Notat om kapitalverdimodellen, alternativ til boken PDF

Preview

Summary

Download Notat om kapitalverdimodellen, alternativ til boken PDF

Description

NOTAT OM KAPITALVERDIMODELLEN. - Rasjonell investoradferd i en «perfekt verden»

Skrevet av Dag Audun Lønning, Høgskolen på Vestlandet til bruk i faget BØA204, Investering og Finansiering 1.

1

Takk til Knut Steffen Vall Kvala og George Phillip Toney for grundig gjennomlesning og mange gode kommentarer.

Finansteori, prinsipper. Dette er et notat til bruk i faget BØA204 Investering og finansiering ved Høgskulen på Vestlandet. Målet for notatet er å forstå grunnleggende prinsipper for risiko, prising av risiko og kapitalkostnad. Kapitalverdimodellen er en modell som beskrivelse prising av kapital i en perfekt verden med rasjonell adferd. Den kan dermed sees på som en utvidelse av grunnleggende mikroøkonomisk teori. Notatet fokuserer på hvordan en rasjonell konsument/investor vil forholde seg til usikkerhet og risiko.

1. Risiko og kapitalverdimodellen. Bak prising av risiko ligger det en tanke om at mennesker stort sett misliker risiko. Altså: «Jeg ønsker å unngå risiko, og skal jeg ta risiko må jeg få betalt for det». Vi regner på kapitalstrømmer, men disse er basert på mer eller mindre gode gjetninger. Hva kapitalstrømmene til slutt blir er derfor usikkert. Denne usikkerheten er det vi tenker på som risiko. Teorien sier at som investor skal du kreve å få betalt for denne risikoen, men den sier også at markedet er villig til å premiere den som tar risiko. Gjelder dette uansett? Forutsetningen er at dette ikke er en unødvendig risiko. Hvis du velger å slå mynt og kron med naboen om 2 millioner kroner er det risikabelt, men helt unødvendig. For eksempel kan dere bli enig om å dele 1 million til hver uten risiko for noen av dere. Teorien sier at ingen vil betale deg for å ta denne risken det er å spille om det. Så når kan man forvente å få betalt for å ta risiko? I finansteorien snakker man om systematisk og usystematisk risiko. Systematisk risiko er risiko som markedet «betaler for». Andre begreper med samme betydning er relevant risiko, markedsrisiko og ikke-diversifiserbar risiko for å nevne noen. I det neste avsnittet skal vi prøve å forstå skillet mellom systematisk og usystematisk risiko.

1.1

Diversifisering

For å forstå hva som er systematisk risiko må man forstå hva som skjer hvis man diversifiserer. Med diversifisering tenker vi på at investor sprer sine investeringer på mange ulike prosjekter. Sammen utgjør de det vi kaller for en portefølje. Hvert prosjekt utgjør derfor bare en liten del av porteføljen. Vi kan tenke på en økonomi som et system som består av «uendelig» mange prosjekter. Hver for seg betyr de lite for helheten. De kan være mer eller mindre risikable. Risikoen kan være knyttet til forhold i det enkelte prosjektet eller forhold i makroøkonomien rundt dem. Et eksempel kan være et gruveselskap (AS Gruve) som utvinner et mineral. Usikkerheten i dette prosjektet kan vi tenke oss er knyttet til to forhold: 1) Det ene er forekomsten av mineralet. Hvor mye er det? Hvor rent er det? Hvor lett er det å komme til? Dette er en usikkerhet knyttet til selve mineralforekomsten. Hvordan det går i økonomien ellers betyr ingenting for hvordan forekomsten er. Forekomsten betyr også lite for hvordan det går i økonomien som helhet. Tanken er at gruven bare er en svært liten del av det hele. Dette er det vi kaller usystematisk eller irrelevant risiko. 2) Vi kan også tenke oss at usikkerheten i prosjektet er knyttet til prisen på mineralet. Mange mineraler varierer mye i pris. Prisen bestemmes på et verdensmarked og kan i stor grad avhenge av hvordan det går i verdensøkonomien. Denne usikkerheten deler dette prosjektet med mange andre prosjekter som også avhenger av verdensøkonomien. Risikoen som prisen skaper, er korrelert med mange andre prosjekter i økonomien. Dette gjør at denne risikoen er systematisk og relevant.

