Modelo Matematicos Gripe A H1N1 Modelo Matematicos Gripe A H1N1 PDF

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examen del diploma del bachillerato internacional para ib docimuments internal assesment y todo lo relaccionado con lo anterior examen del diploma del bachillerato internacional para ib docimuments internal assesment y todo lo relaccionado con lo anterior...

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MODELO MATEMÁTICO SIR EN LA PANDEMIA DEL VIRUS INFLUENZA A SUBTIPO H1N1 2009 Haec ratio quondam morborum et mortifer aestus finibus in Cecropis funestos reddidit agros vastavitque vias, exhausit civibus urbem. nam penitus veniens Aegypti finibus ortus, aera permensus multum camposque natantis, incubuit tandem populo Pandionis omni. inde catervatim morbo mortique dabantur. Lucretius ” De Rerum Natura”, Liber VI, 1138 -1144

Camila Velasco Ruiz 1º Bachillerato SEK Alborán International School

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RESUMEN El propósito de este proyecto es analizar y explicar cómo se aplican modelos y aspectos matemáticos a la vida cotidiana, más concretamente a el desarrollo de enfermedades infeccionas que afectan a una gran parte de la población mundial. Dependiendo de la enfermedad, existen numerosos modelos matemáticos, no obstante, en este caso, nuestro interés de estudio será el modelo epidemiológico SIR (Susceptible, Infectado y Recuperado). Este modelo tiene en cuenta las personas que han sido contagiadas por la enfermedad, las que tienen más probabilidades de ser contagiadas, y, por último, las que se han recuperado. Este modelo se basa en el desarrollo de una ecuación diferencial. Lo anteriormente dicho se pondrá de manifiesto durante el transcurso del trabajo, donde se desarrollará la ecuación diferencial que da lugar al modelo epidemiológico SIR, así como el riesgo de infección de una población, determinado por diferentes características del patógeno, la transmisión de este de forma mundial, los factores medioambientales que favorecen la transmisión de una persona a otra… es decir, la relación causa- efecto entre la exposición y la enfermedad. La enfermedad por analizar será el virus Influenza A subtipo H1N1, una infección respiratoria aguda y muy contagiosa que se llevó la vida de 284.000 personas entre 2009 y 2010.

PALABRAS CLAVE Investigación- pandemia, modelos, ecuación diferencial, SIR, matemáticas, epidemiología, probabilidad.

ABSTRACT The purpose of this project is to analyze and explain how mathematical models are applied to our everyday life, more specifically to the development of infectious diseases that affect a large part of the world population. There are numerous mathematical models, however, in this case, our study interest will be the SIR epidemiological model (Susceptible, Infected and Recovered). This model takes into account people who have been infected by the disease, those who are more likely to be infected, and finally, those who have recovered. This model is based on the development of a differential equation. All of the above will be revealed during the course of the work, where the differential equation that gives rise to the SIR epidemiological model will be developed, as well as the risk of infection of a population, determined by different characteristics of the pathogen, the transmission of this form of worldwide, the environmental factors that favor transmission from one person to another ... that is, the cause-effect relationship between exposure and disease. The disease to analyze will be the Influenza A virus, subtype H1N1, an acute and highly contagious respiratory infection that killed 284,000 people between 2009 and 2010.

KEY WORDS Research- pandemic, models, viruses, equation, infected, mathematics, epidemiology, probability.

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ÍNDICE DE CONTENIDO RESUMEN.................................................................................................................................... 2 PALABRAS CLAVE.................................................................................................................... 2 ABSTRACT .................................................................................................................................. 2 KEY WORDS ............................................................................................................................... 2 1.

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 4 1.1.1. 1.2.

2.

Datos relevantes .................................................................................................... 4

Importancia de los modelos matemáticos ..................................................................... 4

MODELOS EPIDEMIOLÓGICO ........................................................................................ 4 2.1.

Modelo SIR ................................................................................................................... 4

2.1.1.

