Moduł Younga - Sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych PDF

Preview

Summary

Sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych...

Description

Rok

Wydział FiIS

Imię i nazwisko

PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH Data wykonania

Temat: Moduł Younga

Data oddania

Zwrot do popr.

Grupa

Zespół

Nr ćwiczenia

Data oddania

Data zaliczenia

OCENA

Ćwiczenie nr 11 – Moduł Younga Cel ćwiczenia: Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną za pomocą pomiaru wydłużenia drutu z badanego metalu obciążonego stałą siłą. Wstęp: Pojęcie bryły sztywnej jest tylko użytecznym przybliżeniem, rzeczywiste ciała zmieniają swój kształt pod wpływem przyłożonych sił. Jeżeli po usunięciu siły ciało wraca do kształtu pierwotnego mówimy o odkształceniu sprężystym. Prawo Hooke’a mówi, że odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonej siły. W przypadku rozciągania jednorodnego pręta przyrost długości Δl jest proporcjonalny do jego długości l i siły F, a odwrotnie proporcjonalny do przekroju poprzecznego S Fl . (1) l  ES Stała materiałowa E nosi nazwę modułu Younga, którego wartość można określić jako naprężenie, przy którym długość rozciąganego ciała ulega podwojeniu. Prawo Hooke’a dla rozciągania (lub ściskania) może być też zapisane w postaci wzoru   E , (2) charakteryzującego stan naprężeń i odkształceń w rozciąganej próbce w sposób niezależny od jej kształtu. Symbol σ oznacza naprężenie normalne zdefiniowane jako stosunek F przyłożonej siły do pola przekroju pręta,   , natomiast ε oznacza normalne S odkształcenie względne, równe stosunkowi przyrostu długości do długości początkowej, l  . l W rzeczywistości prawo Hooke’a przestaje obowiązywać (może za wyjątkiem gumy) przy znacznie mniejszych odkształceniach. Rysunek 1 pokazuje doświadczalną zależność naprężenie – odkształcenie typową dla większości metali. Na krzywej σ(ε) odcinek liniowy kończy się na tzw. granicy proporcjonalności (punkt A na rys. 1). Po przekroczeniu granicy sprężystości (punkt B) rozpoczyna się nieodwracalne odkształcenie materiału. Wreszcie po przekroczeniu maksymalnego naprężenia (punkt C) materiał ulega zerwaniu (punkt D). W przypadku materiałów określonych jako kruche przebieg rozciągania jest prostszy – prawo Hooke’a obowiązuje do określonego naprężenia, po przekroczeniu którego materiał pęka. Wartości modułu Younga i przybliżone wartości naprężenia σs odpowiadającego granicy sprężystości podano w tabeli 1.

1

Rys. w.1. Zależność naprężenie-odkształcenie typowa dla większości metali.

Tabela 1. Wartości modułu Younga E i granicy plastyczności σs na rozciąganie. Wartości σs mają charakter orientacyjny, gdyż silnie zależą od składu i sposobu obróbki termicznej i mechanicznej materiałów.

Wyznaczanie modułu Younga metodą statystyczną Zastosowana metoda polega na bezpośrednim pomiarze wielkości wchodzących do wzoru definicyjnego (1). Do pomiarów skonstruowano statyw (rys. w.2), do którego przymocowuje się badany drut w górnym uchwycie A. Drugi koniec drutu uchwytem B połączono sztywno z szalką znajdującą się poniżej poprzeczki statywu. Średnicę drutu mierzymy mikrometrem. Do pomiaru wydłużenia drutu wykorzystano czujnik mikrometryczny D (niepewność pomiaru 0,01 mm), sprzężony z badanym prętem przy użyciu dźwigni C. Dźwignia podpiera się na wsporniku związanym sztywno ze statywem. Pręt i szalka zamocowane są w połowie odległości między osią obrotu a punktem styku z czujnikiem. Wydłużenie drutu Δl jest zatem dwukrotnie mniejsze od wartości wskazywanej przez czujnik. Badany drut powinien być prosty.

2

Siła F rozciągająca drut jest siłą ciężkości odważników o masie m. Zatem F  mg gdzie m g = 9,81 2 jest przyspieszeniem ziemskim. Zgodnie z prawem Hooke’a zależność Δl(F) s winna być linią prostą l  aF  b . Porównanie równania prostej l  aF  b z wzorem (1) pokazuje, że współczynnik l l , zatemE  . Uwzględniając ponadto fakt, że nachylenia a jest tożsamy z czynnikiem aS ES d 2 , roboczy wzór na moduł pole przekroju drutu S obliczamy ze średnicy d jako S  4 Younga przyjmuje postać 4l E 2 . (3) d a

1. Układ pomiarowy     

Przyrząd do pomiaru wydłużenia drutu pod wpływem stałej siły (rys. w.2), zaopatrzony w czujnik mikrometryczny do pomiaru wydłużenia drutu Zestaw 10 odważników Śruba mikrometryczna firmy Top Tools Przymiar milimetrowy Waga DETECTO o u(m) = 0,001 kg

Rys. w.2. Urządzenie do pomiaru modułu Younga metodą statyczną

3

2. Algorytm postępowania   

   

