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MAT 1002INTRODUCTION AUX MÉTHODESQUANTITATIVESAPPLIQUÉES AUXSCIENCES DE LA GESTIONNotes de coursDépartement de mathématiquesUniversité du Québec à MontréalAvant-proposLe cours Introduction aux méthodes quantitatives appliquées aux sciences de lagestion (MAT-1002) s’adresse aux étudiantes et étudiant...

Description

MAT 1002 INTRODUCTION AUX MÉTHODES QUANTITATIVES APPLIQUÉES AUX SCIENCES DE LA GESTION Notes de cours

Département de mathématiques

Université du Québec à Montréal

Avant-propos

Le cours Introduction aux méthodes quantitatives appliquées aux sciences de la gestion (MAT-1002) s’adresse aux étudiantes et étudiants inscrits aux programmes de la famille des sciences de la gestion (sciences administratives, marketing, finances, ...). On y présente les outils mathématiques de base pour aborder les cours d’un certificat ou d’un baccalauréat. Cette initiation aux techniques mathématiques passe par la familiarisation de la calculatrice, la modélisation et la mathématisation de situations réelles et donc par des applications. Ce document de travail constitue une étape d’un projet en cours de réalisation sur l’apprentissage des notions mathématiques dans le contexte d’un retour aux études. On cherche à y intégrer un ensemble de sujets mathématiques pertinents selon leurs interdépendances et leurs interrelations et surtout à les développer dans le champ d’intervention des étudiantes et des étudiants. Animés par leurs expériences et leurs réflexions sur l’enseignement des mathématiques à des adultes en retour aux études et la formation continue, les auteurs du projet, Manzoor Ahmad, Suzanne Gravel, Richard Labonté et Jean-Luc Raymond, ont, depuis l’automne 1996, produit des documents de travail qui ont été mis à la disposition des enseignantes et enseignants du cours MAT-1002. Les expériences réalisées par les auteurs, leurs collègues et leurs étudiantes et étudiants constituent autant de données critiques contribuant à l’évolution de ce document. On ne doit donc pas percevoir celui-ci comme un cahier de notes sous sa forme définitive mais plutôt comme une recherche constante d’un outil adapté aux clientèles étudiantes que nous desservons. Les auteurs tiennent à remercier tous ceux et celles qui, par leurs opinions et leurs commentaires, participent à la réalisation de ce projet, ainsi que les instances responsables de la gestion des programmes concernés avec qui ils maintiennent un dialogue.

TABLE DES MATIÈRES I.

Les ensembles de nombres et les opérations -----------------------

1

II.

Les nombres décimaux et les pourcentages ------------------------

23

III.

Fonction linéaire et représentation graphique----------------------

29

IV.

Expressions algébriques ----------------------------------------------

57

V.

Équations à une variable et résolution de problèmes -------------

65

VI.

Inéquations linéaires à une variable ---------------------------------

79

VII.

Systèmes d'équations linéaires ---------------------------------------

91

VIII.

Systèmes d'inéquations linéaires ------------------------------------

112

IX.

Fonctions exponentielles et logarithmes----------------------------

121

X.

Mathématiques financières -------------------------------------------

127

Généralités sur la théorie des ensembles et sur la notion d'expérience aléatoire-------------------------------

143

II.

Suites et sommations --------------------------------------------------

155

III.

Quelques éléments de statistiques descriptives --------------------

167

Annexes I.

I. LES ENSEMBLES DE NOMBRES ET LES OPÉRATIONS

1. Les ensembles de nombres Les nombres naturels (ou entiers naturels) sont les nombres qu'on utilise pour compter des objets : 0, 1, 2, 3, … On représente cet ensemble de nombres par le symbole N:

N = {0, 1, 2, 3, 4, … }. Lorsqu'on ne considère que les entiers positifs, on utilise le symbole N* :