Características ....................................................................................................... 4

2.1.2.

Metodología .......................................................................................................... 5

2.1.3.

Aplicación con datos reales en el Influenza virus A subtipo H1N1. ..................... 8

3.

CONCLUSIONES .............................................................................................................. 11

4.

REFERENCIAS .................................................................................................................. 13

5. ANEXO

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1Muestra de propagación y relación entre susceptibles, infectados y recuperados .......... 5 Figura 2 Relación entre el número de personas, susceptibles, infectados y contactos .................. 6 Figura 3 Código del modelo SIR................................................................................................... 8 Figura 4 Códido del modelo SIR y gráfico obtenido .................................................................... 8 Figura 5 Gráfico susceptibles, infectados y recuperados Modelo SIR 1....................................... 8 Figura 6 Tabla de datos creación modelo SIR Excel 1 ................................................................. 9 Figura 7 Tabla de datos creación modelo SIR Excel 2 ................................................................. 9 Figura 8 Gráfico creado en Excel modelo SIR 1........................................................................... 9 Figura 9 Gráfico creado en Excel modelo SIR 2......................................................................... 10 Figura 10 Gráfico susceptibles, infectados y recuperados Modelo SIR 2.................................. 10 Figura 11 Gráfico creado en Excel modelo SIR 3....................................................................... 10 Figura 12 Gráfico susceptibles, infectados y recuperados Modelo SIR 3................................... 10 Figura 13 Gráfico de modelo Sir. ................................................................................................ 10 Figura 14 Gráfico del número de casos de Influenza 2009 ......................................................... 11 Figura 15 Gráfico curva de propagación pandemia H1N1 2009................................................. 11

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1. INTRODUCCIÓN Actualmente, las Matemáticas son utilizadas en una gran variedad de campos relacionados con el conocimiento. De esta forma, se está consiguiendo combinar distintas disciplinas de tipo científicas al usar las matemáticas aplicadas. Uno de estos campos en los que las matemáticas juegan un papel fundamental es en la epidemiología, una disciplina que se encarga del estudio de las enfermedades que afectan a humanos o animales. Tal y como establece Garnett GP, C. S. en Mathematical models in the evaluation of health programmes (2011), el centro de estudio de los modelos epidemiológicos es la dinámica de la transmisión de la enfermedad, por lo tanto, al seleccionar un modelo epidemiológico, los expertos se basan en dicha dinámica, es decir, si la transmisión es directa o indirecta mediante vectores (en este caso serían los cerdos), pues la modelación de epidemias se usa de forma diferente según cada tipo de situación y las características del patógeno.

1.1.1. Datos relevantes De acuerdo con Centro de Control y Prevención de Enferemedades (2020): Desde el 12 de abril del 2009 hasta el 10 de abril del 2010, los CDC estimaron que hubo 60.8 millones de casos de influenza (rango: 43.3-89.3 millones), 274 304 hospitalizaciones (rango: 195,086- 402,719) y 12 469 muertes (rango: 8868-18,306) en los Estados Unidos a causa del virus de la influenza (H1N1) pdm09 .

1.2.Importancia de los modelos matemáticos Tal y como indica el volumen 19 del libro Clinical Microbiology and Infection, un modelo matemático es una especie de simulación de un mundo “no real” que consiste en entidades que se comportan de acuerdo con reglas especificadas con precisión. Las matemáticas nos proporcionan un lenguaje para formular estas reglas de comportamiento de una manera concisa y sin ambigüedades, forzándonos y ayudándonos a establecer claramente nuestras suposiciones. Una vez que se construye un modelo matemático, el análisis matemático , a menudo combinado con simulaciones en ordenadores, nos ayuda a investigar el comportamiento global del modelo. Por lo tanto, dentro del contexto del modelo, podemos hacer predicciones del futuro de este mundo imaginario y también estudiar cómo cambian estas predicciones a medida que van variando las reglas descritas por el modelo que “gobiernan” a dichas entidades. Por lo tanto, un modelo matemático para la propagación de una enfermedad infecciosa en una población es sumamente importante porque describe la transmisión del patógeno entre los huéspedes, dependiendo de los patrones de contacto entre individuos infecciosos y susceptibles, el período de latencia desde la infección hasta la infección, la duración de infecciosidad, el grado de inmunidad adquirida después de la infección, etc. Una vez que todos estos factores se formulan en un modelo, podemos hacer predicciones sobre el número de individuos que se espera que se vean infectados durante una epidemia, la duración de la epidemia, la incidencia máxima y, aparte de todo esto, podemos predecir la curva esperada de la epidemia, proporcionándonos el número esperado de casos en cada periodo de tiempo.

