Observabilidad y controlabilidad PDF

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Profesor César Torres. ESIME Azcapotzalco....

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140

2.- Controlabilidad y Observabilidad

2.2.

2.2.- Observabilidad de sistemas.

El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad, e investiga la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la salida. Consideramos el sistema lineal estacionario 

A

2 Rnxn;

B

2 Rnxp ;

C

x

=

Ax

+ Bu

y

=

Cx

+ Du

2 Rqxn;

D

2 Rqxp

De…nición 2.2 La ecuación de estado es observable si para cualquier estado inicial x(0) (de-

sconocido), existe un tiempo …nito t1 tal que el conocimiento de la entrada el intervalo

u

y la salida

2. 2. 1.- Criterios de observabilidad.

Teorema 2.2 Las siguientes declaraciones son equivalentes.

1. El par 2-n-dimensional (A,C), 2. La matriz n

 n: Ztf o (tf ) =

e

W

0 es

sobre

[0; t1 ] es su…ciente para determinar en forma única el estado inicial x(0). En caso

contrario el sistema es no observable.

2.2.1.

y

A

2 Rnxn

AT  C T C e A d =

C

Ztf e

2 Rqxn ; es observable.

AT (t ) C T C eA(t ) d

0

no-singular (diferente de cero) para cualquier

t

f

>

ESIME Unidad Azcapotzalco Dr. César Torres Martínez

0:

2.2 2.2.- Observabilidad de sistemas.

3. La matriz

es de rango

n  n observable

141

2 3 C 6 7 66 CA 77 Mo = 666 CA2 777 64 ... 75

n. (rango columna pleno).

CAn1

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142

2.- Controlabilidad y Observabilidad

Ejemplos de observabilidad

Ejemplo 2.10

(Satélite terrestre). Una ecuación de estado

linealizada

para un satélite en

una órbita circular está dada por

2 0 6  6 3!20 x(t) = 6 6 0 4 0

0 0

 2r!

"

y=

3

3 2 0 0 7 6 7 6 7 0 2r0 ! 0 7 7 x(t) + 6 1 0 7 u(t) 60 0 7 0 1 7 5 4 5

1

0

0

0

0

0

0

1 0 0 0 0 0 1 0

#

"

x(t) =

0 r10

r(t) (t)

#

donde la primera salida es la distancia (incremental) radial

r(t)

y la segunda el ángulo

(t). La posición del satélite se puede ajustar por medio de las fuerzas de empuje u1 (t) y u2 (t). El radio nominal es r0 y la velocidad angular nominal es !0 . Suponga que solo está disponible la medida de la distancia radial y1 (t) = [1 0 0 0] x(t) = C1 x(t) en un intervalo de tiempo especí…co. La matriz de observabilidad en este caso es: 3 2 (incremental)

0

6 2 6 3!0 A = 6 6 0 4

C1 =

h

0

1

0

0

0 2r0 ! 0 7

0

0

1

0

0

r

2! 0 0

i

0

7 7 7 5

1 0 0 0

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2.2 2.2.- Observabilidad de sistemas.

h

C1 A = 1 0 0

143

2 0 6 2 i 666 3!0 0 4 0

C1 A2 = C1 A2 =

C1 A3 = C1 A3 =

h h

h h

1 0 0

1 0 0 0

0

!02

2 0 i 66 3!20 66 4 0

0 0

i

0



0

0

0

0

0

0

0

2! 0

0

r0

0

0

3 7 h 2r0 ! 0 7 7= 1 7 5 0

0

0 0 0 2r0 ! 0

0

0

3 2 0 77 66 2 77  66 3!0 5 4 0

1

0

0

0

32 0 7 6 2r0 ! 0 7 6 3! 20 7 66 1 7 54 0 0

0

0

3 2 1 7 6 77 66 0 7 = 6 3!2 5 4 0 0

0 1 0 0

i

0

1 0

0

1

C1 A3

0

r

i

2 C1 6 6 C1 A O =6 6 C A2 4 1

0

2! 0

0

3!02 0 0 2! 0 r0

0

 2r!