N* = {1, 2, 3, 4, … }. Lorsqu'on additionne deux entiers naturels, le résultat est aussi un entier naturel. Mais ce n'est pas toujours le cas si l'on soustrait deux entiers naturels. Par exemple, (3 - 5) n'est pas un entier naturel. Par ailleurs, il peut aussi être utile, lorsqu'on parle de dette, par exemple, de considérer des entiers négatifs. On pourrait par exemple représenter une dette de 5$ par le nombre -5. L'ensemble de tous les entiers, positifs, négatifs ou nul, est appelé ensemble des entiers relatifs, et est représenté par le symbole Z : Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }. Ainsi, en considérant l'ensemble des entiers relatifs, on peut soustraire en toute tranquillité : le résultat sera toujours un entier relatif. On a, par exemple, 3 - 5 = -2, et -4 - 7 = -11. Nous reviendrons plus loin sur la soustraction de nombres. Lorsque l'on divise deux entiers, le résultat n'est pas toujours un entier. Le résultat de l'opération 3 ÷ 4, par exemple, n'est pas un entier, mais une fraction qu'on peut représenter par 3/4. L'ensemble de toutes les fractions, positives, négatives ou nulles, est appelé l'ensemble des nombres rationnels. En fait, on définit l'ensemble des nombres rationnels comme l'ensemble de tous les quotients qu'on peut former en divisant deux entiers, et on le représente par le symbole Q : Q = { a/b | a Z, b Z\{0} }. Certains nombres ne sont le quotient d'aucune paire d'entiers. Il n'y a, par exemple, aucune fraction qui, multipliée par elle-même, donne 2. Ainsi,

2 n'est pas un nombre rationnel (vous trouverez, en bonus, dans un encadré à la

fin de ce chapitre, des considérations sur l'intérêt du nombre

2 , et une preuve qu'il n'est pas un nombre rationnel).

Vous avez aussi certainement entendu parler du nombre π, qui est le quotient de la circonférence et du diamètre de n'importe quel cercle : π = 3,141 592 653… Ces nombres, qui ne sont pas des nombres rationnels, sont appelés nombres irrationnels. L'ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels est appelé ensemble des nombres réels, et est représenté par le symbole R. Lorsque l'on considère R comme l'ensemble universel, l'ensemble des nombres irrationnels est le complément de Q. Pour cette raison, on représente par Q' ou Qc l'ensemble des nombres irrationnels.

2

Chapitre I

Les nombres réels sont souvent représentés géométriquement à l'aide d'une droite, appelée droite réelle, sur laquelle on aura choisi un point qu'on appellera l'origine ou zéro, et une unité de mesure.

2. Les opérations 2.1

L'addition

L'addition, ou somme, de deux nombres réels, peut être représentée sur la droite réelle. Par exemple, pour représenter la somme 2 + 3, on repère le nombre 2 sur la droite réelle, et on fait un saut vers la droite, qu'on illustre par une flèche, de 3 unités, ce qui nous donne le nombre 5 (voir figure 1.1). Lorsqu'on veut additionner à un nombre un nombre négatif, le saut se fait alors vers la gauche. La figure 1.2 illustre la somme 2 + (-3).

Figure 1.1 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Figure 1.2 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Propriétés:

1.

Neutre: 0 + a = 0 + a = a

2.

Opposé: a + (-a) = 0

3.

Commutativité: a + b = b + a

4.

Associativité: (a + b) + c = a + (b + c)

5.

Si a + b = 0 , alors b = -a et a = -b

6.

-(-a) = a

7.

Si a + b = a + c , alors b = c (règle de simplification)

Remarquons que la commutativité de l'addition nous dit que, peu importe l'ordre dans lequel on additionne deux nombres, le résultat sera le même. Par exemple, 3 + 4 = 4 + 3 = 7. L'associativité, quant à elle, affirme que, quand on additionne trois nombres, peu importe où on met les parenthèses, le résultat sera le même. On peut donc éviter, dans ce cas, l'utilisation des parenthèses, et écrire simplement : a + b + c. Par exemple, (2 + 4) + 5 = 6 + 5 = 11, et 2 + (4 + 5) = 2 + 9 = 11.