2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICO 2.1.Modelo SIR 2.1.1. Características El modelo Sir está basado en las conocidas ecuaciones diferenciales. Tal y como establece Emilene Carmelita Pliego Pliego (2011) en su tesis, estas ecuaciones se utilizan diariamente para la modelación de fenómenos y procesos relacionados con la biología, con la física o con la química y pueden describir el crecimiento exponencial y la descomposición, el crecimiento de la población de especies o el cambio en el rendimiento de la inversión a lo largo del tiempo. Una ecuación diferencial es aquella que se escribe en la forma ecuación es una ecuación diferencial ordinaria.

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𝑑𝑦 = 𝑑𝑥

⋯ y según esto, esta

2.1.2. Metodología Antes de comenzar a desarrollar la metodología de este modelo, aclaremos nuevamente los principios del modelo Sir: ▪ ▪ ▪

S: personas susceptibles al contagio. I: personas infectadas. R: personas recuperadas incluyendo a las muertas.

Es importante mencionar que no debemos confundirnos con el modelo SIS, donde se da la situación en la que una persona recuperada puede volver a ser susceptible y volver a infectarse de la enfermedad, pero en este caso, no vamos a analizar esta situación, así como tampoco vamos a analizar el caso en el que nos encontremos con una persona en estado latente (una persona infectada está infectada y puede contagiar la enfermedad, mientras que si está en estado latente no está infectada pero puede contagiarla, tal y como ocurre en el caso de la Tuberculosis), que define el modelo SEIR. Según Brian J Coburn (Centro de Modelado Biomédico, Instituto Semel de Neurociencia y Comportamiento Humano, Escuela de Medicina David Geffen en UCLA, Los Ángeles, CA, EE. UU), el modelo SIR consiste, básicamente, en que una persona infectada transmite el virus mediante la segregación de sustancias a otros individuos susceptibles para que el virus pueda replicarse y así producir un efecto patológico sobre ellos. Dichos individuos, al estar ahora infectados, van propagando la enfermedad a otras personas susceptibles hasta que estas se recuperan, volviendo a recuperar su salud habitual, o, por el contrario, falleciendo.

Figura 1Muestra de propagación del H1N1 y relación entre susceptibles, infectados y recuperados

La probabilidad de que la persona susceptible se contagie al mantener contacto con una persona infectada no solo depende de el hecho de que haya estado en contacto con una persona contagiada, sino que también va a depender del tiempo que la persona susceptible ha permanecido en contacto con el infectado. Por lo tanto, la probabilidad de contagio va a depender del tiempo del contagio: 𝑑𝑡. Otros factores que debemos de tener en cuenta es la dosis infectiva mínima (número de unidades del agente bilógico para causar la infección). Para ello vamos a usar la letra β (beta) que establece la probabilidad por unidad de tiempo (minutos, segundos, días, …) de ser contagiado hasta llegar a la dosis infectiva mínima. Supongamos ahora el caso en el que la enfermedad no se hace visible y por lo tanto no se conoce quién está contagiado y quién no. Por lo tanto, no solo tenemos la probabilidad de que la persona susceptible sea contagiada, sino que también tenemos que considerar la probabilidad de que esté frente a una persona que está contagiada, por lo que tenemos que conocer esta probabilidad. Para ello, sabemos que: ▪ ▪

Las personas que están infectadas están determinadas por la letra I. El numero total de personas está determinado por la letra N.