0

2 0 i 66 3!20 0 6 6 0 4

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

!02

0

r

0 0 0 2r0 ! 0

0

0

1

0

0

r

2! 0 0

1

2! 0

1 0

0

32 0 7 6 2r0 ! 0 7 6 3!02 7 66 1 7 54 0 0

0

0

3 77 77 5

1

0

0

0 2r0 ! 0

0

0

1

0

0

r

2! 0 0

3 7 0 7 7 2r0 ! 0 7 5

0

0

0

La cual tiene rango 3. Por eso, la medida radial no es su…ciente para calcular el estado

completo de la órbita. Por otro lado, la medida del ángulo,

y1 (t) = [0 0 1 0] x(t) = C2 x(t) es su…ciente, como puede

veri…carse fácilmente.

2 0 66 2 3! 0 A=6 64 0 0

1

0

0

0

0

0

r

2! 0 0

0

3 7 2r0 ! 0 7 7 1 7 5 0

0

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0

144

2.- Controlabilidad y Observabilidad

h

C2 = 0 0 1 0

2 0 6 i 66 3!20 0 6 4 0

h

C2 A = 0 0 1

C2 A2 = C2 A2 =

C2 A3 = C2 A3 =

h h

h h

0 0 1 0

0

2 !r

0

0

0 0 1 0

0 0

2 0 6 i 6 3!20 66 4 0 0

6 !r

3 0

0

0 0

4!20

0

i

0

0

0

La cual tiene rango 4. Por eso,

0

r

0

1

0

0

0

0

0

0

3 2 2 C2 7 66 66 C2 A 7 6 7 = 66 O=6 2 7 C A 4 2 5 4 C2 A3

0

0

0

0

0

0

r

0

r

i

0

2! 0

1

2! 0

0

2! 0

0

2 0 i 66 3!02  66 0 4

1

i 3 7 h 2r0 ! 0 7 7= 1 7 5 0

0

3 2 0 77 66 2 2r0 ! 0 7 6 3!0 6 1 7 5 4 0 0

0

0

32 0 77 66 2 2r0 ! 0 77 66 3!0 1 54 0 0



0

0

0

0

0

r

2! 0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

2 r!00 0

0



0

la medida del ángulo

completo de la órbita.

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0

1

0

0

0

0

0

r

2! 0 0

1

0

!3 6 r00

i

0

0

0

0 0 0 1

0

32 0 77 66 2 2r0 ! 0 77 66 3! 0 1 54 0 0

0

4!20

0

3 7 2r0 ! 0 7 7 1 7 5 0

0

0

1

0

0

0

0

0

r

2! 0 0

0

3 77 77 5

es su…ciente para calcular

el estado

3 7 2r0 ! 0 7 7 1 7 5 0

0

2.2 2.2.- Observabilidad de sistemas.

145

Estudiar la observabilidad del sistema cuyas matrices A y C son las siguientes (Control en

3 2 3 0 2 7 6 A = 64 0 1 0 75

el espacio de estados Pag 186).

0 2 3

C=

"

2 0 0

#

0 1 2

1.- Para la salidad uno

2

A C1

6

3

3 0 2

7

7 = 6 40 1 0 5 0 2 3 =

h

i

2 0 0

3 2 3 0 2 h i 6 i 7 h C1A = 2 0 0  64 0 1 0 75 = 6 0 4 h

3 2

2

0 2 3

3

i 6 3 0 27 63 0 2 7 h i 6 7 6 7 2 0 0  4 0 1 0 5  4 0 1 0 5 = 18 8 24 0 2 3

C1A2 C1A2

0 2 3

3 2 3 2 3 0 2 3 0 2 h i 6 7 6 7 7 6 7 = 2 0 0 6 4 0 1 0 54 0 1 0 5 =

h

i

0 2 3

0 2 3

18 8 24

2 6

Mo = 64

C1 C1 A C1A2

3

2

2

0

0

3

7 6 7 7=6 6 0 4 7 5 4 5 18 8 24

El rango es tres, por lo que utilizando la primera salida el sistema es observable. ESIME Unidad Azcapotzalco Dr. César Torres Martínez

