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Núcleo & Imagem 1. Seja T :

IR3

→

IR2

a transformação linear dada pela matriz



 3 1 2 . 6 2 4

(a) Encontre uma base ortonormal para o núcleo, N ( T ), de T . (b) Encontre base ortonormal para a imagem, Im( T ), de T . (c) Faz sentido dizer que as duas bases que você achou, juntas, formam base de IR3 ? (d) Encontre base ortonormal para o espaço, N ( T )⊥ , ortogonal a N ( T ). (e) Faz sentido dizer que as duas bases que você achou, para N ( T ) e para N ( T )⊥ , juntas, formam base de IR3 ? (f) Escolha um vetor não nulo, x, em N ( T )⊥ . Seja y = Tx. Quem é T −1 (y)?   3 1 2. Seja TIR2 → IR3 a transformação linear dada pela matriz  6 2 . 2 4 (a) T é sobrejetiva? (b) T é injetiva? (c) Determine a imagem de T. Faça um desenho. (d) O ponto y = (3, 1, 10) está na imagem de T ? (e) Qual o ponto yo da imagem de T mais próximo de y? (f) Qual o ponto xo de IR2 tal que Txo está o mais próximo possível de y? 3. Seja E um subespaço vetorial de IRn . Seja E⊥ = {v ∈ IRn | hv, ui = 0 ∀ u ∈ E}. (a) Mostre que E é subespaço vetorial de IRn . (b) Usando a projeção, mostre que, para cada v em IRn , existe um único par de vetores, u e w, com u ∈ E e w ∈ E⊥ , tais que u + w = v . (c) Sejam α = {u1 , . . . , uk } base de E e β = {w1 , . . . , wm } base de E⊥ . Mostre que α ∪ β é base de IRn . Conclua que dimensão de E+dimensão de E⊥ = n. 4. Seja A matriz m × n (pense A como uma transformação linear de IRn em IRm ). Sejam E o subespaço de IRn gerado pelas linhas de A e F o subespaço de IRm gerado pelas colunas de A. (a) Observe que E é o espaço ortogonal ao núcleo, N, da transformação linear associada a A. (b) Observe que F é a imagem da transformação linear associada a A. (c) Sejam u em E e n em N. Mostre que A(u + n) = Au.

2 (d) Seja x em IRn . Use a letra (b) do exercício anterior para mostrar que existe um único u em E tal que Au = Ax. (e) Conclua que A leva E em F bijetivamente. (f) Mostre que a dimensão do subespaço de IRn gerado pelas linhas de A e a do subespaço de IRm gerado pelas colunas de A são iguais. (g) Mostre que a soma da dimensão do núcleo, N, da transformação linear associada a A com a dimensão da imagem, F, da transformação linear associada a A é n. 5. Seja A matriz m × n. Suponha que y está em IRm mas Ax = y não tem solução. Ou seja, y não está no espaço, F, gerado pelas colunas de A. Vamos buscar uma solução aproximada. (a) Seja yo a projeção ortogonal de y em F. Mostre que yo é o elemento de F mais próximo de y, isto é: se y1 está em F, então |y1 − y| ≥ |yo − y|, sendo a norma definida por |w| = hw, wi1/2 . (b) Mostre que Axo = yo se, e somente se, ( AT A) xo = AT y. (c) O sistema ( AT A) xo = AT y sempre tem solução? (d) A solução, caso exista, é única? (e) Sob que condições existe e é única a solução de ( AT A) xo = AT y?...