Módulo de Matemática - anexos,resumenes de matematicas PDF

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AULA VIRTUAL DE MATERIAL COMPLEMENTARIOPARA EL INGRESO A MEDICINAAÑO 2020Área: MatemáticaDe Números y FormasLa matemática en nuestro mundoAutoría, recopilación y ediciónQuím. Silvana Peirano(JTP Cátedra de Ciencias Exactas. FCM. UNLP)Bioq. Juan Pablo Layerenza(ACD Cátedra de Ciencias Exactas. FCM. U...

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AULA VIRTUAL DE MATERIAL COMPLEMENTARIO PARA EL INGRESO A MEDICINA

AÑO 2020

Área: Matemática De Números y Formas La matemática en nuestro mundo

Autoría, recopilación y edición Quím. Silvana Peirano (JTP Cátedra de Ciencias Exactas. FCM. UNLP) Bioq. Juan Pablo Layerenza (ACD Cátedra de Ciencias Exactas. FCM. UNLP)

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Aula virtual para la ambientación universitaria 2020. Área Matemática

ÍNDICE Introducción -------------------------------------------------------------------------------------- 1 1. Generalidades. Operaciones básicas Lenguaje simbólico------------------------------------------------------------------------------ 3 Uso de la calculadora.-------------------------------------------------------------------------- 4 Potencias ----------------------------------------------------------------------------------------- 5 Radicación---------------------------------------------------------------------------------------- 6 Actividades----------------------------------------------------------------------------------------7 2. Fracciones, decimales y Notación científica Fracciones---------------------------------------------------------------------------------------- 8 Fracciones decimales. Números decimales----------------------------------------------- 12 Notación científica-----------------------------------------------------------------------------12 Actividades--------------------------------------------------------------------------------------15 3. Proporcionalidad. Porcentajes Proporcionalidad directa----------------------------------------------------------------------17 Regla de tres simple directa------------------------------------------------------------------18 Proporcionalidad inversa----------------------------------------------------------------------18 Porcentajes--------------------------------------------------------------------------------------19 Actividades--------------------------------------------------------------------------------------21 4. Unidades y medición Unidades de medida---------------------------------------------------------------------------23 Conversión de unidades----------------------------------------------------------------------24 Las escalas en las ciencias biológicas. Escala logarítmica--------------------------------29 Logaritmos--------------------------------------------------------------------------------------30 Actividades------------------------------------------------------------------------------------- 32 5. Geometría aplicada Introducción------------------------------------------------------------------------------------36 Elementos básicos de geometría------------------------------------------------------------37 Polígonos----------------------------------------------------------------------------------------42 Circunferencia y círculo----------------------------------------------------------------------46 Poliedros-------------------------------------------------------------------------------------- -49 Cuerpos redondos----------------------------------------------------------------------------52 Cuerpos geométricos truncados--------------------------------------------------------- -55 Geometría aplicada. Ejemplos---------------------------------------------------------------57 Actividades------------------------------------------------------------------------------------- 59 Anexo Bibliografía

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DE NÚMEROS Y FORMAS La Matemática en nuestro mundo Introducción Diversos elementos de la ciencia matemática como los números y las formas geométricas inundan a diario nuestras vidas. En el ámbito de las Ciencias de la Salud, el tratamiento matemático de datos numéricos e interpretación de formas se ve reflejado en diversas prácticas de la profesión médica: cálculo de dosis de medicamentos, interpretación de resultados de laboratorio, análisis de gráficos, análisis de modelos tridimensionales en diagnóstico por imágenes, etc. Otro aspecto menos evidente lo constituye el indiscutible aporte de la matemática al pensamiento lógico , directamente relacionado al desarrollo de habilidades en la resolución de problemas y toma de decisiones, acciones que se ven reflejadas en uno de los componentes esenciales del quehacer médico: el diagnóstico. Como herramienta, la Matemática es transversal a todas las ciencias. Esto se hace evidente en la necesidad de contar con este conocimiento básico en las distintas asignaturas que componen la carrera de Medicina. El objetivo de este libro es brindarte material para repasar esos conceptos básicos, propios del nivel medio, que te ayudarán en la comprensión de algunos temas que verás en las materias del primer año. Así, por ejemplo:

- Concepto de pH y pK

en Biología:

(logaritmos. Notación científica)

- Estructuras moleculares (geometría)

- Manejo de soluciones

Necesitamos matemática para comprender

(operaciones básicas)

en Histología:

- Límites de resolución (unidades - notación científica)

-Formas celulares (geometría)

en Anatomía:

- Formas en 2D y 3D (geometría)

