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Paso 3 Actividad de los fundamentos y reglas de derivación

Delio Wilson Sierra Rojas Estefanía Aguilar Vergara Leidy Alicia Munar Ríos Luis Evaristo Mejía Tania Marcela Díaz Rodríguez

Grupo 9

Tutor Eduard Yesid Gutiérrez Barrera

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela de ciencias de la educación Cálculo diferencial 2020

Tabla de Contenido

INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 5 SEC. 2.7. DERIVADAS Y RAZÓN DE CAMBIO ....................................................................... 6 PROBLEMA 10 .................................................................................................................................. 6 PROBLEMA 25 .................................................................................................................................. 9 PROBLEMA 34 ................................................................................................................................ 11 PROBLEMA 51 ................................................................................................................................ 12 SEC. 2.8. LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN.................................................................. 14 PROBLEMA 3 .................................................................................................................................. 14 PROBLEMA 33 ................................................................................................................................ 18 PROBLEMA 35 ................................................................................................................................ 20 PROBLEMA 37 ................................................................................................................................ 21 SEC. 3.1. DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES ............. 23 PROBLEMA 6 .................................................................................................................................. 23 PROBLEMA 8 .................................................................................................................................. 24 PROBLEMA 14 ................................................................................................................................ 25 PROBLEMA 19 ................................................................................................................................ 26 PROBLEMA 26 ................................................................................................................................ 26 PROBLEMA 27 ................................................................................................................................ 26 PROBLEMA 37 ................................................................................................................................ 27 PROBLEMA 39 ................................................................................................................................ 28 SEC. 3.2. REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE ......................................................... 30

PROBLEMA 7 .................................................................................................................................. 30 PROBLEMA 9 .................................................................................................................................. 31 PROBLEMA 13 ................................................................................................................................ 32 PROBLEMA 20 ................................................................................................................................ 32 PROBLEMA 24 ................................................................................................................................ 33 PROBLEMA 37 ................................................................................................................................ 34 PROBLEMA 54 ................................................................................................................................ 35 SEC. 3.3. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .......................................... 38 PROBLEMA 5 .................................................................................................................................. 38 PROBLEMA 6 .................................................................................................................................. 39 PROBLEMA 11 ................................................................................................................................ 40 PROBLEMA 16 ................................................................................................................................ 40 SEC. 3.4. REGLA DE LA CADENA........................................................................................... 41 PROBLEMA 21 ................................................................................................................................ 41 PROBLEMA 30 ................................................................................................................................ 42 PROBLEMA 37 ................................................................................................................................ 43 PROBLEMA 40 ................................................................................................................................ 44 PROBLEMA 55 ................................................................................................................................ 44 3.5. DERIVACIÓN IMPLÍCITA ................................................................................................. 46 PROBLEMA 7 .................................................................................................................................. 46 PROBLEMA 8 .................................................................................................................................. 47 SEC. 3.6. DERIVACIÓN DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS ................................................ 48 PROBLEMA 19 ................................................................................................................................ 48

PROBLEMA 45 ................................................................................................................................ 50 3.11. FUNCIONES HIPERBÓLICAS ......................................................................................... 52 PROBLEMA 30 ................................................................................................................................ 52 PROBLEMA 38 ................................................................................................................................ 53 CONCLUSIÓN ............................................................................................................................. 54 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................................... 55

Introducción

El siguiente trabajo se ha realizado con el fin de identificar la simbología, definición y propiedades de las derivadas dentro del cálculo diferencial, para ello se debe hacer la revisión bibliográfica de los contenidos de la unidad 3, también se han planteado en la guía nueve tipos de secciones, subdivididas en ejercicios diferentes, las cuales ayudan al estudiante a adquirir las competencias de resolución de problemas, de comunicación y razonamiento. La resolución de estos problemas de derivadas ayuda a los estudiantes desarrollar las habilidades y destrezas necesarias para desempeñarse como licenciado de matemáticas. También la interacción y formación de grupos colaborativos para la consolidación de conocimientos significativos, como entrega final se consolida un documento con una argumentación correcta y pertinente que rinde al lenguaje de las matemáticas.

