Oszillatoren (Von allem etwas) PDF

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Summary

Hauptsächlich Schwingungen halt ...

Description

Erzwungene Schwingungen Getriebener, gedämpfter harmonischer Oszillator

Reibung

"Antriebsmotor"

Bewegungsgl.:

Reibung

Ziel:

Eigenfrequenz

Lösung v. (1.1) für beliebige Antriebsfunktion f(t)!

Qualitatives Verständnis der Lösung.

Periodischer Antrieb: Betrachte:

Bewegungsgl. (1.1):

[alle Größen in dieser Gl. sind reell] Lösungsweg: komplexe Version des Antriebs

Ansatz: betrachte

gesuchte Funktion:

Allg. Form der Lösung: Allgemeine Lösung d. homogenen DG (mit f = 0) Partikuläre (irgendeine Lösung) v. (2)

"Antriebskraft"

Partikuläre Lösung von (2.3): Nicht-homogene DG:

Ansatz:

(7.1) eingesetzt in (2.3) :

"Dynamische Suszeptibilität":

"statische Susz."

Reaktion

Suszeptibilität

äußere Störung

Auslenkung Antrieb

Eigenschaften d. Suszeptibilität:

Höhe prop. zu

Betrag:

Breite prop. zu

Resonanz-Frequenz: wo Nenner = minimal:

Bei

:

kleine

kraft

große Reaktion

Phasenverschiebung gleichläufige Antwort gegenläufige Antwort

Allgemeiner Antrieb:

beliebige Funktion f(t):

Betrachte:

fourier-transformierte Fourier-Ansatz für Antrieb:

Physiker-Konvention

Fourier-Ansatz für Lösung:

(3) in (2):

hängt nicht von t ab! gilt für beliebige t:

Dynamische Suszeptibilität:

eingesetzt in (2), liefert gesuchte Lösung

Auslenkung

Antrieb

Einschub:

δ-Delta-Funktion

Definierende Eigenschaft v. δ-Funktion:

Eine mögliche Darstellung, Lorentz-Funktion:

Fläche

Normierung: Dämpfungsfaktor

Integraldarstellung Betrachte:

Ende Einschub

Antwort auf eine δ-Kraft: Erwartete Lösung (qualitativ, für

):

[Allgemeine Fourier-Rücktransf.]

Fourier-Transf. des Antriebs:

Eingesetzt in (7.5)

mit Wurzeln:

Check:

mit

Lösung:

Integral lösen (mittels Bronstein, oder Konturintegration):

für

für für

:

Skizze auf Seite 10 Fazit:

(7.1), mit Antrieb (9.1):

für

hat die Lösung (für ):

für

Antwort auf δ-Kraft wird "Greensche Funktion" genannt. Sie ist sehr nützlich! z.B., liefert formalen Ausdruck für Antwort auf beliebigen Antrieb:

Greensche Funktionen (GF) :

Ergänzende Bemerkungen

Betrachte die inhomogene Differenzialgleichung,

Differentialoperator

Satz:

Sei

und (

vorgegebene Funktion ("Inhomogener Term") gesuchte Funktion

eine Lösung der homogenen Gleichung

eine Lösung der Gleichung wird die "Greensche Funktion von

" genannt).

Dirac-δ-Funktion

Dann kann die allgemeine Lösung von (1) wie folgt geschrieben werden:

"Beweis": beachte die große Allgemeinheit: sind beliebig!

Bemerkungen:

Sinn und Zweck von GF ist also: nützlich bei der Konstruktion allgemeiner Lösungen von inhomogenen Differentialgleichungen. Die Form der Greenschen Funktion wird über die definierende Gleichung (11.3) durch den Differentialoperator und die Angabe von "Randbedingungen" bestimmt.

zwei beliebte Randbedingungen sind "

" Greensche F. :

"

" Greensche F. :

für für

(für T1 relevant) (nur für fortgeschrittene Anwendungen)

Alternative Bestimmung d. Greenschen Funktion für gedämpften HO: Definierende Gl.:

Ansatz:

Partielle Integration

ist gewährleistet, wenn wir fordern: Homogene DG für g:

Anfangsbedingungen für g:

Lösung:

Zusammenfassung: erzwungene Schwingungen Bewegungsgl.:

Komplexer Ansatz:

Allg. Form der Lösung:

Homogene Lösung fällt exponentiell ab:

Partikuläre Lösung: (fällt nicht ab!)

"Dynamische Suszeptibilität":

für

Zusammenfassung: Greensche Funktionen Differentialgleichung: Homogene Lösung sei:

Allgemeine Lösung:

Greensche Funktion erfüllt:

Ansatz:

wobei

Greensche Funktion für unterdämpften HO:...