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Summary

Cours dispensé par Morgan Tanvé, M2 - S5, Conseil et Expertise Économique....

Description

Microéconomie avancée Intro La théorie microéconomique est fondée sur le principe de l'équilibre concurrentiel (ARROW et DEBREU). Représentation de l'économie dans le cadre de ARROW-DEBREU : On considère une économie composée de biens et de ressources. On suppose qu'il y a n biens dans l'économie (k=1,...,n). Il y a plusieurs individus : • Consommateurs : un nombre I de consommateur (i=1,...,I). Chaque consommateur est caractérisé par _une dotation initiale (revenu) : wi ϵ Rn+ ◦ _Ses préférences sont représentées par une fonction d'utilité U i(x) ◦ _Ses parts dans les usines de l'éco sont représentés par Oij (j=entreprises) Hypothèses à mentionner: _ H1:On suppose Ui défini sur Rn+ _H2 : On suppose que Ui respecte l'axiome de non satiété. C'est-à-dire que si x1 > x2 → Ui(x1) > Ui(x2). _H3 : On suppose que les préférences des individus sont convexes, c'est-à-dire que si Ui(x1) = Ui(x2), alors on peut trouver une proportion λ : ⱻ λ ϵ [0,1] tq U i( λ x1 + (1-λ) x2) > Ui(x1) → le consommateur préfère la diversité à la spécialisation. _H4 : On suppose que Ui est différentiable jusqu'à l'ordre 2 (on peut dériver 2 fois). • Producteurs : nombre J de producteurs (j=1,..,J), il est caractérisé par : _ un ensemble de production θj correspondant à tout les plans de production possibles pour l'entreprise j. ◦ _chaque producteur est caractérisé par un plan de production : yj = (yj1, yj2,..., yjn) ϵ Rn. On peut avoir des termes négatifs correspondant aux inputs ( y jk) < 0 et des termes positifs correspondant aux outputs ( yjk) > 0. Exemple : yj = (-1, 2, -3), n = 3 biens. Ce plan de production nous dit que l'entreprise j produit 2 unités de bien (2) en utilisant 1 unité de bien (1) et 3 unités de bien (3). j si ( y k) = 0, cela signifie que le bien k n'est utilisé ni comme input, ni comme output. Un plan de production n'est possible que s'il appartient à θ j l'ensemble des plans de production possibles pour l'entreprise j. Soit, yj

ϵ θj.

Notations : Système de prix (vecteur de prix) : p = (p1, p2,..., Pn) Profit du producteur : Πj = Σnk=1 pk yjk

ϵ Rn+

Revenu du consommateur i : Ri = Σnk=1 pk wk + ΣJj=1 θij Πj Equilibre d'une économie de marché concurrentiel: 1) Une éco de marché est une éco dans laquelle les plans des agents éco se coordonnent au moyen d'un système de prix. 2) Les marchés sont dits concurrentiels lorsque les agents considèrent les prix comme donnés. 3) Une économie de propriété privée est une éco dans laquelle les consommateurs possèdent les biens disponibles initialement et des droits de propriété sur les usines de l'économie. 4) Un équilibre de marché de l'économie de marché concurrentielle et de propriété privée est la donnée: _d'un système de prix p* (=p1*,...,pn*) _de quantité de biens consommés par les consommateurs x*, et de quantité de biens produite par les producteurs y* tq les agents considérants les prix comme donnés: • chaque consommateur i max Ui sous contrainte de budget. Σnk=1 pk xk ≤ Ri. → xi* • Chaque producteur j max Πj sous contrainte yj ϵ θj → yj* • Chaque marché k vérifie à l'équilibre que i I Σ i=1 x k* = ΣIi=1 wik + ΣJj=1 yjk* Tout équilibre de marché vérifie les 2 propriétés suivantes : 1. Chaque consommateur i sature sa contrainte de budget, et pour tout bien k, k' le consommateur égalise le TMS (taux marginal de substitution) au rapport des prix de ces biens pk''/pk. (TMS = pk''/pk.) 2. A l'équilibre de marché chaque entreprise j sature sa contrainte technologique. Et pour tout bien k et k' l'entreprise égalise le TMT (taux marginal de transformation) du bien k en bien k' au rapport des prix pk''/pk (TMT =pk''/pk )

Dans cette configuration on peut vérifier les 2 théorèmes du bien-être : 1) Un équilibre concurrentiel est pareto optimal.