También en la materia Ciencias Exactas (optativa de 1er año) en la que se abordan conceptos básicos de algunos temas de Matemática, Física y Química aplicadas (necesarios para materias de años posteriores) será fundamental contar con conocimientos elementales de matemática. 1

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Además, el ejercicio del razonamiento lógico que subyace en la práctica de la matemática contribuirá a mejorar tus habilidades en la resolución de ejercicios y situaciones problemáticas que se presenten en el estudio de muchas de las materias de la Carrera. Entonces, este material abarca temas cuyo conocimiento es relevante para abordar los contenidos de las materias del primer año de la Carrera. Estos temas se agrupan en Unidades didácticas (Capítulos): en el Capítulo 1 veremos una introducción al lenguaje simbólico y algunas operaciones con números reales: potenciación y radicación. En el Capítulo 2 Fracciones, decimales y Notación científica. En el Capítulo 3 veremos Proporcionalidad, regla de tres simple y porcentajes. Capítulo 4 abordaremos el tema de Sistemas de unidades y escalas logarítmicas para lo cual repasaremos conceptos básicos de logaritmos. Finalmente en el Capítulo 5 veremos elementos de Geometría en dos y tres dimensiones. En este material vas a encontrar contenido teórico y actividades prácticas. Los temas se presentan de manera sintética, apoyando el contenido teórico con material multimedia (imágenes, animaciones) ejemplos de aplicación resueltos, aportaciones al margen y preguntas o pequeños ejercicios propuestos (con respuesta al final del capítulo), que te ayudarán a afirmar lo aprendido. También se incluyeron links a material externo (videos, animaciones, webs de interés, etc.) a los que podrás acceder si deseas ampliar contenido. Se incluyen las direcciones web de los mismos, de esta manera, si no podés acceder haciendo click en el enlace, copiá esa dirección y pegala en la barra de direcciones del navegador web para acceder. Algunas animaciones requieren la última versión de Flash player, la cual puedes descargar desde la Página oficial de Adobe (https://get.adobe.com/es/flashplayer/) en forma gratuita. Te invitamos a recorrer este material, repasando cada tema teórico o ejercicio las veces que necesites para entenderlo, reuniéndote con otro/as compañero/as con quienes puedas compartir esta experiencia. Verás los siguientes logos indicando cada tipo de contenido: Contenido teórico

Actividad

Pregunta (con respuesta al final del capítulo)

Link (a contenido externo)

Uso de calculadora

Autoría, recopilación y edición Quím. Silvana Peirano (JTP Cátedra de Ciencias Exactas. FCM. UNLP) Bioq. Juan Pablo Layerenza (ACD Cátedra de Ciencias Exactas. FCM. UNLP) 2

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1. Generalidades. Operaciones básicas

Lenguaje simbólico En matemáticas cuando no se habla de un número en particular, sino que se expresa algo que ocurre en general, se utiliza el lenguaje simbólico, en el que se representan los números con letras. Por ejemplo, “el triple de un número” se escribe como 3 . x, donde la letra x puede representar distintos valores. La letra utilizada puede ser cualquiera, latina (a, b, c, d, etc), griega (, , , etc) En general, no se escribe el símbolo de la multiplicación (.) entonces 3.x se escribe 3x A las expresiones en las que se indican operaciones entre números y letras las llamamos expresiones algebraicas. A continuación, veamos una serie de símbolos utilizados en matemáticas: Símbolo

Se lee Mayor que

Comparación de expresiones

Mucho mayor que

Comparación de expresiones

<

>>

()ó[]

número Pi

Uso

Equivale a 3,141592… Signos de agrupamiento: indica que la operación entre ellos se debe realizar primero.

Nota: en el anexo de este libro podrás encontrar un conjunto de reglas básicas de matemática para consultar si es necesario. Estas reglas incluyen: reglas de redondeo, regla de los signos, orden de prioridades en operaciones combinadas, despeje de incógnitas en ecuaciones sencillas.

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Uso de la calculadora Antes de comenzar con algunas operaciones básicas, hagamos una breve presentación de la calculadora científica y las principales teclas que usaremos a lo largo de este texto:

Aclaración: algunas teclas pueden variar según el modelo de calculadora

Usaremos el siguiente ícono cada vez que expliquemos como usar la calculadora:

Si no tenés calculadora podés descargar un Emulador de calculadora científica (https://bit.ly/37oOENh) o acceder a una Calculadora on line (https://web2.0calc.es/)

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Potencias La potencia (P) de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo tantas veces como lo indique el exponente colocado arriba a la derecha. 𝑃 = 𝑎 𝑏 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎 … . . 𝑎

