Práctica de Controlabilidad y Observabilidad PDF

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sistemas de control 2...

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Laboratorio N° 2: Controlabilidad OBJETIVO Conocer los comandos de Matlab para que junto con la teoría desarrollada en calase y las tareas realizadas en casa ayudar al alumno a que adquiera la competencia para determinar si los sistemas lineales en tiempo continuo son completamente Controlables, o si no lo son, determinar las variables de estado que si lo son.

MARCO TEORICO Dada la expresión de la solución completa de la ecuación de estado para sistemas lineales: t1

x ( t 1 )=Φ ( t 1 , t 0 ) x ( t0 ) +∫ Φ ( t 1 , τ ) B ( τ ) u ( τ ) dτ t0

si en esta expresión se fija x (t1 ) y x (t0 ) , ¿existe una entrada u(t) que soluciona esta ecuación? El estudio de controlabilidad determina si existe una entrada u(t) que haga que se cumpla la igualdad. Estudiar si existe esta entrada equivale a plantear si existe una entrada capaz de llevar el sistema desde el estado inicial cero hasta el estado: ^x ( t 1 )=x ( t 1) −Φ ( t 1 ,t 0 ) x(t 0 )

De forma que puede reducirse esta ecuación a: t1

^x ( t 1 )=∫ Φ ( t 1 , τ ) B ( τ ) u ( τ ) dτ t0

La controlabilidad de un sistema lineal depende de las matrices Φ ( t ,t 0 ) y B (t) independientemente del valor de x 0 , puesto que Φ ( t ,t 0 ) es función propia de A (t ) , la controlabilidad depende exclusivamente de A (t ) y B (t) , A ( t ), B ¿ utilizándose entonces la expresión para referirse a la controlabilidad de los par (t ¿ ) sistemas. El estudio de la controlabilidad de un sistema se basa en el siguiente teorema:

CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES INVARIANTES Sea el sistema en tiempo continuo ´x ( t ) = Ax ( t ) + Bu(t ) donde: x = vector de estados (vector de dimensión n) u = señal de control (escalar) 1

(1)

A = matriz de n x n B = matriz de n x 1 El sistema obtenido mediante la anterior es de estado controlable si y sólo si los vectores B , AB , A 2 B ,⋯ , A n−1 B son linealmente independientes, o la matriz

nxn

[B ⋮ AB ⋮ A 2 B ⋮⋯ ⋮ A n−1 B ] Es de rango n igual al rango de A Este resultado se extiende al caso en el que el vector de control u es un vector de dimensión r , se demuestra que la condición para controlabilidad completa del estado es que la matriz n x nr

[B ⋮ AB ⋮ A 2 B ⋮⋯ ⋮ A n−1 B ] Sea de rango n igual al rango de A, o que tenga independientes

n vectores columnas linealmente

Para determinar la matriz de controlabilidad utilizaremos el comando >>ctrb , este comando obtiene la matriz de controlabilidad

[B ⋮ AB ⋮ A 2 B ⋮⋯ ⋮ A n−1 B ] Se dice que un sistema descrito mediante la Ec. (1) es de estado controlable en t=t 0 si es posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito t 0 ≤ t ≤ t 1 . Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable. Para determinar el rango de una matriz utilizaremos el comando rank, ejemplo: >>rank(A) Ejemplo: >>Co=ctrb(A,B) donde Co = resultado de la matriz de controlabilidad A = matriz de n x n B = matriz de n x 1 Ejemplo: Obtenga la matriz de controlabilidad y determine si el sistema es de estado completamente controlable o no.

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´x1 0 1 0 0 ´x 2 0 0 1 0 = 0 0 0 1 ´x3 −72−124−52 −13 x´ 4

[][

[]

x1 x y= [72 66 20 2 ] 2 x3 x4

x1 0 x2 0 + u x3 0 x4 1

][ ] [ ]

Comprobación de la Controlabilidad del Estado utilizando su Matriz de Controlabilidad en Matlab: >> %Calculando la matriz de controlabilidad >> Co=ctrb(A,B) Co = 0 0 0 0 0 1 1 -13

0 1 1 -13 -13 117 117 -969

>> % Comprobando la controlabilidad >> rank(A) ans = 4 >> rank(Co) ans = 4 Como el rango de la matriz de controlabilidad es igual al de A , ran g o (C0 )=4 el sistema es de estado completamente controlable teniendo el sistema cuatro Variables de estado de las cuales las cuatro son controlables.