Zmierzyliśmy długość drutu, którego następnie używaliśmy do wyznaczenia modułu Younga Zamocowaliśmy drut w statywie za pomocą nakrętek. Po obciążeniu szalki dwoma odważnikami kilogramowymi, zmierzyliśmy za pomocą śruby mikrometrycznej średnicę drutu w trzech różnych miejscach rozłożonych na całej jego długości. Opróżniliśmy szalkę z odważników. Zwolniliśmy blokadę belki pomiarowej. Przez dokręcanie (odkręcanie) górnej i dolnej nakrętki wyregulowaliśmy zamocowanie drutu tak, aby belka C dotykała końcówki czujnika mikrometrycznego. Wyzerowaliśmy wskazania czujnika mikrometrycznego(przez obracanie pierścienia okalającego tarczę). Przez naciśnięcie ręką na szalkę sprawdziliśmy, czy czujnik mikrometryczny reaguje, i czy wraca (w przybliżeniu) w położenie zerowe. Następnie obciążaliśmy szalkę przez dokładanie kolejnych odważników notując w tabeli sumaryczną masę odważników i wynikające wydłużenie drutu. Pomiary wykonaliśmy dla rosnących (przy dokładaniu ciężarków), następnie dla malejących wartości ciężaru (zdejmując kolejne ciężarki). Wykonaliśmy analogiczny pomiar dla drutu z innego metalu.

3. Wyniki pomiarów Tabela 2. Drut pierwszy Rodzaj materiału stalowy Długość drutu l = 1,07 m u(l) = 0,001 m Średnica drutu d (3 pomiary) 0,71 mm, 0,71 mm, Średnica średnia d = 0,71 mm u(d) = 0,001 mm Siła F [N] Masa sumy odważników [kg] 0,970 2,000 3,012 4,041 5,042 6,031 7,013 7,996 8,979 10,027

9,52 19,62 29,55 39,64 49,46 59,16 68,80 78,44 88,08 98,36

0,71 mm

Wydłużenie Wskazanie Wskazanie czujnika ↑ [mm] czujnika ↓ [mm] średnie Δl [mm] 0,51 0,52 0,258 0,94 1,04 0,495 1,30 1,41 0,678 1,59 1,72 0,828 1,95 2,06 1,003 2,22 2,40 1,155 2,51 2,69 1,300 2,83 2,96 1,448 3,04 3,14 1,545 3,33 3,33 1,665

4

Wydłużenie [mm] 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2

Δl(F)

1,0

Prosta regresji

0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0

20

40

60

80

100

120 Sila naprężająca [N]

Wykres 1. Zależność rozciągnięcia pręta stalowego od przyłożonej siły

Współczynnik nachylenia prostej (obliczony z metody najmniejszych kwadratów) a = 0,0000157 u(a) = 0,0000005 Tabela 3. Drut drugi Rodzaj materiału mosiądz Długość drutu l = 1,07 m u(l) = 0,001 m Średnica drutu d (3 pomiary) 0,8 mm, 0,8 mm, Średnica średnia d 0,8 mm u(d) = 0,001 mm Masa sumy Siła F [N] odważników [kg] 0,97 1,959 2,941 3,924 4,907 5,955

9,52 19,22 28,85 38,49 48,14 58,42

0,8 mm

Wskazanie Wskazanie Wydłużenie czujnika ↑ [mm] czujnika ↓ [mm] średnie Δl [mm] 0,51 0,52 0,258 0,94 1,04 0,495 1,30 1,41 0,678 1,59 1,72 0,828 1,95 2,06 1,003 2,22 2,40 1,155

5

Wydłużenie [mm] 1,4 1,2 1,0 0,8

Δ(F) Prosta regresji

0,6 0,4 0,2 0,0 0

10

20

30

40

50

60

70

Siła naprężająca [N]

Wykres 2. Zależność rozciągnięcia pręta mosiężnego od przyłożonej siły

Współczynnik nachylenia prostej (obliczony z metody najmniejszych kwadratów) a = 0,0000181 u(a) = 0,0000008 Tabela 4. Naprężenie w pręcie stalowym [GPa] 0,27 >0,4

σ σS

Naprężenie w pręcie mosiężnym [GPa] 0,13 0,3

4. Opracowanie wyników Wartość modułu Younga dla pręta pierwszego (stal) obliczona ze wzoru (3) E = 172,1 GPa Wartość modułu Younga dla pręta drugiego (mosiądz) obliczona ze wzoru (3) E = 117,9 GPa Niepewność złożoną uc(E) obliczamy przy pomocy prawa przenoszenia niepewności względnej na podstawie niepewności l, d oraz a. (Niepewność współczynnika nachylenia u(a) pochodzi od błędu przypadkowego pomiaru Δl, gdyż niepewność masy m jest pomijalna). 2

2

2

u c (E ) u( d)   u (a )   u (l )           2  E l d   a    

Dla I pręta uc(E) = 5,7 GPa Dla II pręta uc(E) = 4,9 GPa

6

5. Wnioski Wartość modułu Younga dla pręta stalowego wyniosła E = 172,1 GPa, przy niepewności (obliczonej z prawa przenoszenia niepewności) równej uc(E) = 5,7 GPa. Wartość tablicowa dla stali jest należy do przedziału [210;220] GPa. Nasz wynik różni się znacząco, co może być spowodowane stałym odkształceniem pręta, a także samym zużyciem materiału, jednakże przyjmując współczynnik rozszerzenia k = 6, wartość tablicowa znajdzie się w przedziale [E-U(E); E+U(E)]. Dla pręta wykonanego z mosiądzu otrzymaliśmy moduł Younga równy E = 117,9 GPa, przy niepewności złożonej uc(E) = 4,9 GPa. Wartość tablicowa wynosi 100 GPa, tak więc licząc niepewność rozszerzoną, aby wartość ta znalazła się w przedziale [E-U(E); E+U(E)] należy przyjąć współczynnik rozszerzenia równy k = 4. Wartości uzyskanych przez nas naprężeń w prętach są niższe od tablicowych, tak więc mogliśmy jeszcze spokojnie dokładać obciążenia, nie powodując nieodwracalnego odkształcenia materiału.

7...