5

Sec. 2.7. Derivadas y razón de cambio

OBJETIVO: Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva, y relacionarlas con su respectiva gráfica, de determinados puntos. FUNDAMENTOS A EMPLEAR Y ESTRATEGIAS A EMPLEAR: Empleando la definición de la recta tangente, y las reglas de las derivadas se establecerá y planteará las ecuaciones de las rectas en determinados puntos con su respectiva gráfica. RECTA TANGENTE La recta tangente a la curva y= f (x) en el punto P (a, f (a)) es la recta que pasa por P con pendiente 𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎

, siempre que este límite exista.

Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces, es más fácil de usar. 𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ

Derivadas: La derivada de una función f en un número x = a, denotada por 𝑓 ′ (𝑎) , es 𝑓 ′ (𝑎) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ

, siempre que este límite exista.

Si se escribe x = a + h, entonces h = x −a y h tiende a 0 si y sólo si x tiende a a. En

consecuencia, una manera equivalente de expresar la definición de la derivada, como vimos en la búsqueda de rectas tangentes, es 𝑓 ′ (𝑎) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎

Tomado de Stewart (2012)

Problema 10 a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓 ( 𝑎 + ℎ) − 𝑓 ( 𝑎 ) ℎ ℎ→0 1 1 − 𝑎 + 𝑛 √𝑎 𝑙𝑖𝑚 √ ℎ→0 ℎ

𝑚 = 𝑙𝑖𝑚

1

√𝑥

en el punto donde 𝑥 = 𝑎

Teniendo en cuenta esta fórmula, se remplaza los valores. Una vez remplazado se utiliza la ley de extremos y medios donde 𝑏 ± 𝑑 = 𝑎

6

𝑐

𝑎∗𝑏±𝑐⋅𝑑 𝑏∗𝑑

𝑙𝑖𝑚

Racionalizando el numerador con el conjugado

√𝑎(√𝑎 + ℎ) 𝑙𝑖𝑚 √𝑎 − √𝑎 + ℎ ℎ

(√√𝑎𝑎(√𝑎 − √𝑎++ℎ)( ℎ)( 𝑎𝑎++√√ 𝑎𝑎++ℎℎ) ) √√ ℎ 𝑎 − ( 𝑎 + ℎ)

𝑙𝑖𝑚

ℎ→0 ℎ √𝑎(√𝑎

𝑙𝑖𝑚

ℎ→0 ℎ √𝑎(√𝑎

𝑙𝑖𝑚

ℎ→0 ℎ √𝑎(√𝑎

𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

1

+ ℎ)(√𝑎 + √𝑎 + ℎ ) 𝑎−𝑎−ℎ

Se realiza la multiplicación en el numerador del signo negativo

+ ℎ)(√𝑎 + √𝑎 + ℎ) −1

Se simplifica la h en el numerador y denominador

+ ℎ)(√𝑎 + √𝑎 + ℎ ) −ℎ

√𝑎(√𝑎 + ℎ)(√𝑎 + √𝑎 + ℎ) −1 √𝑎(√𝑎)(√𝑎 + √𝑎) =

√𝑎 − √𝑎 + ℎ √𝑎 + √𝑎 + ℎ En el numerador se realiza diferencia de cuadrados y se realiza la división de fracciones.

−1

2𝑎 √𝑎

1 −3 𝑎 2 = − 3 2 2𝑎2

Se hace la suma algebraica del término a en el numerador Reemplazando el límite cuando ℎ → 0 Operaciones entre radicales multiplicación y suma. 𝑚

Se aplica la propiedad en el denominador de 𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚 y también la propiedad de los exponentes en cuanto a multiplicación Donde se opera, Por lo tanto, esta sería la pendiente de la recta tangente a la curva 𝑦 =

1 √𝑥

𝑛

en el punto donde 𝑥 = 𝑎

b) Plantee las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1, 1) 𝑦 (4, 2). 1