CONTROLABILIDAD DE LA SALIDA En el diseño práctico de un sistema de control, se puede necesitar controlar la salida en lugar del estado del sistema. Una controlabilidad completa del estado no es condición necesaria ni suficiente para controlar la salida del sistema. Por esta razón, es conveniente definir de forma independiente la controlabilidad completa de la salida. 3

Se define la controlabilidad de la salida en un intervalo de tiempo: Se dice que un punto del espacio de salida de un sistema, y 1 , es controlable en [t 0 , t 1] si existe una entrada u definida en el intervalo [t 0 , t 1] , tal que para todo punto de origen en t 0 consiga que la salida valga y 1 en t 1 . Para cualquier instante y para cualquier estado se define como: Se dice que un punto del espacio de salida de un sistema y 1 es controlable si para todo punto de origen y para todo instante inicial t 0 , existe una entrada u en el intervalo [t 0 , t 1] con t1 finito, que lleve la salida al valor y 1 en t 1 . Estos conceptos de controlabilidad de un punto en el espacio de salida se pueden extender a la controlabilidad de todo el espacio de salida.

Dado el sistema lineal e invariante: ´x ( t ) = Ax ( t ) + Bu(t )

(2)

y ( t )=Cx ( t)

la salida es controlable si y sólo si la matriz definida por: Q C =[ CB ⋮CAB ⋮ CA 2 B ⋮ ⋯⋮ CA n−1 B ] (3) es de rango p. NOTA: como Matlab no tienen comandos directos para calcular la controlabilidad de la salida calcularemos solo la controlabilidad de la salida de sistemas lineales invariantes calculando solo la matriz de controlabilidad de la salida Qc. Ejemplo: sea el sistema descrito por

[][

´x1 0 1 0 0 ´x 2 0 1 0 = 0 ´x3 0 0 0 1 −72 −124 −52 −13 x´ 4

][ ] [ ]

x1 0 x2 0 + u x3 0 x4 1

[]

x1 x y= [ 72 66 20 2 ] 2 x3 x4

Demuestre que la salida del sistema es controlable

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Comprobación de la Controlabilidad de la Salida utilizando su Matriz de Controlabilidad en Matlab: % Calculo de la matriz de controlabilidad de la salida >> Qc=[C*B C*A*B C*A*A*B C*A*A*A*B] Qc = 2 -6 40 -384 %Comprobación de la Controlabilidad de la salida >> rank(Qc) ans = 1 >> rank(C) ans = 1 El sistema tiene una salida completamente controlable, porque la matriz de Controlabilidad de la Salida tiene el mismo rango que C , rank(Qc)=1.

PRACTICA 1. Determine si los siguientes sistemas son: a. De estado completamente controlable. b. De salida completamente controlable c. Escriba el procedimiento que realizo para obtener los resultados. Defina claramente cuantas variables de estado tiene realmente el sistema, cuantas son controlables y cuantas observables. I.

[][

][ ] [ ]

x´ 1 0 1 0 x1 0 ´x 2 = 0 0 1 x2 + 0 u − 6 − 11 − 6 x3 1 x´ 3

[]

x1 y= [ 4 5 1] x2 x3 II.

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] x´ 1 2 0 0 x 1 01 u ´x 2 = 0 2 0 x 2 + 10 1 0 3 1 x 3 01 u 2 x´ 3

x y1 1 0 0 1 = x y2 0 1 0 2 x3

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III. x´ 1 −5 3 x 1 1 = + u ´x 2 −1 −1 x 2 1

[][

y= [ 1 0 ]

][ ] [ ]

[] x1 x2

IV. x´ 1 0 1 0 x1 0 ´x 2 = 0 0 1 x2 + 0 u −6 −11 −6 x 3 1 x´ 3

[][

][ ] [ ]

[]

x1 y= [ 20 9 1 ] x 2 x3 V.

[][

][ ] [ ]

x´ 1 0 1 0 x1 0 ´x 2 = −1 −1 1 x 2 + 0 u 1 0 0 x3 1 x´ 3

[]

x1 y= [ 0 0 1 ] x 2 x3

2. Realice un estudio de la teoría que se aplica en esta práctica y haga un informe detallado del procedimiento seguido en la práctica con su debida fundamentación matemática. 3. Explique cada comando utilizado en la práctica 4. Conclusiones y observaciones Profesor: M.Sc.Ing. Armando Cruz Ramírez

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Observabilidad OBJETIVO Conocer los comandos de Matlab para que junto con la teoría desarrollada en clase ayudar al alumno maestrista a que adquiera la competencia para determinar si los sistemas lineales en tiempo continuo son completamente Observables, o si no lo son, y determinar las variables de estado que si lo son.

