Optimitzacio Aplicacio Derivades per 2n de batzilleart i per la selectividad que PDF

Preview

Summary

són exericis per fer d'optimització per practircar sobreto cara la selctivatitat de l¡any que ve , espero que totom tinfui una bona asort i es treguir tota la nota pssbile jajnfajnfoaejoejoa sorbetot amb el que teimd edeiejdijeidiejidjiejieifjiejifiejfiejijeifieiee erfiriemotles edades...

Description

Aplicacions de les derivades Aplicacions geomètriques i càlcul de funcions amb condicions 1. Trobeu “a” perque el gràfic de la funció

f ( x)  x 4  ax 3  12 x 2  25 x  6 tingui

un punt

d’inflexió a x = -2. Té més punts d’inflexió aquest gràfic?. R: a = 2, x = 1 2. Calcula a, b i c perquè la funció y = ax 4 + bx2 + c tingui un màxim a (0, 4) i un punt d’inflexió per a x = 1. 3. Determina els coeficients a i b de la funció

f (x )  x 3  ax 2  bx ,

sabent que té un punt

d’inflexió en x = 1, i que la recta tangent al gràfic de la funció en aquest mateix punt és horitzontal. 4. Donada la funció

f ( x ) ax 3  bx 2  cx ,

determina quins són els coeficients a, b i c per tal

que aquesta funció tingui un màxim relatiu en x = 0, un mínim relatiu en x = 1 i que passi pel punt P(1, -1/2) 5. Considereu la funció:

f ( x)  x 3  3 x 2  2 x  2

a. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d’abscissa x = 3. b. Existeix alguna altra recta tangent a la gràfica de f(x) que sigui paral·lela a la que heu trobat?. Raoneu la resposta i, en cas afirmatiu, trobeu-ne l’equació. R: y = 11x – 25; Sí, x = -1, y = 11x + 7 6. Considereu la funció:

f ( x) 1 

a 6  x x2

on a és un paràmetre.

Calculeu el valor del paràmetre a sabent que f(x) té un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 3. Aquest extrem relatiu, es tracta d’un màxim o d’un mínim?. Raoneu la resposta. R: a = -4; mínim 7. El consum d’un cotxe depen de la seva velocitat v (expressada en km/h) segons la funció:

f ( v) 

3e 0,012 v v

(en litres/km).

Quina és la velocitat més econòmica?. R: 83,3 km/h 8. Trobeu un polinomi de grau 3 que tingui un mínim relatiu en (1, 1) i un punt d’inflexió en (0, 3). R: x3 - 3x + 3

Problemes d’optimització L’estudi de màxims i mínims permet resoldre determinats problemes on es tracta de fer màxima o mínima una variable (y = f(x)) que és funció d’altres variables (x). Derivant la funció “y” (a vegades cal fer-ho de forma implícita) i estudiant el signe de la derivada s’assoleix el resultat.

Passos per a la resolució de problemes d’optimització 1. Es planteja la funció que hi ha que maximitzar o minimitzar. 2. Es planteja una equació que relacioni les diferents variables del problema, en el cas que hi hagi més d’una variable. 3. S’aïlla una variable de l’equació i es substitueix en la funció, de manera que ens quedi una única variable. 4. Es deriva la funció i s’iguala a zero, per a trobar els extrems locals. 5. Es fa la segona derivada per a comprovar el resultat.

“Recorda”

Com que els problemes d’optimització fan referència sovint a qüestions de geometria clàssica, pot ser útil recordar: Àrees de figures planes. Àrees i volums de cossos geomètrics. Llocs geomètrics (Corresponen a l’equació que verifiquen les coordenades dels punts que pertanyen al lloc geomètric).

Exercicis

1. Trobeu dos nombres tal que el doble del primer més el triple del segon valgui 12 i que el seu producte màxim. R: 2 i 3. 2. Disposem d’un filferro d’1 m de llargària. De quina manera s’haurà de repartir per tal de construir una circumferència i un quadrat de manera que la suma de l’àrea del cercle que determina la circumferència i l’àrea del quadrat sigui mínima. R: c = 0,14 m 3. D’entre els rectangles de perímetre 16 cm, trobeu les dimensions del de major àrea. R: 4 cm 4. D’entre els cilindres rectes de volun 4  cm3 trobeu el de menor àrea total. R= Radi altura

3

3

2

,

4 4

5. S’ha de construir un gran dipòsit cilíndric de 81  m3 de volum. La superfície lateral ha de ser construïda amb material que costa 30€/m2, i les dues bases amb un material que costa 45 €/m2. a. Determina la relació que hi ha entre el radi, r, de les dues bases circulars i l’altura h, del cilindre, i dóna el cost, C(r) del material necessari per construir aquest dipòsit en funció de r. b. Quines dimensions (radi i altura) ha de tenir el dipòsit perquè els cost dels materials necessaris per construir-lo sigui el mínim possible?. c. Quin serà, en aquest cas, el cost del material? R: r = 3 m 6. Suposem que el Sol es troba a l’origen d’un sistema de coordenades i que un cometa següeix una trajectòria donada per la paràbola

y 1  x2 .

Quin és el punt en què el cometa es troba més proper del Sol?. Quant val, en aquest cas, la distància del Sol al cometa?. Hi ha algun punt en el qual el cometa es trobi a distància màxima del Sol?. Hi ha algun punt en el qual la distància entre el Sol i el cometa sigui un màxim local o relatiu?. R: punts crítics en x = 0, x =



1 2

7. Considereu els rectangles del pla A, B, C i D dels quals es compleixen les condicions següents: a. A és l’origen de coordenades; b. B és a sobre del semieix de les y>0; c. C és a sobre de dels semieix de les x>0; d. D és a sobre de l’equació 2x + y = 1. D’entre tots aquests rectangles, trobeu el que té àrea màxima. 8. Volem construir una capsa (sense tapa), a partir d’un cartro quadrat de 60 cm de costat al que retallarem quatre quadrats a les cantonades. Troba les dimensions d’aquests quadrats per què el volum de la capsa sigui màxim. R = 10 cm 9. Un magatzem té forma de prisma recte de base quadrada i volum 768 m 3. Se sap que la pèrdua de calor a través de les parets laterals val 100 unitats per m 2, mentre que a través del sostre és de 300 unitats per m2. La pèrdua a través del terra és molt petita i por considerar-se nul·la. Calculeu les dimensions del magatzem perquè la pèrdua de calor total sigui mínima. R: 8 m i 12 m. 10. Un full de paper ha de tenir 18 cm 2 de text imprès. Els marges superior i inferior han de tenir 2cm cada un i els marges laterals 1cm cada un. Troba les dimensions del full per a que la despesa de paper sigui mínima. R: 10 i 5cm. 11. D’entre tots els rectangles de perímetre 12cm, quin és el que té la diagonal menor?....