Nd CMatrices - Notes de cours PDF

Preview

Summary

Université du Québec (UQ) École de technologie supérieureService des enseignements générauxMAT-165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLEÉLÉMENTS D’ALGÈBRE MATRICIELLENOTES DE COURSDocument préparé parKathleen PineauRobert MichaudRédigé le 28 août 1998Révisé en avril 2010Le but de ce texte est de p...

Description

Université du Québec (UQ) École de technologie supérieure Service des enseignements généraux

MAT-165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLE

ÉLÉMENTS D’ALGÈBRE MATRICIELLE NOTES DE COURS

Document préparé par Kathleen Pineau Robert Michaud

Rédigé le 28 août 1998 Révisé en avril 2010

TABLE DES MATIÈRES 1.

ALGÈBRE MATRICIELLE......................................................................................................................... 1 1.1

DÉFINITIONS DE BASE ................................................................................................................................ 1

1.2

OPÉRATIONS SUR LES MATRICES ............................................................................................................... 3

1.3

EXERCICES................................................................................................................................................ 10

SOLUTIONS DES EXERCICES DE LA SECTION 1.3 ................................................................................................... 11 2.

DÉTERMINANTS DE MATRICES .......................................................................................................... 13 2.1

AIRES ET VOLUMES ................................................................................................................................. 13

2.2

DÉVELOPPEMENT DE LAPLACE POUR LE CALCUL D’UN DÉTERMINANT .................................................... 16

2.3

PROPRIÉTÉS DES DÉTERMINANTS ............................................................................................................. 19

2.4

CALCUL DE LA MATRICE INVERSE PAR LA MATRICE ADJOINTE ................................................................ 23

2.5

EXERCICES................................................................................................................................................ 24

SOLUTIONS DES EXERCICES DE LA SECTION 2.5 ................................................................................................... 25 3.

SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES............................................................................................... 27 3.1

MÉTHODE D’ÉLIMINATION DE GAUSS-JORDAN........................................................................................ 29

3.2

MATRICES INVERSES ............................................................................................................................... 38

3.3

RÈGLE DE CRAMER ................................................................................................................................. 41

3.4

EXERCICES................................................................................................................................................ 44

SOLUTIONS DES EXERCICES DE LA SECTION 3.4 ................................................................................................... 47 RÉFÉRENCES ..................................................................................................................................................... 48

Le but de ce texte est de présenter des méthodes de résolution de systèmes d’équations linéaires. La notation matricielle permet de décrire sous forme synthétique tous les systèmes d’équations linéaires et l’algèbre matricielle permet de résoudre ces systèmes d’équations. Nous allons donc présenter l’algèbre matricielle suivie de la notion de déterminant pour terminer par trois méthodes de résolution des systèmes d’équations linéaires; il s’agit de la méthode d’élimination de Gauss-Jordan, de l’utilisation de la matrice inverse d’une matrice et de la règle de Cramer.

1.

ALGÈBRE MATRICIELLE

Dans cette section, nous présentons les notions et notations de base associées aux matrices. Nous abordons ensuite les différentes opérations qui sont définies sur l’ensemble des matrices et qui forment l’algèbre matricielle.

1.1

DÉFINITIONS DE BASE

Une matrice de format m×n est un tableau rectangulaire de mn éléments disposés entre parenthèses sur m lignes et n colonnes.

LM a MM a# MNa

11 21

m1

a12 a22 # am 2

" a1 n " a2 n % # " amn

OP PP PQ

On désigne souvent une matrice par A = aij où aij est le terme général de la matrice A et représente l’élément de la matrice situé à l’intersection de la ie ligne et de la je colonne. Exemple : Soit la matrice A = a ij , de format 2×3, définie par

A=

LM−2 N3

3, 5 π 0

1

PQO .

Les éléments de A sont a11 = −2 , a12 = 3, 5 , a13 = π , a21 = 3 , a22 = 0 et a 23 = 1. Exemple : Soit la matrice A = a ij , de format 2×3, dont le terme général est donné par a ij = 2i − 3 j alors

A=

LM 2(1) − 3(1) N 2( 2) − 3(1)

2(1) − 3( 2) 2( 2) − 3( 2)

O PQ LMN

O PQ

− 1 −4 −7 2(1) − 3( 3) . = 2( 2) − 3( 3) 1 −2 −5

Deux matrices sont égales lorsqu’elles sont de même format et que leurs entrées correspondantes sont égales. Lorsque deux matrices A et B sont égales, on écrit A=B et lorsqu’elles ne sont pas égales, on écrit A≠B. Une

matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls; on désigne par Om ×n la matrice nulle de format

m×n. Une matrice A est dite carrée d’ordre n si son format est n×n. La diagonale principale d’une matrice