MARCO TEORICO OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES La idea de la observabilidad se relaciona con la posibilidad de conocer el valor del estado de un sistema a partir del conocimiento de la evolución de la entrada y de la salida que genera. Una vez conocido el estado en un instante inicial, se puede determinar el estado en cualquier otro instante posterior utilizando la solución de la ecuación de estado. La observabilidad se presenta conceptualmente como una idea complementaria a la de controlabilidad; si la controlabilidad estudia la relación entrada-estado ahora en observabilidad se estudiara la relación estado-salida.

Concepto de Observabilidad En general es necesario conocer la evolución de la salida en un intervalo de tiempo para poder calcular el estado del sistema. Este problema de la observabilidad se resuelve mediante el siguiente teorema: Dado un sistema definido por las ecuaciones: ´x ( t ) = A ( t ) x ( t )+B (t ) u(t) y ( t )=C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u(t )

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(1)

OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES INVARIANTES Dado un sistema de dimensión n definido por las ecuaciones: ´x ( t ) = Ax( t ) + Bu(t ) y ( t )=Cx ( t) + Du(t) es observable si y sólo si la matriz de observabilidad Ob definida por:

[ ]

C CA O b= C A2 ⋮ n−1 CA (3) es de rango máximo, es decir,

n .

Ejemplo: Demuestre que el siguiente sistema es observable.

[][

´x1 0 1 0 0 ´x 2 0 1 0 = 0 0 0 0 1 ´x3 −72 −124 −52 −13 x´ 4

][ ] [ ]

x1 0 x2 0 + u x3 0 x4 1

[]

x1 x y= [ 72 66 20 2 ] 2 x3 x4

Comprobación de la Observabilidad utilizando su Matriz de Observabilidad en Matlab: %Calculando la Matriz de Observabilidad >> Ob=obsv(A,C) Ob = 72 66 20 2 -144 -176 -38 -6 432 600 136 40 -2880 -4528 -1480 -384 >> rank(A) ans = 4 >> rank(Ob) ans = 4 8

(2)

Observando los resultados de Matlab podemos darnos cuenta de que la Matriz de Observabilidad es la matriz Ob y que el rango de esta matriz es 4 o sea el mismo de A por lo tanto el sistema es completamente observable teniendo cuatro variables de estado las cuales son observables.

PRACTICA 1. Determine si los siguientes sistemas son: a. De estado completamente observable. b. Escriba el procedimiento que realizo para obtener los resultados. Defina claramente cuantas variables de estado tiene realmente el sistema, cuantas son controlables y cuantas observables.

I.

[][

][ ] [ ]

x´ 1 0 1 0 x1 0 ´x 2 = 0 0 1 x2 + 0 u −6 −11 −6 x 3 1 x´ 3

[]

x1 y= [ 4 5 1] x2 x3 II.

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] x´ 1 2 0 0 x 1 01 u ´x 2 = 0 2 0 x 2 + 10 1 u 0 3 1 x 3 01 2 x´ 3

x y1 1 0 0 1 = x y2 0 1 0 2 x3

III. x´ 1 −5 3 x 1 1 = + u ´x 2 −1 −1 x 2 1

[][

y= [ 1 0 ]

][ ] [ ]

[] x1 x2

IV. x´ 1 0 1 0 x1 0 ´x 2 = 0 0 1 x2 + 0 u −6 −11 −6 x 3 1 x´ 3

[][

][ ] [ ]

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x1 y= [ 20 9 1 ] x 2 x3

[]

V.

[][

][ ] [ ]

x´ 1 0 1 0 x1 0 = ´x 2 −1 −1 1 x 2 + 0 u 1 0 0 x3 1 x´ 3

[]

x1 y= [ 0 0 1 ] x 2 x3 2. Explique la teoría que ha utilizado y haga un informe detallado del procedimiento seguido en la práctica con su debida fundamentación matemática. 3. Explique cada comando utilizado en la práctica 4. Conclusiones y observaciones

Profesor: M.Sc. Ing. Armando Cruz Ramírez

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