DO FIN DE LA ELIMINACION REPITIENDO EL PROCESO WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)' MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR PRELIMINAR' WRITE(*,*)' =====================================' DO MI=1,M1 WRITE(*,100)(A1(MI,MJ),MJ=1,M1+1) END DO WRITE(*,*)'' LP=LP+1 LN=LP-1 IF (LP.GT.M1)THEN NK=M1 GOTO 27 ELSE GOTO 21 END IF SUSTITUCION REGRESIVA SUMA=0 DO J=1,M1 SUMA=SUMA+A1(NK,J)*XSOL(J) END DO XSOL(NK)=(A1(NK,M1+1)-SUMA)/A1(NK,NK) NK=NK-1 IF (NK.LE.0) THEN GOTO 28 ELSE GOTO 27 END IF FIN DE SUSTITUCION REGRESIVA PRESENTACION DE RESULTADOS WRITE (*,*)'' WRITE(*,*)' MATRIZ INGRESADA' WRITE(*,*)' ================' DO I=1,M1 WRITE(*,100)(A(I,J),J=1,M1) END DO WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)' MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR' WRITE(*,*)' ==========================' DO I=1,M1 WRITE(*,100)(A1(I,J),J=1,M1) END DO WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)' SOLUCIONES' WRITE(*,*)' ==========' DO I=1,M1

!

29 100

WRITE(*,29)I,XSOL(I) END DO FIN DE PRESENTACION WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)'' FORMAT (1X,' X',I3,'=',F11.5) FORMAT (15(3X,F11.5)) WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)'' END...