2) Sous les hypothèses de convexité, toute allocation pareto optimale peut être décentralisée par un choix judicieux des prix et une redistribution adéquate des revenus entre les consommateurs. L'implication forte de ces 2 théorèmes est que la seule préoccupation économique de l'Etat devrait être de favoriser l'existence d'une économie de propriété privée. Et veiller à l’émergence et au bon fonctionnement des marchés concurrentiels. Autre préoccupation potentielle de l'Etat : la distribution du revenu entre les consommateurs si la distribution actuelle est considérée comme n'étant pas optimale. Cependant, plusieurs facteurs empêchent les marchés de fonctionner de manière parfaitement concurrentielle. Plusieurs facteurs conduisent à ce qu'on appelle des défaillances de marchés : • Existence de pouvoir de marché (monopoles, concu imparfaite,...) • Les biens avec externalités ou l'existence de biens publics • Existence d'asymétrie d'information (les indiv ne sont pas également informés sur les biens ou sur les comportements des parties liées à la transaction). • L'incertitude (les indiv ont une incertitude sur l'avenir ce qui affecte potentiellement leur comportement). Plan : Partie 1 : Risque et incertain Partie 2 : Asymétries d'information

Partie 1 : Risque et incertain 1.1) Intro La plupart des décisions éco se prennent dans un environnement incertain. Les agents sont amenés à prendre des décisions dont les conséquences ne sont pas connues avec certitude (investissement,...). On a donc besoin de formaliser le problème de décision en incertain. Pour formaliser le pb de décision en incertain on doit répondre à un certain nb de questions : • Quelles sont les sources d'incertitude ? • Dispose-t-on d'info, et si oui lesquelles sur cette incertitude ? • Est-ce que cette info affecte la valorisation des décisions des agents. Et si oui, comment ? On va donc s'intéresser à la théorie de la décision. On va donc faire une revue des différents modèles qui ont été créés pour rendre compte de la manière avec laquelle les individus prennent leurs décisions. Ce qui va nous amener à distinguer 2 types de situations : • Les situations dite « de risque » • Les situations dites « d'incertain » Il s'agira ensuite d'étudier les comportements des agents face au risque et face à l'incertain.

1.2) Différentes formes d'incertitudes Toutes les situations qui présentent de l'incertitude ne sont pas également incertaines. On distingue

donc différentes formes de situations incertaines (différence entre risque et incertitude → Knight 1921). Il distingue différentes formes d'incertitudes : • Risque • Incertitude • Incertitude radicale On appelle un état du monde un état qui décrit tout les aspects du monde pertinents pour le problème de décision considéré. Lorsque l'état du monde ne décrit pas les croyances des individus, on parle d'état de la nature. Le risque est une situation dans laquelle le décideur dispose d'une connaissance parfaite de la distribution des probabilités des différents états de la nature possibles. (lancé de dé, poker,...). L'incertitude est une situation dans laquelle le décideur ne connaît pas l'ensemble des distributions de probabilité des différents états du monde. Dit autrement, on connaît les différents états de la nature mais on ne peut pas déterminer les probabilités d’occurrence (Tout ce qui touche à la prévision). L'incertitude radicale est une situation dans laquelle le décideur ne connaît pas l'ensemble des états de la nature qui peuvent advenir. Pour les décideurs publics, dans une situation de risque on se doit d'appliquer le principe de prévention (situation dans laquelle on sait que le risque est avéré, et d'après le principe de prévention on doit décider d'engager ou non l'action qui découle de l'évaluation). Face aux situations d'incertitude, il s'agirait de mettre en place le « principe de précaution » définit en France comme « l'obligation faite aux autorités publiques de mettre en œuvre des procédures d'évaluation des risques et d'adopter des mesures provisoires et proportionnées afin de parer à la réalisation du dommage lorsque celui-ci peut affecter de manière grave et irréversible l'environnement (en l'état actuel des connaissances). » Dans le cas de la consommation d'OGM, le principe de précaution dit que, sachant que dans le pire des cas il peut se passer quelque chose de désastreux. Une des approches peut être de tout mettre en œuvre pour minimiser les dégâts si le pire survient.