𝑦 − 𝑦0 =𝑚 𝑥 − 𝑥0

Esta es la ecuación de una línea que pasa con pendiente 𝑚 que

1 3 𝑓´(𝑎) = − 𝑎 −2 2 𝑦−1 1 =− 𝑥−1 2

Pendiente de la tangente en (1, 1) es 𝑓´(1) = − (1)−2 = − 2 2

1 3 𝑚 = − 𝑎−2 2

2 ( 𝑦 − 1 ) = −( 𝑥 − 𝑦 ) 2𝑦 − 2 = −𝑥 + 1 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟑

pasa a través de los puntos (a, b)

Por medio de la fórmula de la pendiente del punto a 1

3

La ecuación de la tangente en el punto (1, 1), Se Remplaza Se organiza los términos Se realiza la operación La ecuación de la recta tangente en los puntos (1,1)

7

1

𝑦−𝑦0

𝑥−𝑥0

1 23 𝑓´(𝑎) = − 𝑎 − 2 3 1 𝑓´(4) = − (4)−2 2 1 1 1 =− ( )=− 2 8 16 1 𝑦−2 1 =− 𝑥−4 16

1 16 (𝑦 − ) = −(𝑥 − 4) 2 16𝑦 − 8 = −𝑥 + 4 𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 = 𝟏𝟐

La pendiente de la tangente en (4, ) 2 Se remplaza por 𝑥 = 4

1

Se realiza la multiplicación de fracciones. Por lo tanto, la ecuación de la tangente en el punto (4, 2) 𝑠e

reemplaza

1

𝑦−𝑦0

𝑥−𝑥0

Luego, aplicar la propiedad distributiva Se realiza la operación

La ecuación de la recta tangente en los puntos (𝟒, 𝟐)

c) Grafique la curva y ambas rectas tangentes en una misma pantalla.

Gráfico I. Representación de las funciones y la

La curva verde es 𝑦 =

1

derivada tomada de GeoGebra (2020)

√𝑥

La línea rosada es tangente a el punto (1, 1), y su ecuación es 𝑥 + 2𝑦 = 3

La línea morada es la tangente del punto (4, 2) y su ecuación es 𝑥 + 16𝑦 = 12 1

8

𝟏

OBJETIVO: Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y posteriormente encontrar el punto de tangencia. FUNDAMENTOS A EMPLEAR Y ESTRATEGIAS A EMPLEAR: Empleando la definición de la recta tangente, derivadas, y punto pendiente se establecerá y planteará la ecuación de la recta tangente en la curva 𝑦 =

5𝑥 (1+𝑥2 )

en el punto (2, 2).

Problema 25 a) Si 𝑓(𝑥 ) =

5𝑥 (1+𝑥2 )

encuentre 𝐹´(2) y utilícela para encontrar la ecuación de la recta

tangente a la curva 𝑦 =

5𝑥 (1+𝑥2 )

en el punto (2, 2).

