M.T.A. - Chapitre 2 - Test d\'hypothèse PDF

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Chapitre 2 (Test d'hypothèse) du cours Méthodologies et techniques d’analyses en psychologie (L2-S3)....

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Chapitre 2 : Test d'hypothèse 1. Échantillon et population Je recrute sur un nombre de personnes (échantillon = 100 étudiants de L1 à Montpellier) issu d'une population parente (tous les étudiants de L1 de Montpellier). Question : est-ce que les étudiants de Montpellier ont une note moyenne différente de cette des étudiants de L1 en France ? Autrement dit, est-ce que l'écart observé entre la moyenne pour 100 étudiants, et celle issue de la France entière, est une bonne estimation de l'écart entre la moyenne de tous les étudiants de L1 à Montpellier et la moyenne en France ? Schéma (moodle) 2. Variable aléatoire et probabilité … 3. Exemple de la loi Normale … ● Faire de la statistique inférentielle La statistique inférentielle = estimer des paramètres inconnus sur la base d'un échantillon d'observateurs générés par une variable aléatoire dont la loi dépend de ces paramètres inconnus. Exemple : Nous avons étudié l'évolution de la fonction de densité d'une v.a ~N (0 ; 1) La moyenne théorique visée = 0 n = 10/m = 0.03 ; n = 100/m = 0.02 ; n = 1000/m = -0.03 ; n = 10 000/m = 0.005 ; n = 100 000 = 0.003 Conclusion : La moyenne observée (estimateur de up) tend vers up pour de grandes valeurs n. En résumé : • Tester une hypothèse revient à réaliser une inférence sur une propriété d'une variable aléatoire (v.a.) à partir d'un estimateur de cette propriété (moyenne empirique) • Une variable aléatoire est « régie » par une loi • Cette loi permet d'associer une valeur de probabilité à une valeur (ou un intervalle de valeurs) de la v.a. ● La loi normale centrée réduite (à retenir pour le chapitre sur test t Student) Objectif : pouvoir estimer « les chances » qu'une valeur de la v.a. tombe dans un intervalle de valeur du fait du hasard. Exemple : – je fais passer une mesure de dépression à un patient (20/30)

– mesure de dépression = v.a ~N (up ; o²) – je connais les valeurs des paramètres de ma loi : up = 10 ; o² = 8 Question : quelles sont les chances d'obtenir un score >= 20/30 dans les cas d'absence de dépression et donc du fait du hasard ? Étape 1 : centrer et réduire la mesure observée afin d'obtenir une note centrée réduite Z = …... (voir photo pour formule) 3.53 = valeur d'une v.a. théorique ~N (0 ; 1) J'en tire quelle conclusion/ma question ? Je constate que la note 20/30, après avoir été transformée, correspond à une distance = 3.53 par rapport à 0. Cet écart est important, et on l'observe 2 fois/10000 dans la population normale. Valeur rare de la pop normale donc j'ai peu de chance de me tromper en concluant que le patient n'est pas issu de la pop générale (mais issu d'une autre pop, celle des patients → pathologie). Note centrée réduite permet de tester des hypothèses en estimant le niveau de confiance de ma décision Z = ~N (0 ; 1) Je peux également utiliser une table la loi normale centrée réduite = distribution théorique de la v.a ~N (0 ; 1) On admet généralement un risque de 5% : si j'ai moins de 5 chances /100 de me tromper en rejetant H0 → je rejette H0. Conclusion : J'ai 5 chances/100 de me tromper en rejetant H0 pour z = 1.65 3.53 > 1.65 → j'ai moins de 5 chances/100 de me tromper → je rejette H0. ● Test des hypothèses Dans toute recherche, deux hypothèses peuvent être testées : Exemple : je me demande si les hommes et les femmes ont, en moyenne, des niveaux d'intelligence comparables, il y a 2 réponses possibles à cette question : Hypothèse nulle (H0) = up Femmes = up Hommes Hypothèses alternatives (H1) = up Femmes > up Hommes Comme j'estime upFemmes et upHommes avec xbarreHommes et xbarreFemmes ; est-ce que ma décision basée sur xbarre correspond au vrai écart entre les valeurs up ? Combien de fois /100 l'écart xHommes et xbarreFemmes est observée du fait du hasard ? (en réalité upFemmes = upHommes) = erreur de type 1. Situation réelle (écart vrai entre les valeurs de pu) • Erreur de type 1 : p = alpha → choix de l'hypothèse H1 plutôt que l'hypothèse H0 (rejet incorrect) • Erreur de type 2 : p = bêta → choix de l'hypothèse H0 plutôt que l'hypothèse H1 (acceptation incorrecte)

Décision du chercheur (basé sur l'écart entre les valeurs xbarre)

H0 est vraie

H0 est fausse

Non rejet de H0

Acceptation correcte p = 1- alpha

Erreur de type 2 p = beta

Rejet de H0

Erreur de type 1 p = alpha

Rejet correct p = 1 - beta

up = population totale xbarre = échantillon ● La notion de degré de liberté L'usage des résultats issus des tests d'hypothèses nécessitera l'utilisation de la notion de degré de liberté (ddl). Imaginons le problème suivant : Je postule : X + Y = 10 X et Y = deux variables aléatoires (je ne peux pas prédire leur valeurs à l'avance) Si je fixe la valeur de l'une des deux variables, alors la valeur de l'autre est connue. J'ai donc toujours une valeur que je ne connais pas et une valeur que je connais → 2 variables aléatoires et 1 degré de liberté. Définition : nombre de variables aléatoires ne pouvant pas être fixé par une équation. Je postule que l'augmentation de l'âge d'un enfant (X) est associé à l'augmentation de la quantité de nourriture consommée (Y). Y = aX + b Deux inconnues : « a » (la pente) et « b » (la valeur de départ de la droite) Pour avoir une solution unique pour « a » et « b » → au moins deux observations. 2 observation – 2 paramètres = ddl = 0 → Mon problème est identifié Définition : ddl = nombre d'observations – nombre de paramètres à estimer Il doit être >= 0 4. Statistique inférentielle : Tester l'hypothèse d'une relation entre 2 variables ● Les principales étapes d'un test d'hypothèse • • • •

Poser une hypothèse sur la structure du phénomène étudié Déduire des prédictions sur ce qui devrait être observé dans la réalité si cette hypothèse est correcte Utiliser une procédure de vérification des prédictions (tests statistiques) Accepter ou rejeter l'hypothèse en conséquence

(slide 46) H0 → puEF = puPF H1 → puEF =/ puPF (< ou >)

● Comparaison d'un échantillon à une norme ● Comparaison de 2 échantillons (appariés ou indépendants)

Pour manipuler les lois de probabilité: geogebra...