1.3) Les problèmes de décision en incertain 1.3.1) Le paradoxe de Saint-Pétersbourg Exposé et repris au XVIIIe siècle par les Bernouilli. On considère un jeu qui consiste à lancer une pièce jusqu'à ce qu'elle tombe sur pile. Ce jeu rapporte alors 2n€ où N correspond au nombre de lancés nécessaires pour tomber sur pile. 2 décisions : refus de jouer ou acceptation. Si acceptation, payer participation d'un montant p. Question : Combien est-on prêt à payes pour jouer à ce jeu ? Il faut trouver la disposition maximale à payer pour jouer, c'est-à-dire le prix pour lequel la satisfaction procurée par le fait de jouer est égale à celle obtenue lorsqu'on s’abstient : U(jeu) ≥ U(pas jeu) U(jeu) ≥ 0 U(jeu) = E(gain)

G= 21, 22, 23,..., 2N ½, (1/2)2,... U(jeu) = E(G-P) = E (G)-P = 21(½) + 22 (1/2)2 + 23 (1/2)3 + 2N (1/2)N - P = 1N – P = ∞ - P Et comme on veut U(jeu) ≥ 0 ∞ - P ≥ 0 P = ∞ Une personne qui a des préférences représentée par la fonction d'utilité correspondant à E(gain) devrait être prête à payer une somme infinie (toute sa fortune) pour jouer à ce jeu. Les individus qui refusent de jouer toute leur richesse à ce jeu ont donc des préférences qui ne sont pas représentables par l'E(gain). Le critère de l'E(gain) n'est donc pas suffisant pour comprendre la prise de décision des individus face à ce jeu, et plus généralement dans une situation de risque. Face à ce paradoxe, Bernouilli va considérer que les joueurs ne se déterminent pas en fonction de l’espérance mathématique de gain. Mais se détermineraient plutôt par rapport à une utilité qu'il qualifies d'espérance morale. Il se dit que des gens raisonnables évaluent l'argent non pas pour l'argent en tant que tel, mais en raison de l'utilité qu'ils retirent de cet argent. Les gens utiliseraient donc plutôt un critère d'utilité d'espérance de gain. Ils ne jouent pas pour l'argent mais pour l'utilité que ce gain procure. Espérance morale (G) = ΣN (1/2)N ln(2N) Contre initialement espérance classique (G) = ΣN (1/2)N (2N) 1.3.2)

Démarche de la théorie de la décision en incertain

1.3.2.1) Rappel de la théorie de la décision en certain On suppose que le consommateur est muni d'un ensemble de consommation X et d'une relation de préférence définie sur X. Cette relation de préférence est une relation binaire qui va classer tout les biens ou paniers de consommation entre eux. (x>y). On dit que si cette relation est un pré-ordre (réflexion réflexive et transitive) total et continu, alors ⱻ U déf de X dans R qui représente une relation de préférence.

∀(𝑥, 𝑦)ϵ X, x ≥ y U(x) ≥ U(y) On cherche à étendre cette démarche au pb de choix en environnement incertain. C'est-à-dire qu'on considère des préférences et on cherche des conditions (axiomes) sur ces préférences qui sont telles qu'il existe une fonction d'utilité à même de représenter ces préférences. La différence étant qu'en environnement certain on raisonne sur des biens, en environnement incertain on raisonne sur des var aléatoires (loteries). 1.3.2.2) Exemple On considère un agent éco faisant face à un risque de sinistre d'un montant de L€. 2 états de la nature sont possibles : ▪ Si = Pas de sinistre et S2 = Survenue du sinistre La richesse initiale de l'agent est notée w0 L'agent doit choisir entre ne rien faire, ou prendre une assurance qui couvre tout ou une partie du

sinistre, d'un montant de prime ∏ (α) av α ϵ [0, 1] On cherche à concevoir les décisions de l'agent comme des fonctions qui vont associer à chaque état de la nature une conséquence exprimée en terme monétaire. 𝑠1 → 𝑤0 • Ne rien faire : 𝐴󰆽 = {𝑠2 → 𝑤0 − 𝐿 }