5𝑎 5𝑥 − 𝑓 (𝑥 ) − 𝑓 (𝑎 ) 1 + 𝑥 2 1 + 𝑎2 = 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 𝑥−𝑎 Se utiliza la forma del cociente de diferencia conectándola con 𝑓(𝑥 ) 𝑦 𝑓(𝑎) 5𝑎 5𝑥 ( 2 − 1 + 𝑎 2 ) (1 + 𝑥 2 )(1 + 𝑎 2 ) 1 + 𝑥 ∗ 𝑓 ′ (𝑎) = 𝑙𝑖𝑚 ( 𝑥 − 𝑎) (1 + 𝑥 2 )(1 + 𝑥 2 ) 𝑥→𝑎 Se multiplica por el mínimo común denominador de la fracción, para así simplificar 5𝑥 + 5𝑥𝑎2 − 5𝑎 − 5𝑥 2 𝑎 5𝑥 (7 + 𝑎2 ) − 5𝑎 (1𝑡𝑥 2 ) 𝑓 ′ (𝑎) = 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎)(1 + 𝑥 2 )(1 + 𝑎2 ) 𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎)(1 + 𝑥 2 )(1 + 𝑎 2 ) se simplifica… 5[((𝑥𝑎2 − 𝑎 ) − (𝑥 2 𝑎 − 𝑥 ))] 5[𝑎 (𝑥𝑎 − 1) − 𝑥 (𝑥𝑎 − 1)] = 𝑙𝑖𝑚 𝑓 ′ (𝑎) = 𝑙𝑖𝑚 2 2 𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎)(1 + 𝑥 )(1 + 𝑎 ) 𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎)(1 + 𝑥 2 )(1 + 𝑎2 ) Se factoriza los 5 y se reorganiza los factores dentro de los corchetes para facilitar la factorización grupal. 5(𝑎 − 𝑥 )(𝑥𝑎 − 1) −5(𝑥𝑎 − 1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓 ′ (𝑎) = 𝑙𝑖𝑚 2 2 𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎)(1 + 𝑥 )(1 + 𝑎 ) 𝑥→𝑎 (1 + 𝑥 2 )(1 + 𝑎 2 ) 𝑎𝑥 = −1 Después de factorizar en grupo se simplifica 𝑥𝑎 −5(𝑎2 − 1)2 −5(𝑎 ⋅ 𝑎 − 1) 𝑓 ′ (𝑎 ) = = ( 1 + 𝑎2 ) 2 (1 + 𝑎2 )( 1 + 𝑎 2 ) A medida que x se acerca hasta 𝑎 , se acerca tanto 𝑎 como se quiere, por lo que se supone que x=a para simplificar esta expresión y hacerla útil para otros valores de a. 𝑓 ′ (𝑎 )

9

Ahora se sustituye 2 para obtener la𝑓 ′ (2) −5(𝑎2 −2 12)2 𝑓 ′ (𝑎 ) = (1 + 𝑎 ) −5(22 − 1) −5(3) −15 3 𝑓 ′ (2) = =−5 = 2 = 2 2 (1 + 2 ) 25 5 Una vez sustituido se realiza la operación, de esta forma se ha determinado la pendiente de la encuentre 𝐹´(2) Ahora bien, se conoce la pendiente 𝐹´(2) se utiliza la formula punto pendiente (𝑦 − 𝑦1 ) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) para obtener la ecuación de la línea tangente a la grafica 𝑓(𝑥 ) que pasa por el punto (2, 2), donde 𝑚 = 𝑓 ′ (2). 3 Aplica propiedad distributiva de la multiplicación (𝑦 − 2) = − (𝑥 − 2) 5 6 3 𝑦−2 =− 𝑥+ Se pasa el dos a sumar, se multiplica por 5 5 10 5 6 10 3 para tener 3 fracciones homogéneas 5 5 𝑦=− 𝑥+ + 5 5 5 3 16 Se realiza la suma de fraccionarios, y se 𝑦=− 𝑥+ 5 5 obtiene el resultado final Respuesta La pendiente 𝑚 = 𝑓 ′ (2) es igual a 𝑓 ′ (2) = − 5 3

La ecuación de la recta tangente en el punto (2, 2) es 𝑦 = − 5 𝑥 + 3

16 5

b) Ilustre el inciso a) graficando a la curva y la recta tangente en la misma pantalla.

Grafica II. Representación de la función y la derivada tomada de GeoGebra (2020)

10

La curva rosada es 𝑦 = (1+𝑥2 ) 5𝑥

La línea punteada azul es tangente de (2, 2), y su ecuación es 𝑦 = − 5 𝑥 + 3

16 5

OBJETIVO: Establecer la derivada de la función cuando el límite tiende a 0. FUNDAMENTOS A EMPLEAR Y ESTRATEGIAS A EMPLEAR: Empleando la definición de la recta tangente, derivadas, y punto pendiente se establecerá y planteará alguna función f en algún número x = a.