For å forstå dette må vi tenke på en investor som skal investere i ulike prosjekter, gjerne i form av å kjøpe aksjer. Sammen utgjør de investorens portefølje. Investoren kan velge å plassere alle pengene sine i AS Gruve som vi diskuterte over. I så fall får han med all risikoen i dette prosjektet inn i porteføljen sin, både den systematiske og den usystematiske. Teorien vår sier at i så fall er han «dum». For hvis han plasserer pengene sine i ulike aksjer, vil han kunne redusere den usystematiske risikoen og til slutt fjerne den helt ved å spre pengene sine på mange prosjekt. Og siden investorene misliker risiko og de er smarte, så vil de nettopp investere i mange selskaper for å kvitte seg med denne selskapsspesifikke (usystematiske) risikoen. Dersom AS Gruve inngår som en liten del i en stor portefølje vil forekomsten av mineralet (og andre særegne forhold nevnt i pkt. 1) ikke bety noe for risikoen til porteføljen. Dette fordi det er noe som bare angår dette ene prosjektet og det utgjør bare en svært liten del av den samlede porteføljen. Prisen på mineralet vil derimot bety noe siden denne er styrt av makroøkonomiske forhold. Når prisen er høy, går det godt for AS Gruve. Men det samme vil gjelde for mange andre prosjekter i porteføljen som også avhenger av den økonomiske utviklingen. Prosjektene vil derfor samvariere og dermed vil denne risikoen slå inn i porteføljen selv om porteføljen er veldiversifisert (består av mange ulike investeringer). Vi kan merke oss følgende: 1. Når vi skal vurdere risikoen i et spesifikt prosjekt/aksje er vi ikke opptatt av den totale risikoen som prosjektet/aksjen har, men bare i hvor stor grad prosjektet/aksjen har systematisk risiko. 2. Vi kan da få det «paradokset» at et gruveselskap som kanskje er høyrisikabelt i seg selv, vurderes som lite risikabelt av markedet siden risikoen i betydelig grad er usystematisk. Et eiendomsselskap som kanskje er mindre risikabelt i utgangspunktet inneholder derimot mye systematisk risiko ettersom eiendomsmarkedet i stor grad går i takt med resten av økonomien. Risiko med formler Markedsporteføljen “M” er den mest veldiversifiserte porteføljen man kan ha. Vi kan tenke på «M» som en portefølje som består av alle prosjekter i hele økonomien, eventuelt en liten andel av alle. Risikoen i denne er bare systematisk ettersom den utgjør hele økonomien. Risikoen i et spesifikt prosjekt kan dermed beskrives ved i hvilken grad det svinger i takt (samvariasjon) eller i utakt med “M”. I statistikken måler vi:   

Variasjon: Varians eller standardavvik. Samvariasjon: Kovarians. Andel samvariasjon: Korrelasjon

Generelt er vi opptatt av avkastningen til et prosjekt j. Denne skriver vi med  og måles i % av innskutt kapital.  er en usikker størrelse, altså det vi i statistikk kaller en stokastisk variabel. Vi kan beskrive denne usikre størrelsen med forventningen ( ) og standardavviket  . Forventningen er hva vi i gjennomsnitt får i avkastning. Standardavviket beskriver hvor mye avkastningen sprer seg rundt eller avviker fra () fra gang til gang. Standardavviket inneholder den totale risikoen ved prosjektet, både den systematiske og den usystematiske.

For hele Markedsporteføljen «M» er de tilsvarende størrelsene () og  . Vi har illustrert dette i figuren. Langs den vertikale aksen måler vi forventet avkstning som vi har til et prosjekt eller en portefølje. Langs den horisontale aksen måler vi risiko målt ved standardavviket.  er avkastningen til en investering uten risiko (risikofri rente). Derfor er den tegnet der =0. Som vi ser er den forventede avkastningen til «M» (( )), større enn . Forskjellen mellom den forventede avkastningen til «M» og den risikofrie renten, {( )−  }, er den meravkastningen man får for å ta risikoen  altså en risiko tilsvarende markedsporteføljens risiko. , Meravkastningen {( )−  } kalles gjerne «markedets risikopremie». Legg merke til at avkastningen er lineær med risikoen: høyere risiko gir høyere avkastning. Den totale risikoen til prosjektet j kan som nevnt tidligere deles inn i en systematisk og en usystematisk del. Den systematiske delen er den risikoen som er korrelert med «M». Korrelasjonskoeffisienten gir oss andelen av risikoen som er samvarierende med «M». Korrelasjonskoeffisienten ,  [−1,1] er dermed grad av samvariasjon mellom j og «M» . , =1 er perfekt samvariasjon2, noe som kan tolkes som at all risiko i prosjekt j er systematisk. Tilsvarende vil , =0 bety at det er ingen samvariasjon. All risikoen i prosjekt j er i så fall usystematisk. . , = −1 betyr at prosjektets avkastning går motsatt vei av «M»; når det går dårlig i økonomien som helhet, går prosjektet bra og motsatt. Vi kan nå dele risikoen i prosjekt j inn i en systematisk del (, ∙ ) og en usystematisk del ((1− ,)∙  ) slik at  = , ∙ +(1−