Décisions possibles :

𝑠1 → 𝑤0 − ∏(1) } • Assurance totale (α = 1) :𝐴(1) = { 𝑠2 → 𝑤0 − ∏(1) − 𝐿 + 𝐿 = 𝑤0 − ∏(1) 𝑠1 → 𝑤0 − ∏(𝛼) • Assurance partielle (α ϵ ]0, 1[) :𝐴(𝛼) = { } 𝑠2 → 𝑤0 − ∏(𝛼) − 𝐿 + 𝛼𝐿

1.4)

La décision dans le risque

S = Ensemble des états de la nature C = ensemble des conséquences X = SC x ϵ X est une décision ou un acte. On suppose que chaque agent a une relation de préférence (≥) sur X On suppose que le décideur fait face à une situation de risque, c'est-à-dire qu'il connaît la loi de proba sur S. On suppose également que les conséquences sont monétaires (C inclus dans R). Une décision est une variable aléatoire qui appartient à l'ensemble des décisions, et qui va de l'ensemble des états de la nature dans l'ensemble des conséquences. Soit, Une décision est une variable aléatoire ϵ X : S → C. Une décision induit une loi de proba sur l'ensemble des conséquences. C'est-à-dire qu'étant donnée une décision, on peut calculer la proba d'obtenir chacune des conséquences. Dans l'exemple précédent, si l'on considère seulement 2 décisions : ◦ Ne rien faire (𝐴󰆽) ◦ S'assurer totalement (A(1)) On constate alors qu'il y a 3 conséquences possibles : 𝐶 = {𝑤0 − 𝐿, 𝑤0 − ∏(1), 𝑤0 }

Et on associe à ces conséquences des probabilités de survenue selon chaque décision, soit : pour « ne rien faire » 𝑃𝐴󰆽 (𝑤0 − 𝐿) = 𝑝, 𝑃𝐴󰆽 (𝑤0 − ∏(1)) = 0, 𝑃𝐴󰆽 (𝑤0 ) = 1 − 𝑝

Et pour « s'assurer complètement »

𝑃𝐴(1) (𝑤0 − 𝐿) = 0, 𝑃𝐴(1) (𝑤0 − ∏(1)) = 1 , 𝑃𝐴(1) (𝑤0 ) = 0

Au départ on a des proba sur des états de la nature. En écrivant ainsi ça nous permet de voir que chaque décision induit une proba sur les conséquences, étant donné les proba sur les états de la nature. L = l'ensemble des lois de probabilité à support dans C. Le travail du décideur va donc être de comparer les lois de probabilité entre elles. 1.4.1)

Le modèle d'espérance d'utilité

Von Neuman et Morgenstern. Modèle Développé en 1947 et qui reste le modèle dominant d'analyse de la prise de décision dans le risque. Modèle qui a été remis en cause par des expériences qui ont permis de développer de nouveaux modèles de décision dans le risque. Le modèle d'espérance d'utilité repose, en plus de l'axiome de pré-ordre total (capable de déf des préf sur ttes les conséquences) et de l'axiome de continuité (préf pour la diversité) (ils sont utilisés en

certain), E(U(x)) repose sur axiome appelé « axiome d'indépendance ». Opération du mixage des lois de proba

∀𝑙𝑜𝑖𝑑𝑒𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑙, 𝑙′ ∈ 𝐿et α ϵ ]0 , 1[ α mixage des lois de proba l, l', la loi 𝑙′′ = 𝛼𝑙 + (1 − 𝛼)𝑙′ Tel que pour tout événement E, elle nous donne : 𝑙′′(𝐸) = 𝛼 ∗ 𝑙(𝐸) + (1 − 𝛼) ∗ 𝑙′(𝐸) Exemple : l = lancer de pièce (P, ½ ; F, ½) l' = lancer de dé (Paire, ½ ; Impaire, ½) l'' (P, α *½ ; F, α ½ ; Paire, (1- α)* ½

;

Impaire, (1- α)*

½)