(𝑏 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠)

a se denomina base y puede ser cualquier número; b se llama exponente 8 = 23 = 2 . 2 . 2 (en este caso b=3) se lee: dos a la tres o dos al cubo Los exponentes pueden ser de cualquier tipo (positivos, negativos, fraccionarios)

- Recordemos que el signo de puntuación (.) se utiliza como símbolo de multiplicación. Para la división se usan indistintamente el símbolo : o la línea divisoria — ó / . - En operaciones con números positivos y negativos, tener en cuenta la regla de los signos: (+) . (-) = (-) (+) . (+) = (+) (-) . (-) = (+)

¿Qué significa un exponente negativo? Significa que debemos invertir la expresión. Por ejemplo: 𝑎 −2

Para tener en cuenta:

Igual regla para la división.

1 = 2 𝑎

En general: 𝑎 −𝑏 =

1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑏

Según esta definición: la expresión 1 se puede escribir como 𝑎−1 (se 𝑎

lee “a” a la menos uno)

Para ingresar potencias en la calculadora se usan las siguientes teclas, (dependiendo de la calculadora):

ó

ó

Por ejemplo, para escribir: 𝟑𝟓 Usaremos la siguiente combinación de teclas (dependiendo del modelo de calculadora): Resultado:

ó ó

?

I) Sabiendo que 1/a =a-1, 1 −1

(5)

= ¿? 5

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Propiedades de las potencias Propiedad

Característica

Ejemplo

𝒂𝟎 = 𝟏

Exponente = 0

10 0 = 1

(𝒂𝒃 )𝒄 = 𝒂𝒃.𝒄

Potencia de potencias

(2 2)3 = 2 6 = 64

𝒂𝒃 . 𝒂𝒄 . 𝒂𝒅 = 𝒂𝒃+𝒄+𝒅

Producto de potencias de igual base, con a, b y c números enteros o fraccionarios

32 . 33 . 3 = 3 (2+3+1) = 37= 2187

(𝒂. 𝒃)𝒄 = 𝒂 𝒄 . 𝒃 𝒄

En un producto (multiplicación) el exponente se distribuye

(4 . 3)2 = 42. 32 = 16 . 9 = 144

(

𝒂 𝒄 ) = 𝒂𝒄 ∶ 𝒃𝒄 𝒃

En un cociente (división) el exponente se distribuye

(

10 5

2

) = 10 2 : 5 2 = 100: 25 = 4

Operación inversa: radicación La radicación es la operación inversa a la potenciación. 𝑛

Se llama raíz al resultado de √ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 donde n es un número entero denominado índice de la raíz.

𝑛 Se cumple que si √𝑏 = 𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑛 = 𝑏

Calcular √25 = ¿? , que se lee: raíz cuadrada de veinticinco

Ejemplo:

Debemos encontrar un número tal que elevado al cuadrado de 25, entonces: 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 5 2 = 25

√25 = 5

pero también √25 = −5

𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−5) 2 = 25 (ver Anexo. Regla de signos)

Entonces decimos que √25 = ± 5 este doble resultado se da en todas las raíces de índice par (2, 4, etc.). Decimos entonces que la radicación es inversa a la potenciación, por lo tanto:

𝑎 = √𝑎𝑛 𝑛

Las raíces también se pueden expresar como exponentes fraccionarios, 𝑏

𝑐

𝑎 𝑐 = √𝑎𝑏

Ejemplos: 1

𝑎 2 = √𝑎

𝑛

√ es la “raíz enésima de”, esta es una expresión general; enésima significa que se está usando la letra “n” para indicar que el índice de la raíz puede ser cualquier número Si el índice es 2 se llama raíz cuadrada y se

simboliza: √𝑎 ; si el índice

es 3: √𝑎 se lee raíz cúbica 3

1

3 𝑎3 = √ 𝑎

En la calculadora las raíces se calculan utilizando la tecla Ejemplo: raíz cuadrada de 3 √3 = 1,732 6

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ACTIVIDADES. Generalidades. Potencias y raíces

Cuestionario interactivo (con respuesta): Acceder al Entorno educativo de la FCM (http://educativa.med.unlp.edu.ar/login/index.php), Aula virtual de Material complementario para el ingreso a Medicina. Matemática. Cuestionario interactivo de Potencias y raíces.

Material en la Web (Links externos a teoría y actividades) - Teoría y Práctica potencias y raíces: https://bit.ly/2tz1KsA - Ejercicios interactivos de potencias:

https://www.matesfacil.com/resueltos-potencias.htm - Juegos interactivos de cálculo mental: https://clic.xtec.cat/projects/esencre/jclic.js/index.html https://clic.xtec.cat/projects/jeromesp/jclic.js/index.html

Para tener en cuenta: - Si en un cálculo se combinan varias operaciones tener en cuenta la separación de término y el orden de resolución. Ver en Anexo: operaciones combinadas - En operaciones con números positivos y negativos, tener en cuenta la regla de los signos: (+) . (-) = (-) (+) . (+) = (+) (-) . (-) = (+) Igual resultado para la división.

