Módulo I - 1 - relação de dependência entre grandezas PDF

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Anotações feitas em aula sobre conteúdo inicial de Matemática....

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MATEMÁRTICA RELAÇÕES DE DEPENDÊNCIA ENTRE GRANDEZAS

Relação entre dependência entre grandezas

Sumário 1. RAZÃO ............................................................................................................................................. 2 2. ESCALA ............................................................................................................................................ 3 3. PORCENTAGEM .................................................................................................................................... 4 4. PROPORÇÃO....................................................................................................................................... 5 4.1 Grandezas diretamente proporcionais ............................................................................... 5 4.2 Grandezas inversamente proporcionais.............................................................................. 5 5. REGRA DE TRÊS.................................................................................................................................... 6 5.1. Regra de três simples ......................................................................................................... 6 5.1.1. Regra de três simples inversa ...................................................................................... 6 5.2. Regra de três composta ..................................................................................................... 7 6. DIVISÃO EM PARTES ............................................................................................................................... 8 6.1. Partes diretamente proporcionais ..................................................................................... 8 6.2. Partes inversamente proporcionais ................................................................................... 8

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1. RAZÃO A razão é a comparação entre dois números por divisão. Ela indica quantas vezes um contém o outro. Pode-se dizer, assim, que a razão entre dois números é: 𝑎 , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 ≠ 0 𝑏

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2. ESCALA A escala é a razão entre a medida no desenho e a medida real. Ou seja, se uma parede mede 2m e 2cm na planta, a escala da planta é de: 𝐸=

𝑑 2𝑐𝑚 1 = = 𝐷 200𝑐𝑚 100

Vale destacar que para calcular a escala é preciso unificar as unidades de medida para se certificar que os termos da razão sejam calculados corretamente.

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3. PORCENTAGEM É uma razão com denominador 100. Isto é, para calcular x% de um valor n: 𝑥% =

𝑥 100

Dessa forma, 20% de 45, por exemplo, seria: 20 ⋅ 45 = 9 100

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4. PROPORÇÃO Proporção é a igualdade de duas razões. Sua notação é: 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 A propriedade fundamental das proporções implica nas seguintes relações:

III.

I.

𝑎 𝑐 = ⟨=⟩ 𝑎 × 𝑑 = 𝑏 × 𝑐 𝑏 𝑑

II.

𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 𝑎−𝑐 = = = 𝑏 𝑑 𝑏+𝑑 𝑏−𝑑

𝑎 𝑐 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 = = = e = 𝑑 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 = 𝑘 = 𝑎 = 𝑘𝑏 𝑒 𝑐 = 𝑑𝑘 IV. 𝑏

4.1 Grandezas diretamente proporcionais G e F são duas grandezas diretamente proporcionais (ou apenas proporcionais) se, e somente se: 𝐺 = 𝑘𝐹 Onde, k é uma constante de proporcionalidade. Dessa forma, se x e y são diretamente proporcionais a z e t: 𝑥 𝑦 = 𝑧 𝑡

4.2 Grandezas inversamente proporcionais G e F são duas grandezas inversamente proporcionais se, e somente se: 𝐺 =𝑘⋅

1 𝐹

Onde, k é uma constante de proporcionalidade, ou seja, G é proporcional ao inverso de F. Dessa forma, se x e y são inversamente proporcionais a z e t: 𝑥𝑧 = 𝑦𝑡

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5. REGRA DE TRÊS São situações-problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais. A regra de três que envolve apenas duas grandezas é nomeada como simples, e a que envolve mais de duas grandezas, como composta.

5.1. Regra de três simples Se R$100,00 em certo tempo gera R$8,00 de rendimento, quanto renderá R$250,00 nesse mesmo tempo? Como capital e rendimento são diretamente proporcionais, tem-se: 250 × 8 100 8 = 20 = ⟨=⟩ 𝑥 = 10 250 𝑥 Logo, a resposta é R$20,00.

5.1.1. Regra de três simples inversa Costuma-se resolver exercício de regra de três nas mais diversas disciplinas, mas devese ter muito cuidado quando há apenas duas grandezas inversamente proporcionais envolvidas. Caso seja resolvida sem a devida atenção, de forma usual, a questão será soluciona erroneamente. Segue o exemplo: Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir certo muro em 6 horas de trabalho. Se, em vez de dois, fossem três, em quantas horas tal muro poderia ser construído? Pode-se facilmente compreender que, aumentando o número de pedreiros, o tempo necessário para construção do muro será menor, pois a mão de obra aumenta, mas a tarefa continua a mesma. Percebe-se, então, que esse problema trata de grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui e vice-versa. Considerem-se P a grandeza relacionada à quantidade de pedreiros e H a grandeza que representa o número de horas de trabalho para a construção do muro. Dessa forma, a representação abaixo é obtida: P 2 3

H 6 X

Para a resolução do problema, deve=se, primeiro, deixar as duas grandezas proporcionais. Logo, é necessário inverter os termos da outra razão para que fiquem com a mesma orientação: H X 6

2 3 Assim: 2 𝑥 = ⟨=⟩𝑥 = 4 3 6 2020

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5.2. Regra de três composta Para resolver uma regra de 3 composta, é preciso identificar se cada uma das grandezas direta ou inversamente proporcional àquela que se quer calcular. arrasou formada pela grandeza da incógnita é igual ao produto das razões formadas pelas outras grandezas na ordem original, se forem diretamente proporcionais, ou invertidas, se forem inversamente proporcionais. Por exemplo, 10 operários fazem 150 m de uma construção entre os 8 dias, trabalhando durante 8 horas diariamente. Quando x precisaram 20 operários trabalhando 6 horas por dia para fazer o que é um título de 187,5 m dessa obra? Qtd. Operários 10 20 Inversa

Comp. Obra 150 187,5 Direta

Nº de dias 18 x

Horas / dia 8 6 Inversa

Ao comparar cada uma das grandezas com a quantidade de dias, chega-se às relações de proporcionalidade indicadas acima: 18 20 150 6 = × × = 15 𝑥 30 187,5 8 Logo, a resposta é 15 dias.

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6. DIVISÃO EM PARTES 6.1. Partes diretamente proporcionais Dividir um número em partes proporcionais a uma lista de números é dividi-lo de forma que cada uma das partes resultantes seja proporcional aos números dados. Por exemplo, dividir 100 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 seria: 𝑥 𝑦 2 𝑥 + 𝑦 + 2 100 = 10 = = = = 10 2 3 5 2+3+5 𝑥 = 2.10 = 20 𝑦 = 3.10 = 30 𝑧 = 5.10 = 50 Logo, a solução é 20, 30 e 50.

6.2. Partes inversamente proporcionais Dividir um número em partes inversamente proporcionais a uma lista de números é dividi-lo de forma que cada uma das partes resultantes seja proporcional ao inverso dos números dados: Por exemplo, dividir 235 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5 seria: 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 235 = 300 1 = 1 = 1 = 1 1 1 = 47 + + 60 4 3 5 3 4 5 𝑥=

1 ⋅ 300 = 100 3

1 𝑦 = ⋅ 300 = 75 4 𝑧= Logo, a solução é 100, 75 e 60.

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1 ⋅ 300 = 60 5

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