146

2.- Controlabilidad y Observabilidad

2.- Para el segundo caso

3 2 3 0 2 7 6 A = 64 0 1 0 75 0 2 3

C=

"

2 0 0

#

0 1 2

Para la salidad dos

2

A C2

6

3

3 0 2

7

7 = 6 40 1 0 5 0 2 3 =

C2 =

h

i

0 1 2

h

i 0 1 2

3 2 3 0 2 i h i 6 7 h C2A = 0 1 2  64 0 1 0 75 = 0 5 6 h

3 2

2

0 2 3

3

i i 6 3 0 27 6 3 0 27 h 7 7 6 6  0 1 2  4 0 1 0 5 4 0 1 0 5 = 0 17 18 0 2 3

0 2 3

C2A2 C2A2

3 2 3 2 3 0 2 3 0 2 h i 6 7 6 7 7 6 7 = 0 1 2 6 4 0 1 0 54 0 1 0 5 =

h

i

0 2 3

0 2 3

0 17 18

2

3

2

0 C 6 2 7 6 Mo = 64 C2A 75 = 64 0 C2A2 0

1 5

2

7

6 7 5

17 18

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3

2.2 2.2.- Observabilidad de sistemas.

El rango de la matriz

147

Mo es menor que tres (dos) , por lo que el sistema no es observable

utilizando la segunda salida. 3.-Utilizando las dos entradas tenemos la matriz de observabilidad siguiente:

2

A C

6

3 7

7 = 6 4 0 1 05 0 2 3 "

=

2 0 0

# 3x3

0 1 2

2 6 6 6 6 6 Mo = 66 6 6 6 4 El rango de

3 0 2

3x2

2

0

0

0

1

6

0

0

5

18

8

0

17 18

3 7

2 7 7

7

4 7 7 6 7 7

7

24 7 5

Mo es tres, por lo que el sistema es observable utilizando las dos salidas disponibles.

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148

Ejemplos Sistemas no observables.

2.- Controlabilidad y Observabilidad

En el circuito de la izquierda en la Figura, si la

entrada es nula, la salida es idénticamente nula para cualquier tensión en el capacitor (VC ), debido a la simetría de las resistencias. Sabemos que la entrada y la salida son ambas nulas, pero la tensión inicial en el capacitor (el estado) puede no serlo y no podemos determinarla. Este sistema es no observable.

El circuito de la derecha en la Figura tiene dos variables de estado, la corriente por la

x1 , y la tensión en el capacitor x2 . La entrada u es una fuente de corriente. Si u = 0 y la tensión inicial en el capacitor es nula, x2 (0) = 0, la salida es nula independientemente de la corriente en la inductancia, que no necesariamente es nula. El estado inicial x1 (0) no puede ser determinado del conocimiento de u (entrada) e y (salida), y el sistema es no observable. inductancia,

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2.2 2.2.- Observabilidad de sistemas.

149

Ejemplo 2.11 Determinar la Observabilidad.