Les ensembles de nombres et les opérations

2.2

3

La soustraction

La soustraction, ou différence de deux nombres est l'addition de l'opposé: a - b = a + (-b). Cette opération peut être illustrée sur la droite réelle de la même façon que l'addition, mais en faisant le saut dans le sens contraire. Pour illustrer a - b, on fait le saut vers la gauche si b est positif, et vers la droite si b est négatif. La figure 2.3 illustre les deux opérations 5 - 2 et 7 - (-4). Propriété:

a - (-b) = a + b

Attention : la soustration n'est pas commutative, c'est-à-dire que a - b ≠ b - a. Par exemple, 5 - 3 = 2, et 3 - 5 = -2. La soustraction n'est pas non plus associative, c'est-à-dire que (a - b) - c ≠ a - (b – c). Par exemple, (8 - 5) - 3 = 3 3 = 0, et 8 - (5 - 3) = 8 - 2 = 6.

Règles des parenthèses Lorsqu'une expression contient des parenthèses, cela signifie qu'il faut effectuer les opérations à l'intérieur des parenthèses avant les autres opérations. Par exemple: 5 + (8 + (-2) + 1) = 5 + 7 = 12. Si l'expression contient plusieurs parenthèses, on effectue d'abord les opérations dans les parenthèses situées le plus à l'intérieur. Par exemple: 4 + (6 + (8 - 2)) = 4 + (6 + 6) = 4 + 12 = 16. Si l'opération qui précède la parenthèse est une addition, on peut aussi tout simplement la faire « disparaître » (à cause de l'associativité de l'addition).

Exemples: a)

8 + (3 + 4) = 8 + 3 + 4 = 11 + 4 = 15

b)

5 + (8 + (-2) + 1) = 5 + 8 + (-2) + 1 = 13 + (-2) + 1 = 12

c)

4 + (6 + (8 - 2)) = 4 + 6 + (8 - 2) = 4 + 6 + 8 - 2 = 16.

Cependant, si l'opération qui précède la parenthèse est une soustraction, pour faire « disparaître » cette parenthèse, on doit changer les signes des termes placés dans la parenthèse.

Exemples: a)

6 - (3 + 2) = 6 - 3 - 2

b)

8 - (5 - 3) = 8 - 5 - (-3) = 8 - 5 + 3 = 6

c)

5 - (8 + (-2) + 1) = 5 - 8 - (-2) - 1 = 5 - 8 + 2 - 1 = -2.

d)

4 - (6 + (8 - 2)) = 4 - 6 - (8 - 2) = 4 - 6 - 8 + 2 = -8.

4

2.3

Chapitre I

La multiplication

Le résultat de la multiplication de deux nombres est appelé produit de ces deux nombres.

Propriétés: 1.

Neutre: a  1 = 1  a = a

2.

Inverse: a  1/a = 1/a  a = 1

3.

Commutativité: a  b = b  a

4.

Associativité: (a  b)  c = a  (b  c)

5.

Élément absorbant : 0  a = a  0 = 0

6.

Distributivité:

7.

Si a  b = 1, alors b = 1/a et a = 1/b

8.

1 a = 1/a

9.

Si a  b = a  c, et a ≠ 0, alors b = c

a  (b + c) = (a  b) + (a  c) (b + c)  a = (b  a) + (c  a)

Remarquons que la commutativité de la multiplication nous dit que, peu importe l'ordre dans lequel on multiplie deux nombres, le résultat sera le même. Par exemple, 2  4 = 4  2 = 8. L'associativité, quant à elle, affirme que, quand on multiplie trois nombres, peu importe où on met les parenthèses, le résultat sera le même. On peut donc éviter, dans ce cas, l'utilisation des parenthèses, et écrire simplement : a  b  c. Par exemple, (2  3)  5 = 6  5 = 30, et 2  (3  5) = 2  15 = 30.

Attention : la propriété 6 affirme que la multiplication se distribue sur l'addition. Mais l'inverse n'est pas vrai, c'est-à-dire que l'addition ne se distribue pas sur la multiplication : a + (b  c) ≠ (a + b)  (a + c). Par exemple, 4 + (2  5) = 4 + 10 = 14, tandis que (4 + 2)  (4 + 5) = 6  9 = 54.