, )∙



Ligningen over viser at den totale risikoen  er summen av den systematiske delen  , ∙ og den usystematiske delen (1− , )∙ . Det er bare den første delen som ikke kan diversifiseres vekk. Hvis j er AS Gruve som vi brukte i eksempelet over betyr det at den totale risikoen  er stor, altså høy risiko i prosjektet. Forutsatt at risikoen rundt forekomsten er det viktigste, vil imidlertid , være nær 0 slik at denne risikoen stort sett er usystematisk. La oss prøve å illustrere dette. Mengden systematisk risiko i et prosjekt måler vi med beta. Vi definerer prosjektet j sin beta ved  =

, ∙  

 er hvor mye systematisk risiko prosjekt j har sammenlignet med «M». Vi innser at for markedsporteføljen gjelder det at , =1 siden en stokastisk variabel alltid vil være perfekt korrelert med seg selv. Dermed vil vi ha at  = 2

∙  

=1. Vi ser da at beta sier hvor mye relevant

Vi kan tenke oss at den er negativ også. Hvis den er -1 betyr det at de er perfekt omvendt korrelert. Det betyr at hver gang markedet har høy avkastning har prosjektet lav, mens når markedet går dårlig går dette bra. Advokatkontor som arbeider med konkursbo?

risiko et prosjekt har sammenlignet med Markedsporteføljen. La  være avkastningen som vi kan få hvis vi investerer uten risiko. Den meravkastningen vi så i figuren at vi kan forvente å få på markedsporteføljen er premien som vi får for en enhet risiko, altså for  =1, {(  )− }. I en verden uten skatt har vi derfor at ( )=  +  ∙{(  )− } Dette stemmer fordi hvis vi setter  =1 (som gjelder for markedsporteføljen) så får vi ()=



+1∙{(

 )− }

= ( )

For et prosjekt kan avkastningen settes opp på tilsvarende måte: ()=  + ∙{( )−  } () er altså hva man skal forvente av avkastning på et prosjekt med en risiko beskrevet med  som kan være både større og mindre enn 1. Vi har illustrert dette for to ulike prosjekter under. Den samlede risikoen er vist ved punktet 2, mens punkt 1 bare viser den systematiske delen. Avstanden mellom 1 og 2 er derfor den usystematiske delen. Vi ser at prosjekt «rød» har høy risiko siden punkt 2 ligger langt ute langs den første aksen. Imidlertid er det bare en liten del av dette som er systematisk (punkt 1). Det er fordi den er lite korrelert med markedet slik at , og dermed  er nær 0. Dermed er forventet avkastning til «Rød» lav ( . Vi ser at dette er en beskrivelse av AS Gruve. Det «Grå» prosjektet har i seg selv lavere risiko siden 2 ligger lenger mot venstre. Imidlertid er det meste av dette systematisk siden punkt 1 ligger nær punkt 2. Det grå prosjektet har høyere systematisk risiko enn rød og derfor har dette prosjektet høyere forventet avkastning. Investering i eiendom kan være et eksempel på et slikt prosjekt.

Vi kan merke oss følgende: 3. I en perfekt verden kan ingen prosjekt ligge over og til venstre for linjen som går gjennom «M».

