MÉTODOS: SUBSTITUIÇÃO, RETROATIVIDADE E GAUSS PDF

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SUBSTITUIÇÃO,
RETROATIVIDADE E
GAUSS
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UEMA - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO ENGENHARIA DE PESCA DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO

MÉTODOS: SUBSTITUIÇÃO, RETROATIVIDADE E GAUSS

Introdução Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações lineares. Designamos os sistemas lineares pelo número de equações e de incógnitas que eles possuem. De forma geral, um sistema linear de equações e incógnitas também podem ser chamados de sistema linear (lê-se “m por n”), e é constituído de m equações, onde cada equação contém as mesmas incógnitas:

Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear. Um sistema linear homogêneo é um sistema composto apenas por equações lineares homogêneas, ou seja, são sistemas onde todas as equações tem termo independente igual a zero. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos uma solução: a solução nula

, também chamada de solução trivial. Obviamente, o sistema

pode admitir também outras soluções, além da trivial. Desenvolvimento MÉTODOS DA SUBSTITUIÇÃO

Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, para determinar o seu valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na outra equação. Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor encontrado e, assim, encontramos também o valor da outra incógnita.

Figura: 1

Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte maneira:

Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte maneira:

Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (8 , 4). Repare que esse resultado tornam ambas as equações verdadeiras, pois 8 + 4 = 12 e 3.8 4 = 20.

MÉTODO DA RETROATIVIDADE Um sistema Ax=b é chamado de triangular se os elementos de coeficientes localizados acima ou abaixo da diagonal forem igual a zero.

Dado A, se aij=0 para todo ij, tal que i, j=1,2...,n,o sistema é inferior triangular

Figura: 3

se aii é diferente de 0 para i=1,2...n, então o sistema triangular é determinado e a solução pode ser facilmente encontrada através de métodos de substituição progressiva retroativa MÉTODO DE GAUSS O método de Gauss consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um sistema Ax = b até que, depois de n − 1 passos, se obtenha um sistema triangular superior, Ux = c, equivalente ao sistema dado, sistema esse que é resolvido por substituições retroativa

Figura: 4

Conclusão Os sistemas lineares discutem se determinadas equações fazem parte de um sistema, encarando como vetores ficaria mais fácil mas para não prolongar muito... o sistema pode ser possível ou impossível. se impossível foi pelo fato de alguma equação do sistema dá um valor absurdo como por exemplo 0=3. se possível ele pode ser determinado, ou seja todas as variáveis do sistema são determinados satisfazendo todas as equações do mesmo. sendo possível e indeterminado ele daria algo como 0(zero)/0(zero).

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