Règles des signes dans la multiplication: (+)



(+)

=

+

(+)



(-)

=

-

(-)



(+)

=

-

(-)



(-)

=

+

2.4 La division La division, ou quotient, d'un nombre par un autre, est la multiplication du premier par l'inverse du second: a ÷ b = a  1/b. Remarquons que a ÷

1 1 b = a  1/b = a  b.

Les ensembles de nombres et les opérations

Propriété:

5

a ÷ 1/b = a  b.

Remarquons que 0 ÷ a = 0  1/a = 0, à cause de la propriété 5 (élément absorbant) de la multiplication. Attention a cependant : la division par zéro n'est pas définie, c'est-à-dire que a ÷ 0, ou , n'est pas un nombre réel. 0

Ordre de priorité des opérations 1.

Effectuer les opérations à l'intérieur des parenthèses (ou les faire « disparaître » en suivant l'une des règles énoncées plus haut).

2.

Effectuer les multiplications et les divisions de gauche à droite.

3.

Effectuer les additions et les soustractions de gauche à droite.

Exemples: a)

5 + 3  4 = 5 + 12 = 17

b)

3  (4 + 5) = 3  9 = 27

c)

12 - 4  2 + 6  3 = 12 - 2 + 6  3 = 12 - 2 + 18 = 28

d)

32  2  4 + 5 - 2  3  6 + 5(8 - 2)

e)

2((6 - 15  3) - 3(4 + 2(3 + 10  5)))

= 32  2  4 + 5 - 2  3  6 + 5  6

= 2((6 - 5) - 3(4 + 2(3 + 2)))

= 16  4 + 5 - 2  3  6 + 5  6

= 2(1 - 3(4 + 2  5))

= 4+5-236+56

= 2(1 - 3(4 + 10))

= 4+5-66+56

= 2(1 - 3  14)

= 4 + 5 - 36 + 5  6

= 2(1 - 42)

= 4 + 5 - 36 + 30

= 2  (-41)

= 9 - 36 + 30

= -82

= -27 + 30 = 3

3.

Manipulation de fractions

Rappelons qu'une fraction, ou nombre rationnel, est simplement le quotient de deux entiers m/n, où n ≠ 0. m est appelé le numérateur de la fraction, et n le dénominateur. Un nombre rationnel ne possède pas une seule représentation sous forme de quotient de deux entiers. Par exemple, 1/2 = 2/4 = 3/6 (voir la figure 3.1). Si on considère les deux fractions égales 2/4 et 3/6, on remarque que, si on prend le numérateur de la première, 2 et qu'on le multiplie par le dénominateur de la deuxième, 6, on obtient 12. De même, si on multiplie le dénominateur de la première fraction, 4, par le numérateur de la deuxième, 3, on obtient

6

Chapitre I

aussi 12. Cette égalité est toujours vraie, quelles que soient les deux fractions égales. Ceci est résumé dans l'encadré suivant : Soient les entiers m, n, r, s tels que n≠0 et s≠0. m r Alors n = s si et seulement si m  s = n  r

3.1 Simplification des fractions Simplifier une fraction, c'est l'écrire sous sa forme la plus simple possible, c'est-à-dire en utilisant les plus petits entiers possibles comme numérateur et dénominateur. On peut simplifier une fraction en divisant son numérateur et son dénominateur par le même nombre. Dans la fraction 3/6, par exemple, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par 3, et on obtient 1/2. De façon générale, dans la fraction m/n, si m = a  d et n = b  d, alors on peut diviser m et n par d, ce qui nous donne a/b. Règle de simplification:

a ad = b bd

Exemples: a)

22 2 4 6 = 32 = 3

b)

2 8 24 = 7 28 = 7  4

3.2 Comparaison de fractions

3 2 Supposons qu'on veuille comparer les deux fractions 4 et 5 , pour savoir laquelle est la plus grande. Il faut d'abord les ramener au même dénominateur: 35 3 15 et 4 = 4  5 = 20 15 3 2 8 Ainsi, puisque 20 > 20 , on peut conclure que 4 > 5 .

