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Métodos o Reglas de Simpson y de los Trapecios Juan Hernando Gutierrez Paternina Ciencias Básicas, Universidad Tecnológica de Bolívar Cartagena, Colombia [email protected]

Abstract- Realizaremos una investigación sobre la regla del trapecio o la regla de Simpson, abordaremos los métodos y realizaremos ejemplos para entender mejor la temática a desarrollar.

I. Introducción Como ingeniero el cálculo es una base fundamental de nuestro conocimiento, por eso estudiarlo y comprenderlo es algo muy importante para nuestra profesión ya que lo utilizaremos constantemente. Estos métodos o reglas de Simpson y de los trapecios nos ayudan a encontrar nuevas soluciones para los distintos ejercicios.

𝑏

𝑏

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑃1(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑏

≈ ∫ [𝑓(𝑎) + 𝑎

𝑎

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) (𝑥 − 𝑎)] 𝑏−𝑎

Al resolver la integral queda: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ (𝑏 − 𝑎) 𝑎

𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2

Ejemplo 1: Calcular la integral de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 − 1, en el intervalo [3,8] aplicando la regla del trapecio. 8

II. Regla del trapecio y Regla de Simpson

Regla del trapecio: En matemática la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida. La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. [1]

∫ (𝑥 2 + 6𝑥 − 1 )𝑑𝑥 3

𝑓(3) = 26

𝑓(8) = 111

𝑏−𝑎 =8−3= 5 8

∫ (𝑥 2 + 6𝑥 − 1 )𝑑𝑥 ≅ 5 [ 3

26 + 111 ] = 342.5 2

Regla del trapecio compuesta: Para obtener una mejor aproximación de la integral con este método, la regla del trapecio se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud ℎ =

𝑏−𝑎 𝑛

. A este

método se le conoce con el nombre de la regla del trapecio compuesta. [2]

Fig. 1

Para el polinomio interpolante de primer grado se tiene: 𝑃1(𝑥) = 𝑓(𝑎) +

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) (𝑥 − 𝑎) 𝑏−𝑎

Sustituir en la integral:

Fig. 2

Para aplicar este método siga los siguientes pasos:

Divida el intervalo [a, b] en subintervalos de igual medida. Aproxime en cada subintervalo la función f(x) por una recta. Aproxime el área bajo la curva f en el intervalo [𝒂, 𝒃] mediante la suma de las áreas de los trapecios. Aplique la regla del trapecio compuesta que viene dada 𝑏 ℎ por:∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ [𝑓(𝑎) + 2 ∑𝑛−1 ] 𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 ) + 𝑓(𝑏)

1. 2. 3. 4.

2

Ejemplo 2 de sitio web [3]: 2

∫ 3𝑥 𝑑𝑥 1

ℎ=

𝑏−𝑎 2−1 = 0.166667 = 6 𝑛 2

∫ 3𝑥 𝑑𝑥 = 1

0.16667 [3(1) + 2[3(1 + 0.16667)] 2 + 2[3(1 + 2 ∗ 0.16667)] + 2[3(1 + 3 ∗ 0.16667)] + 2[3(1 + 4 ∗ 0.16667)] + 2[(1 + 5 ∗ 0.16667)] + 3(2)] = 4.5

Regla de Simpson: En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral. Como también es el caso de la regla trapezoidal, para la regla de Simpson el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos de

largo ∆x =

b−a n

Fig.3

Utilizando parábolas de esta manera produce el siguiente estimado del área con la regla de Simpson: 𝑏

𝑎

4

1

1 𝑑𝑥 𝑥

Con n = 6 ∆𝑥 = ∫

4

1

𝑏−𝑎 4−1 1 = = 2 𝑛 6

1 5 7 1 3 𝑑𝑥 ≈ [𝑓 (1) + 4𝑓 ( ) + 2𝑓(2) + 4𝑓 ( ) + 2𝑓(3) + 4𝑓 ( ) 2 2 𝑥 6 2 + 𝑓(4)] 2 1 2 1 1 = [1 + (4 ⋅ ) + (2 ⋅ ) + (4 ⋅ ) + (2 ⋅ ) 6 3 2 5 3 2 1 1 3517 + (4 ⋅ ) + ] = [ ] = 1.3956] 6 420 7 4

III. Conclusión Con esta investigación aprendimos nuevos métodos de aproximación para hallar áreas bajo la curva por medio de trapecios a diferencia como lo hacíamos anteriormente utilizando rectángulos.

Referencias

[1] Flores, B. R. A. Integracion y Diferenciacion Numerica Regla del Trapecio Metodo de Simpson. [2] Seminario, R. (s.f.). Métodos numéricos para ingeniería. Disponible en http://disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf

.

Luego se construyen parábolas a través de cada grupo de tres puntos consecutivos en el gráfico. La gráfica de más abajo nos muestra el proceso para las primeras tres parábolas en el caso de n=6 subintervalos. Puedes ver que cada intervalo, con la excepción del primero y el último, contiene dos estimados; uno muy alto, el otro muy bajo, para que así el estimado sea más preciso. [4]

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈

∫

∆𝑥 [𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓(𝑥2 ) + 4𝑓(𝑥3 ) + 2𝑓(𝑥4 ) … 3 + 2𝑓(𝑥𝑛−2 ) + 4𝑓(𝑥𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )]

Ejemplo 3 de sitio web [5]: Utiliza la regla de Simpson para aproximar

[3] Regla del trapecio. (2011, 9 de mayo). Wikipedia, La enciclopedia libre. Disponible en: https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Regla_del_trapecio&oldid =46251673. [4] Integración numérica: regla de Simpson | CK-12 Foundation. Disponible en: https://www.ck12.org/book/ck-12-conceptos-dec%c3%a1lculo-en-espa%c3%b1ol/section/5.11/ [5] Integración numérica: regla de Simpson | CK-12 Foundation. Disponible en: https://www.ck12.org/book/ck-12-conceptos-dec%c3%a1lculo-en-espa%c3%b1ol/section/5.11/...