2. Tofonds-resultatet, den rasjonelle investoren. Markedsporteføljen er den mest diversifiserte porteføljen man kan ha. Sitter man med denne eller en liten andel av den er man 100 % diversifisert. Velger vi en noe annen tilpasning enn «M» får vi med noe usystematisk risiko 3. Ulike personer kan imidlertid ha ulik holdning til risiko, altså ulike preferanser. Noen vil synes «M» er for risikabel i forhold til det de liker og hva man får betalt, mens andre vil tenke motsatt. Burde de ikke velge noe annet enn «M» da? La oss tenke oss at det finnes et risikofritt aktivum. Dette har en avkastning  og siden det er risikofritt er  =0. Det er naturlig å tenke på dette som bankinnskudd og lån. Anta at vår investor fritt kan spare eller låne til denne renten,  . Den sorte linjen viser ulike kombinasjoner av Markedsporteføljen M og det risikofrie aktivumet. Plasserer vi alt risikofritt får vi en avkastning  med null i risiko. Det er punktet der den sorte linjen skjærer Y-aksen og startpunktet for kurven. Punktet M er når vi plasserer hele investeringen vår i «M», for eksempel et indeksfond. Tofonds-resultatet (illustrert ved den sorte linjen) sier da at vår investor kan oppnå både full diversifisering og den risikoen som han ønsker. Den sorte linjen viser at vi kan blande investeringer i markedsporteføljen og  og få porteføljer langs hele den sorte kurven. I figuren har vi tegnet inn to punkt. Anta at vi har en investor (A) tegnet med rødt. Den krumme kurven er en indifferenskurve som beskriver hvordan investor A vurderer risiko mot avkastning. Investorens nytte øker når han får høyere avkastning og lavere risiko. Det betyr at han ønsker å komme på en indifferenskurve som er lengst mulig opp og til venstre. Porteføljene som han kan velge mellom ligger på den svarte linjen. Vi ser at A vil velge punktet A i figuren. Han ønsker bare halvparten så mye risiko som i «M» og velger derfor å sette halvparten i banken og investere resten i «M». Da får porteføljen en beta på ½. Forventet avkastning blir lik den risikofrie renten + ½ risikopremie her vist ved ( ) . Investor B har mye større appetitt for risiko og velger derfor å tilpasse seg i punktet B. Han ønsker å ha omtrent dobbelt så høy risiko som det M kan gi. Hvis han har 1 million å plassere vil han da låne 1 million til den risikofrie renten og investere 2 millioner i «M». Her dobler han risikoen i forhold til M, men får betalt ved en høyere forventet avkastning.

Av dette lærer vi: 4. En investor skal alltid diversifisere mest mulig. For å få den ønskede risikoen må de blande med et risikofritt aktivum.

3

I praksis kan man oppnå stor grad av diversifisering i en portefølje med 10 – 20 aksjer fra ulike bransjer.

3. Kapitalverdimodellen Markedspremien, {()−  }, er en likevektspris. Det er denne som sikrer at vi får likevekt mellom tilbud og etterspørsel etter risiko. La oss nå se på hvordan risiko henger sammen med finansiering. Vi tenker oss en verden uten skatt. La oss se på et prosjekt der samlet kapitalbehov er 100 kroner. Forbundet med dette prosjektet er det 100 «enheter» risiko og denne risikoen er knyttet til prosjektet og ikke hvordan det er finansiert. Dermed er det én «enhet risiko» per krone investert. Beta er som vi så målet på risiko per krone investert slik at dette er et prosjekt med beta = 1. Det betyr at  =1. T står her for totalkapitalen. Det er investeringen uavhengig om den er finansiert med gjeld eller egenkapital. Hvis vi finansierer dette med bare egenkapital (E) betyr det at hver krone egenkapital også bærer én enhet risiko slik at  =1. La oss tenke at vi i stedet bruker 50/50 gjeld (G) og egenkapital (E). Da vet vi at kreditorer og dermed gjelden har prioritet fremfor egenkapitalen. Risikoen blir dermed skjevfordelt mellom de to typene kapital. Vi kan tenke oss at risikoen ikke er større enn at gjelden fremdeles er risikofri. Det betyr at uansett hva som skjer får kreditorene betalt det de skal ha. Dette innebærer at egenkapitalen får all risikoen og dermed økt risiko per krone. Prosjektet har fremdeles 100 enheter risiko (  =1), men hele risikoen fordeles på 50 enheter egenkapital. Det betyr at hver krone egenkapital nå bærer 2 «enheter» risiko. Det betyr at  =2, mens  =0. De to typene kapital får ulik betaverdi. Sett at vi i stedet brukte 80 kroner gjeld og bare 20 kroner i egenkapital. Vi kan nå tenke oss at gjelden må bære en del av risikoen. Hvis ting går riktig galt for selskapet vil kreditorene måtte ta en del tap. Men fremdeles er risikoen for kreditorene vesentlig lavere enn for eierne. La oss derfor tenke at kreditorene nå bærer 40 enheter risiko, mens det da er 60 igjen til egenkapitalen. I så fall vil hver gjeldskrone nå bære 40 enheter/80 kroner = ½ enhet risiko per krone slik at  =0,5. Tilsvarende for egenkapitalen vil bli 60 enheter/20 kroner = 3 enhet risiko per krone og   =3. Fortsatt gjelder det at   =1 (80 % gjeld * 0,5 + 20 % EK * 3) Vi kan merke oss følgende: 5. Prosjektets samlede risiko fordeles mellom de to kapitaltypene, mest til egenkapital (per krone). 6. Når vi øker gjeldsandelen, øker risikoen per investert krone for både kreditor og eier. 7. Prosjektets samlede risiko er uforandret!