Respuestas a las preguntas I) Sabiendo que 𝑎 −1 =

1

𝑎

1

, ( 5)

−1

= ¿?

Resolución: de acuerdo a las propiedades de las potencias

1 −1 1 ( ) = =5 1 5 5

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2. Fracciones, decimales y Notación científica

2. Fracciones “La capa muscular externa del esófago es diferente del resto del tubo digestivo porque su tercio superior es de músculo estriado…” Histología, Ross 6ta Edición 2012. “Dos tercios del agua contenida en un hombre adulto de 70 Kg de peso, es intracelular”. (Biología)” Estas expresiones que hablan de partes de un todo se pueden expresar como fracciones. Los números fraccionarios son aquellos que podemos escribir como un cociente entre dos números. 𝑎 𝑏

(𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑏 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟)

Los números fraccionarios sirven para contar cuantas partes (a) estamos considerando de un total (b). Por ejemplo, si una pizza la partimos en 8 porciones tenemos un total de 8 porciones para comer, pero si comemos 3 ¿Cuánto comimos del total? La respuesta es 3/8 (“tres octavos”)

? 8/8 = 1 entero

II) ..y si dividimos la pizza en 4 partes iguales y nos comemos una parte, ¿cuánto comimos del total?

3/8

Ahora bien ¿Qué pasa si el numerador es más grande que el denominador? Estamos en presencia de fracciones impropias que significa que abarcan más de un entero. En nuestro ejemplo, si nos comiéramos 9/8 de pizza significaría que comimos 8/8 (una pizza entera) y 1/8 más (o sea una porción de una segunda pizza).

Las fracciones impropias pueden expresarse con números mixtos (una parte entera y una fraccionaria). Por ejemplo 9/8 puede expresarse como: 1

1

8

9/8

8

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Operaciones con fracciones Operación

Se expresa como:

Ejemplo

Suma o resta

𝑎 𝑐 𝑎. 𝑑 ± 𝑐. 𝑏 ± = 𝑏. 𝑑 𝑏 𝑑

3 1 3 .3 + 1 .2 11 + = = 6 2 3 2 .3

𝑎 𝑐 𝑎. 𝑐 . = 𝑏 𝑑 𝑏. 𝑑

Multiplicación

𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑐 𝑎. 𝑑 ∶ = 𝑐 𝑏 𝑑 𝑏. 𝑐 𝑑

División

𝑎𝑐 𝑎 𝑐 ( ) = 𝑐 𝑏 𝑏

Potencia

2 4 2 .4 8 . = = 3 5 3 . 5 15

1 4 = 1 ∶ 2 = 1 .3 = 3 2 4 3 4 .2 8 3 3 2 9 32 ( ) = 2= 16 4 4

?

Si se suman o restan fracciones que poseen el mismo denominador, el resultado conserva ese denominador y solo se suman o restan los numeradores:

2 1 2−1 1 − = = 3 3 3 3

III) Sabiendo que un número entero puede expresarse como una fracción con denominador 1, ¿cuál es el resultado de la siguiente suma: 1 2 + =? 3

Para ingresar fracciones en la calculadora se usan las siguientes teclas, (dependiendo de la calculadora):

Resultado A continuación un ejemplo de suma de fracciones (5/2) + (3/4):

𝟓 𝟑 𝟏𝟑 + = 𝟐 𝟒 𝟒 Comparación de fracciones. Fracciones equivalentes Dos fracciones pueden representar la misma cantidad aunque sus numeradores y denominadores sean diferentes, estas se denominan fracciones equivalentes. Si dos fracciones

𝒂

𝒃

𝒚

𝒄

𝒅

son equivalentes, se cumple que

𝒂 .𝒅 = 𝒃 .𝒄

Para obtener una fracción equivalente a otra se puede: - Multiplicar numerador y denominador por un mismo número entero (amplificar). Ejemplo: dada la fracción 5/2, si multiplicamos numerador y denominador por 2, obtenemos una fracción equivalente Se dice entonces que

5

2

𝑦

10 4

son fracciones equivalentes.

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-Dividir numerador y denominador por un mismo número entero (simplificar). Ejemplo: dada la fracción 3/9, si dividimos numerador y denominador por 3, obtenemos una fracción equivalente Se dice entonces que ...