Por consiguiente, la probabilidad de que una persona del total de personas, y la enfermedad (según la probabilidad β) llegue a contagiar a la persona susceptible, viene determinada por el número de personas contagiadas que hay sobre el total de personas (la probabilidad se define como el número de casos favorables dividido entre los casos posibles, que son todas las personas 𝐼 menos la persona susceptible que estamos analizando). Finalmente, esta probabilidad es , que es 𝑁 la probabilidad de que una de las personas esté contagiada, y si está contagiada, la probabilidad β es la probabilidad que la persona susceptible se contagie.

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Esto se resolvería de la siguiente manera: multiplicando la probabilidad de que una persona esté contagiada por la probabilidad de que me contagie, y por consiguiente sabríamos la probabilidad final de que la persona susceptible se contagie. 𝛽𝑑𝑡 ∗

𝐼 𝑁

Sin embargo, nos quedaría un factor por resolver, el numero de contactos con el que el resto de las personas han tenido relación (C), y la probabilidad que buscamos es la siguiente; 𝛽𝑑𝑡 ∗ 𝐶 ∗

𝐼 𝑁

Figura 2 Relación entre el número de personas, susceptibles, infectados y contactos

Esto le va a ocurrir a toda la población susceptible, ya que todos tienen la misma probabilidad de ser contagiadas. De modo que, el número de personas susceptibles al contagio (S) va a variar en el tiempo, de forma que se va a reducir, ya que estamos perdiendo personas susceptibles porque estas se han visto infectadas. Dicho esto, tomamos la probabilidad de ser contagiado, 𝐼 (𝛽𝑑𝑡 ∗ 𝐶 ∗ ) 𝑁 y la aplicamos a las personas susceptibles que existen, por lo tanto: 𝑑𝑆 = −𝛽𝑑𝑡 ∗ 𝐶 ∗

𝐼 ∗𝑆 𝑁

Es necesario que la probabilidad de ser contagiado se multiplique por S, ya que esta S establece el número total de personas, que, con esta probabilidad de ser contagiadas, van a ser contagiadas y se van a perder (es por eso por lo que se añade un menos a la probabilidad de contagio) de el número total de la población susceptible. Ahora simplemente tenemos que pasar dt al primer miembro de la ecuación, que, al estar multiplicando, pasa a dividir: 𝑑𝑆 = − 𝛽𝑑𝑡 ∗ 𝐶 ∗

𝐼 𝑑𝑆 𝐼 ∗ 𝑆 => = −𝛽 ∗ 𝐶 ∗ ∗ 𝑆 𝑁 𝑑𝑡 𝑁

y nos aparece la primera ecuación del modelo SIR que establece que: 𝐼 𝑑𝑆 = −𝛽 ∗ 𝐶 ∗ ∗ 𝑆 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝑆

Siendo 𝑑𝑡 la derivada temporal de la población de personas susceptibles al contagio. 𝐼

Si se diese el caso en el que el numero de contagios por alguna razón fuese 0, el término sería, 𝑁 como hemos dicho 0 y la población sería constante, sin cambiar, porque toda la población sería susceptible. 6