Problema 34 Cada uno de los siguientes limites representa la derivada de alguna función f en algún número x = a. Establezca una f y una a en este caso √16 + ℎ − 2 ℎ→0 ℎ lim

4

𝑓 ( 𝑎 + ℎ) − 𝑓 ( 𝑎 ) ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (𝑎) = 𝑙𝑖𝑚

√16 + ℎ − 2 lim ℎ→0 ℎ 4

√16 + ℎ − √16 ℎ→0 ℎ 𝑙𝑖𝑚 Por ende

𝑎 = 16

4

4

𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 4

Recordando la ecuación de límites para derivada

En donde el 2 se puede reescribir como √16 4

Donde se deduce que

𝑓(16 + ℎ ) − 𝑓(16) = 𝑓 ′ (16) ℎ→0 ℎ 𝑙𝑖𝑚

Podemos ver que esta es la ecuación para f desde la parte elevada a 1/4 (o la base de raíz de x cuadrada)

Este es el valor debido a que es el valor dentro de la parte elevada a 1/4. También 16 elevado a 1/4 es 2, por lo que esto funciona para el 2 en el lado derecho del numerador 11

OBJETIVO: Estimar e interpretar valores en las razones de cambio para hallar un valor determinado en un problema de ecología FUNDAMENTOS A EMPLEAR Y ESTRATEGIAS A EMPLEAR: Empleando la definición de razones de cambio se hallará el valor determinado en un problema de ecología de agua y cantidad de oxígeno. RAZONES DE CAMBIO

Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y lo expresamos como y= f (x). Si x cambia de 𝑥1 a 𝑥2 , entonces el cambio en x (también conocido como incremento de x) es 𝛥𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1

y el cambio correspondiente en y es ∆𝑦 = 𝑓 (𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) El cociente de diferencias ∆𝑥 = ∆𝑦

𝑓(𝑥2 )−𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 −𝑥1

Tomado de Stewart (2012)

Problema 51 La cantidad de oxígeno que puede disolverse en agua depende de la temperatura de esta. (De esa manera la polución térmica índice el contenido de oxígeno en el agua.) la gráfica muestra como varia la solubilidad S de oxígeno como una función de la temperatura del agua T.

Gráfico III. Niveles de oxígeno vs nivel de temperatura en el agua tomada y adaptada de Stewart (2012)

12

a) ¿Cuál es el significado de la derivada S´ (T)? ¿Cuáles son sus unidades? La derivada S´ (T) mide la probabilidad de solubilidad de oxígeno por unidad de cambio de temperatura, sus unidades son miligramos por litro y por otro lado la temperatura por grados Celsius b) Estime e interprete el valor de S´ (16). Para estimar este valor se utiliza la presente formula

∆𝑦 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) = ∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1

Donde

𝑆′ (𝑇 ) =

∆𝑠 ∆𝑇

∆𝑠 8 − 12 4 = −0,25 = =− 16 ∆𝑇 24 − 8

Esto quiere decir que a 16 ℃ para un aumento de temperatura en grados, la solubilidad del oxígeno disminuye en 0,25

𝑚𝑔 ⁄𝐿.

13

Sec. 2.8. La derivada como una función

OBJETIVO Relacionar las gráficas en cada función con las gráficas de sus derivadas. FUNDAMENTOS Y ESTRATEGIAS A EMPLEAR: Primero se debe reconocer las funciones y de acuerdo a los conceptos de recta tangente, identificar su respectiva gráfica, es de notar los puntos máximos y mínimos de las gráficas.

FUNCIONES DERIVABLES

Una función es derivable en 𝑥 = 𝑎 si 𝑓 ′(𝑎) existe. Es derivable sobre un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) [𝑜 (𝑎, ∞) 𝑜 (−∞, 𝑎) 𝑜 (−∞, ∞)] si es derivable en todo número del intervalo. FUNCIONES NO DERIVABLES

Gráfico IV: Funciones 𝑓(𝑥) no derivables, tomado y adaptado de Stewart (2012)

Problema 3 Relacionar las gráficas de las funciones de la a la d con sus respectivas derivadas:

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Grafica V. Grafica de las funciones a, b, c y d y las derivadas I, II, III y IV para hacer la relación tomada y adaptada de Stewart (2012)

La función a se relaciona con la II derivada

Grafica VI. La función 𝑓(𝑥) 𝑎 y su respectiva derivada 𝑓 ′ (𝑥) II, tomada y adaptada de Stewart (2012)