2 3 2 3 0 1 2 0 6 7 7 6  x = 64 0 10 21 75 x + 64 0 75 u 0

y=

h

8

10

7 2

4 x + [0] u

1

i

2 3 C 6 7 Mo = 64 CA 75

C=

CA = 2 66 4

0 0 0

1

10 8

h

7 2

2 i 6 4 1X 3 64

3 2 3 2 2 7 6 0 1 2 7 6 6 7 6 21 7 5  4 0 10 21 5 = 4 10 0 8 10 2 h i 6 CA2 = 7 2 4  64

h

0

CAn1

7 2 1

0

10 8

0

6

0

0

68

0

0

0

6

0

68

0

0

2 6 Mo = 64

4

7

2

0

19

0

94

i 3

2 7 21

7 5

10 1 0

=

h

0 19

12

94

279

3X 77 5

3 3

68 3 1

0

68

i

77 h 5=

0

i

3

4 7 12 75 279

La matriz de observabilidad tiene un rango de 3 por lo tanto es observable.

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150

2.- Controlabilidad y Observabilidad

Ejemplo 2.12 Determinar el sistema es observable.

x y

=

=

2 66 4

3 2 0 77 66 6 5x +4 0

8 0 3 2 0

0 1 3

h

0 0 1

i

3 77 5u

1

x

2 3 C 6 7 Mo = 64 CA 75

C= CA = h

0 0 1

2 i 6 6 4

3 2 7 66 67 54

h

0 0 1

8 0 3

2 0

2 0

CA2 =

0 0 1

2 i 68 6 42

3 7 h 67 5=

8 0 3 0 1 3

h

CA2

i

0 3 0 6

3 77 h 5=

0 1 3

i

0 1 3

2 3 15

i

0 1 3

h

0 0 1

2 i 68 6 42

0 3 0 6

3 77 h 5=

0 1 3

2 0 66 Mo = 4 0

0

1

1

3

3 77 5

2 3 15 El sistema es de rango 3; por lo tanto es observable.

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2 3 15

i

2.2 2.2.- Observabilidad de sistemas.

151

Ejercicio 2.2 TAREA 12 OBSERVABILIDAD - 10 EJERCICIOS .- Determinar si los sigu-

ientes sistemas son observables.

1.-

2.-

2 6  x=6 4

1

3

13

5 12 8 15

y=

5 2 1

0

h

2 0 6  x=6 41

3.-

2 6  x=6 4

3

4.-

1 3 5

1

i

2 6  x=6 4

h

1

1

5

i

5.-

2 6  x=6 4

1 0 0

0

1

0

0

0

1

i

45 8 23 y=

h

x + [0] u

2 0 66 5 x +4 0

1 0 1

i

3 77 5u

1

x + [0] u

3 2 7 6 21 7 5 x + 64 8

22 18 14

h

2 3

3

0 1 0

3

y=

x + [0] u

2 7 7

10 21 2 7 12 7

y=

1

3

0

h

i

3 77 5u

8 7 6 0 7 15 75 x + 64 0 75 u 1 20

1

0 1

y=

2 0 66 5 x +4 1 3

6 7 7

0 0

3 7 75 u

1

x + [0] u

3 2 0 77 66 5 x +4 0 1

3 77 5u

x + [0] u

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152

2.- Controlabilidad y Observabilidad

6.-



x=

2 6 64

3

1

5

2

y= 7.-

2 0 66  x=4 7 3

y= 8.-

y=

2 6  x=6 4

10

0 1 1 1

1

12 16

h

h

2

8

10

0 0 1

i

1 1 1

25 1 17 5

h

5

3 21 6 7 6 0 7u x +4 5 1

x + [0] u

3 2 3 0 77 66 77 5 x +4 3 5 u i

1

x + [0] u

3 2 0 77 66 5x +4 0

14

7

1

y= 10.-

8

21

2 0 1 23 66  x = 4 1 10 2 3

9.-

h

10

3

2 7 7

i

1

x + [0] u

2 0 66 5 x +4 0 3

2 7 7 16

0 1 0

x + [0] u

2 3 2 2 16 2 0 66 77 66  x = 4 14 11 31 5 x + 4 0 3

y=

h

8

13

0 1

1

3 77 5u

1

18

i

3 77 5u

i

1

x + [0] u

ESIME Unidad Azcapotzalco Dr. César Torres Martínez

3 77 5u...