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Fiche de methode de Gauss...

Description

Fiche-méthode n°3

Electrostatique PHYS204

Calcul du champ électrique par le théorème de Gauss

Objectif : On cherche à exploiter le théorème de Gauss, pour relier le champ électrique à la répartition de charge qui le crée, par une expression mathématique précise. Cette répartition de charge, qui crée le champ électrique E(M) au point M, est disposée sur un support matériel, qui peut être un point, une ligne, une surface ou un volume(point courant P) . Par ailleurs, le théorème nécessite la définition d'une surface fermée ( = „surface de Gauss“) différente du support matériel, disposée mentalement par rapport au système étudié, et sur laquelle il n'y a généralement ni matière, ni charge présente. Le champ électrique calculé sera celui présent aux points M de cette surface. Attention donc de ne pas confondre la surface de Gauss (mentale !... point courant M) avec la surface matérielle (ou parfois le volume, ou la ligne..., point courant P) qui porte les charges. Tout ceci étant posé, le théorème de Gauss que l'on souhaite utiliser dit „simplement“ que : „Le flux du champ électrique à travers la surface fermée est égal à la charge contenue à l'intérieur de divisée par la constante 0. Q ou encore : ∯ E . dS = intr 0

Voici les six étapes à respecter dans l'ordre, pour mener efficacement le calcul :

• • • • • •

Récapitulatif Etudes des symétries et invariances de la répartition de charge, et donc du champ E. Choix judicieux de la surface de Gauss Expression du flux du champ électrique sur cette surface Recensement des charges intérieures à cette surface Application du théorème de Gauss Résolution complète, explicitant l'expression du champ E en fonction des charges.

Détail des six étapes : 1) Etudier au préalable les symétries et les invariances de la répartition de charges pour en déduire, dans les régions de l'espace étudiées, quelle est la direction du champ électrique et sa dépendance dans les coordonnées d'espace. Attention : La rédaction de cette étape demande de la rigueur et de la précision, et fait donc l'objet d'une fiche-méthode séparée. Le résultat de cette étape doit être une simplification de l'expression du champ électrique à partir du cas le plus général : E = Ex(x,y,z) ux + Ey(x,y,z) uy + Ez(x,y,z) uz , par exemple en … E = Ex(x) ux .

2) Choisir la surface fermée (dite de Gauss) adaptée et nécessaire à l'application du théorème. C'est l'étape la plus complexe, et elle s'appuie très fortement sur l'étude des syémtries de l'étape précédente. Les buts poursuivis lors de ce choix sont multiples : que le calcul du flux soit faisable facilement, qu'il mette en jeu le champ électrique là où on souhaite le calculer, et le plus souvent que cette surface entoure une partie des charges présentes, sous peine de résultat nul et parfois sans intérêt. Détaillons tous les critères que doit vérifier la surface de Gauss : • cette surface doit passer par les points où on souhaite calculer le champ électrique. • cette surface doit impérativement être fermée (et donc finie), c'est à dire séparer un volume intérieur de l'extérieur. Elle peut éventuellement être constituée de plusieurs sous-surfaces (exemple : boîte fermée avec fond + parois latérales + couvercle : S = S1 U S2 U S3). • pour chacune des sous-surfaces, il est préférable que sa direction soit : ou bien perpendiculaire / ou bien parallèle au champ électrique local, et surtout pas oblique. Ceci pour simplifier l'expression du produit scalaire dans le flux d = E.dS qui devient alors : soit le simple produit des normes d = E.dS / soit carrément nul d = 0. • sur chacune des sous-surfaces, il est préférable que le champ électrique ait une norme constante, (ce qui ddemande d'exploiter les dépendances relevées au §1). (Sinon, il faudra envisager au moins une dépendance simple de E(M) avec la position M sur la surface de Gauss, ainsi favorable au calcul du flux S(E), sous peine de rester bloqué au §3 ! ) • elle doit le plus souvent englober une partie des charges de la répartition étudiée. (ça dépend de ce qu'on veut montrer, cependant...)

3) Relation entre champ électrique ↔ Flux sur la surface de Gauss choisie au §2 : Calculer le flux du champ électrique en fonction de ce champ électrique présent aux différents points de cette surface de Gauss. On pourra éventuellement décomposer l'intégrale définissant ce flux en contributions des différentes sous-surfaces, puis intégrer séparément chacune d'elle. (E) = S1 (E) + S2 (E) + S3 (E) = … expression faisant intervenir directement E(M).

4) Décompte des charges englobées par : calcul de Qint. Recenser les charges présentes à l'intérieur de la surface de Gauss. Pour une répartition de charge homogène, cela revient souvent à estimer une (longueur de ligne / une aire / ou encore un volume) matériel(le) chargé(e) emprisonné(e) dans la surface de Gauss . puis à le/la multiplier par la densité de charge correspondante. Parfois, la densité de charge n'est pas homogène, et dépend du point P balayant le volume intérieur délimité par la surface de Gauss . Pour obtenir Qint, il faut alors de nouveau calculer une intégrale, cette fois sur tout ce volume intérieur, en sommant les charges élémentaires d3q = (P).d3V.

5) Application du théorème de Gauss par la mise en commun des éléments {] préparés aux étapes précédentes. On écrit simplement bout à bout : { expression du flux selon E(M) } = ↑ où on reconnaît les étapes précédentes : (§2)

(E)

= Qint / ↑ (Th Gauss)

0

= {expression de Qint} / ↑ (§4) .

0

On dispose alors maintenant d'une relation explicite entre le champ E(M), la densité de charge (P) intervenant dans { Qint }, ainsi que différents facteurs géométriques qui dépendent de la forme de la répartition de charge et de la forme de la surface de Gauss.

6) Résolution complète : On termine juste la démarche en exprimant E(M), en l'explicitant par le calcul à partir de la relation précédente.... C'est le résultat qu'on souhaitait obtenir !...