Pour A = aij une matrice carrée d’ordre n, la diagonale principale de A = a ij est la suite a11 , a 22 , a33 ,", ann des éléments situés sur sa diagonale. Exemple : La diagonale principale de la matrice

LM−2 MM 11 MN 5

1 0 7 2 0 −3 0 0

5 6 1 0

OP PP PQ

est formée des éléments –2, 7, –3 et 0. La matrice identité d’ordre n

La matrice identité d’ordre n, notée I ou plus précisément In, est la matrice carrée d’ordre n dont les éléments de la diagonale principale sont 1 tandis que toutes les autres entrées sont nulles. Exemple : La matrice identité d’ordre 3 est

LM MM0 N

OP P 1PQ

1 0 0 I3 = 0 1 0 . 0

Les matrices triangulaires

Une matrice carrée A = aij est dite triangulaire supérieure lorsque aij = 0 pour i > j, c’est-à-dire que toutes les entrées sous la diagonale principale sont nulles. La matrice est dite triangulaire inférieure lorsque aij = 0 pour

i < j, c’est-à-dire que toutes les entrées au-dessus de la diagonale principale sont nulles. Exemple : Soit les matrices

LM−2 0 M=M MM 0 N0

OP PP PQ

LM MM MN

−2 1 0 5 7 2 6 1 et N = 0 −3 1 1 0 0 0 5

0 0 7 0 0 −3 1 2

OP PP PQ

0 0 . 0 1

La matrice M est triangulaire supérieure tandis que N est une matrice triangulaire inférieure.

page 2

La matrice augmentée

Soit A, de format m×n, et B de format m×p, deux matrices ayant le même nombre de lignes. La matrice A

a

f

augmentée de la matrice B est la matrice de format m × n + p , désignée par A B , obtenue en concaténant B à

la droite de la matrice A. Exemple : Soit les matrices suivantes,

A=

LM1 N0

4 5

0 PQO et B = LMN3

−1 7

OP Q

1 . −2

Augmenter la matrice A de la matrice B n’est pas équivalent à augmenter la matrice B de la matrice

A, en effet, les matrices 2×5 obtenues sont différentes, A B =

1.2

L1 MN0

4 −1 0 5

7 3

PQO

1 −2

et B A =

L0 MN3

1 1 4 −2 0 5

O. P 7Q

−1

OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

Les opérations de base définies sur l’ensemble des matrices sont analogues aux opérations habituellement définies sur l’ensemble des nombres réels. La somme de deux matrices

Soit A = a ij et B = bij deux matrices de même format. La somme de A et de B, notée A+B, est la matrice de même format obtenue en additionnant leurs éléments correspondants, aij + bij = aij + bij . Exemple : Les matrices, de format 2×3,

A=

LM −2 N3

3,5 π 0 1

1 PQO et B = LMN2

−2 0 −1 1

O PQ

ont pour somme la matrice, de format 2×3,

L−2 MN 3

1 P1 QO + LMN2

3,5 π 0

OP LM Q N

(− 2) + 1 3, 5 + ( − 2) −2 0 = 1 1 − 3 +2 0 + ( −1)

PQO LMN

PQO

−1 1,5 π π +0 = . 1 +1 5 −1 2

La différence de deux matrices

Soit A = a ij et B = bij deux matrices de même format. La différence de A et de B, notée A–B, est la matrice de même format obtenue en soustrayant leurs éléments correspondants, aij − bij = a ij − b ij . Exemple : La différence A − B des matrices de format 2×3,

A=

L −2 MN 3

3,5 π 0 1

1 PQO et B = LMN2

−2 0 −1 1

OP Q page 3

est la matrice, de format 2×3,

L−2 MN 3

PQO LMN

PQO LMN

PQO LMN

PQO

3,5 π 1 −2 0 (−2 ) − 1 3,5 − ( −2 ) π − 0 −3 5,5 π . = = − 0 1 2 −1 1 3 −2 0 − ( −1) 1 −1 1 1 0

Attention. On ne peut pas additionner ni soustraire des matrices de formats différents. La somme et la différence de deux matrices ne sont définies que lorsque les matrices ont exactement le même format. Le produit par un scalaire

Le produit d’une matrice A par un scalaire c, noté c·A ou cA, est la matrice obtenue en multipliant chaque élément de A par c, cA = c a ij = ca ij . Exemple : Soit la matrice,

A=

LM−2 N3

3, 5 π 0 1

PQO

et le scalaire c = 3 . Alors,

3A = 3

LM− 2 N3

O LM PQ N

O PQ LMN

O PQ

3, 5 π 3( −2) 3(3,5) 3( π) −6 10,5 3 π . = = 0 1 3( 3) 3( 0) 3(1) 9 0 3

Exemple : Soit la matrice,

LM−2 23 MM 85 2323 N

5 23

−6 23

OP PP Q

3 23 1 23 . − 1 23 15 23

On peut mettre en évidence le scalaire 1/23 et écrire

L−2 23 MM 8 23 NM 5 23

O PP PQ

L MM MN

− 6 23 −2 1 8 1 23 = 23 5 −1 23 15 23 5 23

3 23

5

O PP PQ

−6 1 . − 1 15 3

Les vecteurs lignes et les vecteurs colonnes

On appelle vecteur ligne d’ordre n une matrice de format 1×n et un vecteur colonne d’ordre n, une matrice de format n×1.