24 2 8 5 = 5  4 = 20

De façon générale, pour comparer deux fractions a/b et c/d, il faut d'abord les ramener au même dénominateur, puis comparer leurs numérateurs: cb ad a c b = b  d et d = d  b Règle:

a c si ad < bc, alors b < ; d a c si ad > bc, alors b > d ; si ad = bc, alors

a c b =d

Les ensembles de nombres et les opérations

7

3.3 Addition et soustraction de fractions Si les fractions à additionner ou à soustraire sont exprimées avec le même dénominateur, il suffit d'additionner leurs numérateurs. Il ne faut pas oublier de simplifier la fraction obtenue.

Exemples: a)

34 12 5+7 7 3 5 = 8 = = 8 + 8 = 8 2 24

b)

2 4 6 11 - 11 = 11

Si les fractions à additionner ou à soustraire ne sont pas exprimées avec le même dénominateur, il faut d'abord les ramener au même dénominateur.

Exemples: a)

2 1 12 5 3 1 13 = 6 + 6 = 6 (voir figure 3.2) 3 + 2 = 32 + 23

b)

64 3 9 15 35 24 6 5 - 4 = 5  4 - 4  5 = 20 - 20 = 20

De façon générale, on a les règles suivantes: a ad + bc bc ad c bd b + d = bd + bd = a ad - bc bc ad c bd b - d = bd - bd =

3.4 Multiplication et division de fractions Multiplication Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on réduit la fraction obtenue: ac a c b  d = bd

Exemples: a)

1 1 1 11 2  3 = 23 = 6

b)

32 2 2 6 3 5  3 = 5  3 = 15 = 5

8

Chapitre I

Division On a déjà vu que la division d'un nombre par un autre est la multiplication du premier nombre par l'inverse du second. Ainsi, pour diviser une fraction par une fraction, il faut multiplier la première fraction par l'inverse de la a deuxième. Or, quel est l'inverse d'une fraction b ? a c c C'est la fraction d telle que b  d = 1.

Exemples: 1 2 2 est 2 (ou 1 ),

a)

l'inverse de

b)

3 2 3 2 l'inverse de 3 est 2 (en effet, 3  2 = 1).

De façon générale, l'inverse de

a b b est a .

ad d a c a Ainsi , b  d = b  c = bc

Exemples: a)

54 4 5 3 51 5 5 8  4 = 8  3 = 83 = 23 = 6

b)

35 5 57 7 5 2 = 12 6  7 = 6  2 = 62

4. Exposants et racines 4.1 Exposants entiers Le symbole 24, qui se lit «2 exposant 4» ou «2 puissance 4», désigne le produit 2  2  2  2. En mathématiques, on fait souvent appel à l'opération «élever le nombre a à la puissance n».

Définition:

Quels que soient a  R, et n  N, 1. an = a  a  …  a (n facteurs) 1 2. a-n = n (a ≠ 0) a 3. a0 = 1

(a ≠ 0)

Dans cette définition, a est appelé la base, et n l'exposant.

Application de la règle des signes La règle des signes pour la multiplication nous permet de voir que si a est positif, an sera aussi positif. Si a est négatif, pour connaître le signe de an, on peut regrouper deux à deux les facteurs dans a  a  …  a. On sait que chaque paire a  a est un nombre positif. Ainsi, si n est pair, il ne restera pas de facteur isolé, et an sera positif,

Les ensembles de nombres et les opérations

9

puisque ce sera un produit de nombres positifs : an = (a  a) (a  a) … (a  a). Par contre, si n est impair, il restera un facteur a isolé : an = (a  a) (a  a) … (a  a)  a. an sera donc un produit de nombres positifs avec un nombre négatif, ce qui nous donnera un nombre négatif. On a donc les règles suivantes: 1.

Toute puissance d'un nombre positif est positive

2.

Toute puissance d'un nombre négatif est: a) positive si l'exposant est pair b) négative si l'exposant est impair...