Axiome de continuité On dit que la relation de préférence est continue (au sens de JENSEN 67) si ∀𝑙, 𝑙′, 𝑙′′ ∈ 𝐿, ∃𝛼 ∈ [0; 1]tq 𝛼 ∗ 𝑙 + (1 − 𝛼) ∗ 𝑙′ > 𝑙′′

et 𝑙′′ > 𝛽 ∗ 𝑙 + (1 − 𝛽) ∗ 𝑙′ Cela correspond au principe de préférence pour la diversité. C'est-à-dire qu'on peut préférer un mixe de 2 biens à une spécialisation d'un bien. Axiome d'indépendance ∀𝑙, 𝑙′, 𝑙′′ ∈ 𝐿, ∃𝛼 ∈ [0; 1] l > l' 𝛼 ∗ 𝑙 + (1 − 𝛼) ∗ 𝑙 ′′ > 𝛼 ∗ 𝑙′ + (1 − 𝛼) ∗ 𝑙′′

(mix de l, l'' > mix de l', l'') Théorème de Von Neuman et Morgenstern. Soit L l'ensemble des lois de proba à support fini dans C (conséquences), muni de la relation de préférence (≥). Les 2 propositions suivantes sont équivalentes : ▪

La relation de préférence satisfait les axiomes de pré-ordre total, de continuité et d'indépendance.

▪ Il existe une fonction d'utilité U représentant la relation de préférence, avec U(l) = Σc ϵ C l(c) u(c) avec u : C → R Cette fonction est continue et croissante. Cette fonction u() permet de caractériser le comportement du décideur « EU ». Exemple : Si l'agent est EU, alors il possède une fonction d'utilité de Von Neuman et Morgenstern notée u() tq son espérance d'utilité pour chacune des décisions s'écrit comme suit : 𝐴󰆽 = (𝑤0 − 𝐿, 𝑝; 𝑤0 − 𝜋(1),0; 𝑤0 , 1 − 𝑝) 𝑈(𝐴󰆽) = 𝑝 ∗ 𝑢(𝑤0 − 𝐿) + (1 − 𝑝) ∗ 𝑢(𝑤0 ) + 0 ∗ 𝑢(𝑤0 − 𝜋(1))

𝐴(1) = (𝑤0 − 𝐿, 0; 𝑤0 − 𝜋(1),1; 𝑤0 , 0) 𝑈(𝐴(1)) = 0 ∗ 𝑢(𝑤0 − 𝐿) + 0 ∗ 𝑢(𝑤0 ) + 1 ∗ 𝑢(𝑤0 − 𝜋(1)) = 𝑢(𝑤0 − 𝜋(1))

L'individu préférera s'assurer complètement ssi 𝑈(𝐴(1)) ⩾ 𝑈(𝐴󰆽)

soit, 𝑢(𝑤0 − 𝜋(1)) ⩾ 𝑝 ∗ 𝑢(𝑤0 − 𝐿) + (1 − 𝑝) ∗ 𝑢(𝑤0 ) 1.4.2)

Paradoxe d'Allais

Un économiste français (maurice Allais) va remettre en cause un certain nb d'axiome de Von Neuman et Morgenstern. Dans son expérience, il pose : L1 : (1M, 1) L2 : (1M, 89/100 ; 5M, 10/100 ; 0M, 1/100) → souvent L1 ≥ L2 L3 : (1M, 11/100 ; 0M, 89/100 ) L4 : (5M, 10/100 ; 0M, 90/100) → souvent L4 ≥ L3 si on calcule : 𝑈(𝐿1) ⩾ 𝑈(𝐿2) 1 ∗ 𝑢(1) ⩾ 0,89 ∗ 𝑢(1) + 0,1 ∗ 𝑢(5) + 0,01 ∗ 𝑢(0)

0,11 ∗ 𝑢(1) ⩾ 0,1 ∗ 𝑢(5) + 0,01 ∗ 𝑢(0) et 𝑈(𝐿3) ⩽ 𝑈(𝐿4) 0,11 ∗ 𝑢(1) + 0,89 ∗ 𝑢(0) ⩽ 0,1 ∗ 𝑢(5) + 0,9 ∗ 𝑢(0) 0,11 ∗ 𝑢(1) ⩽ 0,1 ∗ 𝑢(5) + 0,01 ∗ 𝑢(0) (Ces 2 équations se contredisent → paradoxe) Si on raisonne en espérance d'utilité (EU), ce résultat est impossible. Si 𝐿1 ⩾ 𝐿2alors 𝐿3 ⩾ 𝐿4et inversement. ==> Cette expérience invalide l'axiome d'indépendance