𝑑𝑆 = −𝛽 ∗ 𝐶 ∗ 0 ∗ 𝑆 𝑑𝑡 𝐼

Si el término existe porque hay contagiados (en estos casos siempre va a haber un primer 𝑁 contagiado), la probabilidad de contagio va a tener una derivada negativa (para cualquier factor: 𝐼 β, C, 𝑁,S; todos positivos) ya que el signo negativo significa que el número de personas susceptibles al contagio se va a reducir, ya que estas personas van a pasar a ser gente contagiada. 𝐼 𝑑𝑆 =−𝛽∗𝐶∗ ∗𝑆 𝑑𝑡 𝑁 Ahora, nosotros podemos estimar el numero de personas contagiadas. Lo que tenemos que hacer es tomar dI a dT y decir que todos los que se perdieron de las personas susceptibles al contagio van a aparecer ahora como contagiados: 𝐼 𝑑𝐼 =+𝛽∗𝐶∗ ∗𝑆 𝑑𝑡 𝑁 Es por ello por lo que añadimos el signo + a la probabilidad de contagio, para conocer el número de personas contagiadas. Por último, solo nos queda conocer el numero de personas recuperadas (R), porque la cantidad de personas infectadas son las que se están infectando, pero tenemos que restarle aquellos que ya se recuperaron, así que establecemos la siguiente ecuación: 𝑑𝑅 𝐼 𝑑𝐼 = +𝛽∗𝐶 ∗ ∗𝑆− 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝑡 Es decir, la cantidad de personas que durante el tiempo se están recuperando. La variación de los infectados es igual a la probabilidad de contagio multiplicado por el numero de personas susceptibles que existían menos la población que se fue recuperando o que ya se recuperó. Como tenemos 3 incógnitas sin conocer (dS, dI y dR), necesitamos tres ecuaciones: 𝑑𝑆 𝐼 = −𝛽 ∗ 𝐶 ∗ ∗ 𝑆 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐼 𝐼 = +𝛽∗𝐶∗ ∗𝑆 𝑑𝑡 𝑁 Y necesitamos saber como vamos a modelar el tema de los recuperados. Para ello, decimos que la cantidad de recuperados es proporcional a la cantidad de personas que están infectadas, por lo tanto: 𝑑𝑅 𝑑𝑡

= 𝛾 ∗ 𝐼 => 𝑑𝑅 = 𝛾 ∗ 𝑑𝑇 ∗ 𝐼

Donde lo marcado en rojo en el segundo miembro de la ecuación sería la probabilidad por tiempo en la que las personas se van a recuperar multiplicado por aquellos que se pueden recuperar (infectados). Y esto nos da la variación de los recuperados. Este es el modelo tradicional SIR (susceptible, infectado y recuperado) que se establece por lo siguiente: 𝑑𝑆

𝐼



S:

 

I: = + 𝛽 ∗ 𝐶 ∗ ∗ 𝑆 𝑑𝑡 𝑁 R: 𝑑𝑅 = 𝛾 ∗ 𝑑𝑇 ∗ 𝐼

𝑑𝑡 𝑑𝐼

= −𝛽 ∗ 𝐶 ∗ ∗ 𝑆 𝑁 𝐼

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2.1.3. Aplicación con datos reales en el Influenza virus A subtipo H1N1. Una vez obtenidas las ecuaciones necesarias para el desarrollo del modelo SIR, vamos a proceder a desarrollar una serie de gráficas que nos permitan saber la expansión de la pandemia. No es necesario la recolección de ningún dato sobre el número total de contagios diarios, ya que primeramente vamos a desarrollar los datos a través de nuestro propio modelo SIR hecho por nuestra cuenta cuyos resultados van a ser comparados posteriormente con los datos reales. Dicho esto, vamos a realizarlo de dos formas: 2.1.3.1. Primera forma La primera forma para obtener las gráficas y los datos a partir de las ecuaciones diferenciales es utilizando Spicy 83Phyton, que, según la Wikipedia es una biblioteca libre y de código abierto compuesta por herramientas y algoritmos matemáticos. Básicamente, es necesario insertar un código donde se especifique un número detallado de elementos, tales como el valor de N, S (O), I (O), R(O), … y donde se ordene lo que queremos que haga y queremos obtener de resultado. En este caso, lo que queríamos saber es la gráfica que se formaba a partir de los factores y datos obtenidos, y, por lo tanto, tenemos que establecer el siguiente código, añadiendo el número de población a analizar (6799999999) y el número de días (500, lo que duró la pandemia en la vida real):

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