Exemple : La matrice 2 0,5 −1 est un vecteur ligne d’ordre 3 tandis que

d’ordre 2.

page 4

LM−3PO est un vecteur colonne N1 Q

Le produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire d’un vecteur ligne U par un vecteur colonne V, tous les deux du même ordre n, est le nombre réel

LM v OP v ⋅M P =u v MM # PP Nv Q 1

U ⋅ V = u1 u2 " un

2

1

n 1 + u 2v 2 +" +u n v n =

∑u v . k k

k =1

n

Exemple : Le produit scalaire U ⋅ V du vecteur ligne U = 3 −2 2

LM−1OP par le vecteur colonne V = 5 est MM 4 PP N Q

LM OP MM 4 PP N Q

−1 U ⋅ V = 3 −2 2 ⋅ 5 = (3)(− 1) + (− 2)( 5) + ( 2)( 4) = − 3− 10 + 8 = − 5.

Le produit de deux matrices

Soit A = a ij une matrice de format m×n et B = bij une matrice de format n×p. Le produit de A par B est une matrice de format m×p dans laquelle l’élément à l’intersection de la ie ligne et de la je colonne est le résultat du produit scalaire de la ie ligne de A par la je colonne de B,

LM a b MN∑ n

A ⋅ B = AB = aij bij =

ik kj

k =1

O. PP Q

Exemple : Le produit AB de la matrice A, de format 2×3, par la matrice B, de format 3×4 pour

A=

LM2 N4

−1 3 2 1

O PQ

L MM MN

O PP PQ

2 0 2 −1 et B = 5 1 −4 2 1 2 0 5

est la matrice de format 2×4

L2 0 2 − 1OP 2 − 1 3O M L AB = M N 4 2 1PQMMN51 12 −04 25 PPQ L2⋅ 2 + (−1)⋅ 5 + 3⋅ 1 2⋅ 0 + (− 1) ⋅ 1+ 3⋅ 2 =M N 4 ⋅2 + 2 ⋅ 5 +1 ⋅1 4 ⋅0 + 2 ⋅1 +1 ⋅2 L 2 5 8 11PO. =M N19 4 0 5 Q

PQO

2 ⋅ 2 + (− 1) ⋅ ( − 4) + 3 ⋅ 0 2 ⋅ ( − 1) + ( − 1) ⋅ 2 + 3⋅ 5 4 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( −4 ) +1 ⋅0 4 ⋅( −1) + 2 ⋅ 2 +1 ⋅ 5

Attention. Le produit de matrices est défini seulement lorsque le nombre de colonnes de la matrice de gauche correspond exactement au nombre de lignes de la matrice de droite.

page 5

Exemple : Une matrice est inchangée par la multiplication avec une matrice identité compatible. La matrice

A=

L2 MN4

−1 3

2

1

OP Q

multipliée à droite par la matrice identité d’ordre 3, I 3 , est encore A,

LM2 N4

AI = AI 3 =

OP LM10 1Q M MN0

2

OP L2 0 = M P 4 1PQ N

0 0

−1 3

1 0

OP Q

−1 3 =A. 2 1

De même, A est inchangée par la multiplication à gauche par l’identité d’ordre 2, I 2 ,

L 1 0OP L2 MN 0 1Q MN4

IA = I 2A =

OP LM Q N

OP Q

2 −1 3 −1 3 = =A. 4 2 1 2 1

La matrice inverse d’une matrice carrée

Une matrice carrée A est inversible s’il existe une matrice de même format B telle que AB=BA=I. Cette matrice inverse est alors notée A −1 et est déterminée par les relations AA −1 = A − 1A = I . Exemple : Les matrices A=

L −2 M5 MM 1 N

O P P 2 QP

3

−1 2

0 −1

et B =

L−2 23 M 8 23 MM 5 23 N

5 23

−6 23

3 23 1 23 − 1 23 15 23

O P PP Q

sont inverses l’une de l’autre car

LM MM 1 N

−2 AB = 5

3 0 −1

OPLM 8 23 P M 2 QPMN 5 23

OP PP Q

LM1 MM N

O PP PQ

L MM MN

−6 23

OP PP Q

−1 − 2 23

5 23

2

3 23 1 23 = 0 1 0 −1 23 15 23 0 0 1

0 0

et BA =

L−2 23 MM 8 23 MN 5 23

5 23 3 23

OL PPMM 15 23 PQMN 1

− 6 23 − 2 1 23 5

−1 23

O PP PQ

1 0 0 −1 2 = 0 1 0 . 0 0 1 −1 2 3

0

Ainsi, A = B −1, A est l’inverse de B, et B = A −1 , B est l’inverse de A. Nous verrons plus loin deux méthodes pour calculer l’inverse, A −1 , d’une matrice carrée A. La transposée d’une matrice

La transposée d’une matrice A = a ij

de format m×n, notée A t , est la matrice de format n×m obtenue en

interchangeant les lignes et les colonnes de A, A t = a ji .