Kapitalverdimodellen og kapitalkostnad. Vi fortsetter med eksempelet over hvor vi ser på ulik fordeling mellom gjeld og egenkapital. La oss tenke oss at kapital som ikke bærer risiko betales i markedet med en avkastning på 4 % (for eksempel bankinnskudd eller lån med sikkerhet). Vi kan anta at risiko gir en ekstra avkastning på 5 % per enhet risiko per investert krone, altså det vi kaller «Markedspremien» {(  )−  }. Hva koster kapitalen til prosjektet vårt? Hvordan endres det med hvordan vi finansierer det? Vi har sett at kapital prises ut fra risiko og gitt ved formelen ( )=  +  ∙{( )− }. Banken kan se på det å gi lån som sitt prosjekt og vil prise det ved å bruke  . Tilsvarende vil eierne forvente å få betalt i forhold til  . Vi har vist dette i tabellen under. Hvis vi bare bruker egenkapital, vil vi ha én enhet risiko per krone. Denne kapitalen vil da ha prisen 9% siden det er 4 % risikofritt + 5 % for den ene enheten risiko, ()=  + ∙{( )− }  9% = 4% + 1 ∙ 5%. Siden hele prosjektet er finansiert med egenkapital blir dette også avkastningskravet til totalkapitalen og dermed hele prosjektet.

Finansiering

Avkastningskrav EK

100% EK 50% EK 50 % G 20% EK 80 % G

Avkastningskrav G

Avkastningskrav T

4% 4% 6,5%

9% 9% 9%

9% 14% 19%

Hva skjer hvis endrer finansieringen? La oss se på eksempelet med 80 % gjeld. Siden gjelden nå bærer ½ enhet risiko per krone vil den ha en pris på 4% + ½ * 5 % = 6,5 %. Egenkapitalen vil ha en pris på 4% + 3 * 5 % = 19 %. Totalkapitalen har da en pris 0,8 * 6,5 % + 0,2 * 19 % = 9 %. Altså uforandret! Vi kan merke oss følgende: 8. Gjeld er billigere enn egenkapital siden den er mindre risikabel (dette fordi kreditor har prioritet foran eiere). 9. På tross av dette er prosjektets kapitalkostnad uavhengig av hvordan det er finansiert. 10. Når gjeldsgraden øker, øker kostnaden ved begge former for kapital. Vi snakker gjerne om finansieringsrisiko. 11. Man skulle tro at ettersom gjeld er billigere så ville man kunne få billigere finansiering ved å øke gjeldsgraden. Teorien her sier at det ikke er rett. Det at man får mer av den billige kapitaltypen oppveies av at begge blir dyrere! 12. I en perfekt verden betyr det ingenting om vi finansierer prosjektet med gjeld eller egenkapital. I utgangspunktet er valg av prosjekt og valg av finansiering to uavhengige beslutninger. 13. Denne teorien er både deskriptiv og normativ! Det siste punktet er ikke innlysende. Deskriptiv betyr at den er beskrivende for hvordan markedet fungerer og hvordan prisene i markedet settes. Altså er det en beskrivelse av hvordan ting er! Normativ innebærer at det er slik vi skal prissette kapital i et marked. Dersom du kjenner risikoen som kapitalen har skal vi ha et krav til avkastning gitt ved kapiatalverdimodellen. Grunnen til dette er at risikopremien er en likevektspris i markedet. Når investorer kjøper og selger verdipapirer kan vi i prinsippet finne ut hvilket avkastningskrav (internrente) de har brukt. Hvis vi vet risikoen, kan vi deretter regne oss tilbake til markedspremien.

Kapitalverdimodellen med formler La oss uttrykke det forrige avsnittet med formler.  er som kjent et mål...