Pour montrer que l'expérience d'Allais invalide l'axiome d'indépendance, considérons les loteries suivantes : P = (1M, 1) Q= (0M, 1/11 ; 5M, 10/11) ϕ0= (0M, 1) ϕ1= (1M, 1) On va procéder à une opération de mixage des lois de probabilité : considérons : L1 → P ou ϕ1 (correspond aux loteries permettant d'obtenir les mêmes conséquences que L1 et L2) L2 → Q et ϕ1

on pose :

On veut reproduire L2 à partir de Q et ϕ1 On cherche le α qui permet de retrouver les proba de la loterie L2. Dans L2, on gagne 1M avec une probabilité de 0,89. On essaye donc α = 0,89 et on calcule. D'où L1 = 0,11P + 0,89ϕ1 et L2 = 0,11Q + 0,89ϕ1 On fait la même chose avec L3, L4 L3 → P et ϕ0 L4 → Q et ϕ0

On pose :

*3

On veut β permettant de retrouver la distribution de proba de la loterie L4 à partir de Q et ϕ0, soit :

On veut donc β tq :

10 1 ) = (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑑𝑢𝑔𝑎𝑖𝑛5M𝑑𝑎𝑛𝑠𝐿4) 11 10 11 𝛽 = et donc 1- β = 0,89 100 D'où : L3 → 0,11P + 0,89ϕ0 L4 → 0,11Q + 0,89ϕ0

𝛽∗(

1.4.3) Modèle d'espérance d'utilité dépendante du rang (rank dependant expected utility -RDEU)

Ce modèle a été créé sur la base des faiblesses du modèle d'utilité espérée (EU) à rendre compte de certains comportements. Modèle EU : on fournit une représentation des préférences de type : EU = Σi pi * u(xi) Dans le modèle EU, le poids pi accordé au résultat xi est indépendant de l'appréciation qu'on peut avoir pour ce résultat xi. Or, sur la base de l'observation des comportements il semble que le poids que l'on accorde à différents résultats peuvent dépendre directement de ces résultats.

Dans le modèle RDEU, on fait dépendre les poids de chaque résultat du rang d'obtention de chacun des résultat. Cette méthode permet de résoudre le paradoxe d'Allais. EU → axiome d'indépendance (invalidé par le comportement des indiv mis en évidence par le paradoxe d'Allais). L'axiome central du modèle RDEU qui vient remplacer l'axiome d'indépendance du modèle EU (invalidé par les faits) est « L'axiome de la chose sûre comonotone dans le risque ». L'axiome de la chose sûre comonotone dans le risque : On considère 2 loteries : soient : P = (x1, p1 ; x2, p2 ; … ; xn, pn) Q = (y1, p1 ; y2, p2 ; … ; yn, pn) P et Q deux éléments de L tels que x1 ≤ x2 ≤...≤ xn et y1≤y2≤...≤yn avec xk0= yk0 pour un certain rang k0. Soient P' et Q' les loteries obtenues en remplaçant x k0 par x'k0 dans P et Q de sorte que : xk0-1 ≤ x'k0≤ xk0+1 et yk0-1 ≤ x'k0≤ yk0+1 Alors l'axiome de la chose sûre comonotone nous dit que si P ≥ Q, alors P'≥Q' (on garde l'ordre). Reprenons l'expérience d'Allais : Les loteries initiales : L1 : (1M, 1) L2 : (1M, 89/100 ; 5M, 10/100 ; 0M, 1/100) L3 : (1M, 11/100 ; 0M, 89/100 ) L4 : (5M, 10/100 ; 0M, 90/100) On les réécrit :

Pour respecter la condition de l'axiome qui dit que si P ≥ Q, alors P'≥Q', il faut : L1 ≥ L2 L'1 ≥ L'2 avec L'1 = (1M, 1/100 ; x'k0, 89/100 ; 1M, 10/100) et L'2 = (0M, 1/100 ; x'k0, 89/100 ; 5M, 10/100) Ici on voit que pour L'2 : 0M ≤ x'...