Exemple :

page 6

L2 La transposée de A = M N4

L MM MN

O PP PQ

2 4 −1 3 t est A = − 1 2 . 2 1 3 1

O PQ

On peut vérifier que quel que soit le scalaire c et les matrices A et B, on a toujours les égalités

d A i = A a A+ Bf = A + B t t

t

t

a ABf = B A t

t

t

acAf = cd A i . t

t

t

Les opérations élémentaires de ligne

On appelle opération élémentaire de ligne sur une matrice l’une ou l’autre des trois opérations suivantes : • multiplier une ligne par un scalaire (nombre réel) non nul; on désigne par Li : = cLi la multiplication de la ligne i par le scalaire c (c ≠0), selon cette notation, la ligne i devient c fois la ligne i; • permuter deux lignes; on désigne par L ij l’échange de la ligne i avec la ligne j; • ajouter à une ligne un scalaire fois une autre ligne ; on désigne par L i : = Li + cL j l’ajout de c fois (c ≠0) la ligne j à la ligne i, selon cette notation, la ligne i est remplacée par la ligne i à laquelle on a ajouté c fois la ligne j (i≠j). Exemple : Soit la matrice,

LM MM N

OP PP Q

1 0 2 7 A = 3 2 −1 1 . 5 1 2 0

La multiplication de la ligne 3 de la matrice A par 4, donne

L1 MM3 NM5

0

2

2

−1 1 2 0

1

O PP PQ

7

L1 MM 3 NM20

L3 :=4 L3

6

0

O PP PQ

2

7

2 −1 1 . 4 8 0

La permutation des lignes 1 et 3 de la matrice A donne

LM1 MM35 N

OP P 0 QP

0 2 7 2 −1 1 1

2

L13

6

LM5 MM31 N

2

2

−1 1 . 2 7

0

0

OP PP Q

1

La ligne 3 à laquelle on ajoute 2 fois la ligne 1 est l’opération élémentaire désignée par L3 := L3 + 2 L1 et donne, lorsqu’elle est appliquée à la matrice A,

LM1 MM35 N

0

OP P 0PQ

2 7 2 −1 1 1

2

L3 := L3 + 2 L1

6

LM1 MM37 N

0

2

7

OP PP Q

2 −1 1 . 1 6 14

Les matrices ligne-équivalentes

Deux matrices A et B sont dites ligne-équivalentes si elles sont de même format et si B peut être obtenue à partir de la matrice A par applications successives d’un nombre fini d’opérations élémentaires de ligne; on écrit alors A

A ~ B.

page 7

Exemple : Les matrices

L1 A = MM4 MN7

L1 O P6P et B = MM 0 9PQ MN12

2 3

2

5

−6 15

8

O −12 P P 18 PQ 3

A

sont ligne-équivalentes, A ~ B , puisque la matrice B peut être obtenue de la matrice A par la suite des opérations élémentaires suivantes :

LM MM7 N

OP P 9QP

1 2 3 A= 4 5 6 8

LM 1 MM127 N

L 2 : = 3 L2

6

OP P 9 QP

2

3

L23

15 18 8

6

LM 1 MM127 N

2 8 15

OP P 18QP 3

L2 := L2 − 7 L1

9

6

LM 1 MM120 N

2

3

OP PP Q

− 6 − 12 = B . 15 18

Même si les opérations définies sur l’ensemble des matrices sont analogues aux opérations définies habituellement sur l’ensemble des nombres réels, celles-ci possèdent néanmoins des propriétés différentes. Par exemple, contrairement à l’opération de produit entre nombres réels, le produit matriciel n’est, en général, pas commutatif. Exemple : Il se peut que le produit BA ne soit pas défini même si AB l’est. Soit les matrices,

O PP PQ

L MM MN

0 1 A = 1 1 −2 et B = 3 −2 . 1 0

Le produit AB est de format 1×2 tandis que la multiplication de B par A n’est pas définie; AB = 1 −1 tandis que BA n’existe pas. En effet, les formats des matrices ne sont pas compatibles

pour le produit BA puisque le nombre de colonnes de B ne correspond pas au nombre de lignes de A. Même si les matrices AB et BA sont définies, elles ne sont pas forcé...