Paso 6 Derivadas-Grupo 10 cálculo diferencial PDF

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Realización paso a paso de las derivadas mediante la preparación...

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Paso 6 Actividad de las aplicaciones de la derivada

Presentado Por: Mauricio Rico García Cristian Felipe Tuberquia Pedro Luis Villarreal Luisa María Villarreal Angie Paola Monsalve Ruiz

Grupo: 551109-10

Presentado A: Jaime Julio Buelvas

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCCIÓN (ECEDU) NOVIEMBRE 2021

Introducción La presente actividad planteada en la tarea 5 tiene como finalidad, identificar la simbología, definición y propiedades de las funciones dentro del cálculo diferencial, manejar a nivel operacional las reglas de derivación de una función, comprender la interpretación geométrica de la derivada. Para ello, encontraremos dentro del presente trabajo, la resolución a una serie de ejercicios a modo colaborativo.

.

Desarrollo de la actividad Sec. 3.7. Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales, Pág. 233: 15, 27, 31. Objetivo: encontrar la razón de aumento del área superficial. Fundamentos: cálculo de áreas sombreadas. Problema 15: Se está inflando un globo esférico. Encuentre la razón de aumento del área superficial (� = 4� �2) respecto al radio r, cuando éste es de a) 1 pie, b) 2pies y c) 3 pies. ¿A qué conclusiones llega? Desarrollo: Se encuéntrala relación de la derivada con el cambio

Con podemos sacar el radio por cada pie.  �´(1) = 8�(1) = 8� Por lo cual observamos que se mantiene el resultado en el primer radio ahora realizamos lo mismo, pero en vez del 1 en el paréntesis colocamos 2 y 3. 



Teniendo en cuenta los 3 resultados podemos identificar que mientras el radio sea mayor cantidad del radio así mismo se verá aumentado en la superficie. Objetivo: Utilizar la regla de las razones de cambio para la solución del problema Fundamentos y estrategia a emplear: En este caso se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero. Problema 27:

a. Estime la tasa de crecimiento poblacional entre 1920 y 1980 mediante el promedio

de las pendientes de dos rectas secantes Para este ejercicio utilizamos las rectas secantes desde 1920 a 1930

Y= Población X= años

Hallamos mediante ecuación, =21 Por lo tanto tenemos que: =1860 =1930 =11 De acuerdo a los datos obtenidos anteriormente, hallamos el promedio secante, se suma y s divide entre el resultado de ambos, lo que nos da un resultado es

=16 Y finalmente para hallar el crecimiento en el año 1980 hacemos el procedimiento anterior

Hallamos mediante ecuación,

=83 Por lo tanto tenemos que: =4450 =1980 =74 Por lo tanto

=78.5 Respuesta. La tasa de crecimiento en 1980 es de 78,5 millones al año. b. Grafica

Según la gráfica obtenemos los siguientes datos:

A=0,00129371 B=0.312704 C= 0.414918 D= 1688,11 c. Utilice el modelo del inciso b para encontrar el modelo de la tasa de crecimiento de

la población en el siglo XX Utilizamos la función cubica en años y en personas para de esa manera obtener la ecuación de tercer grado y hallar los valores que se requiere

d. Utilice el modelo del inciso c para encontrar las tasas de crecimiento en 1920 y

1980, comparar con las estimaciones del inciso a Reemplazamos la ecuación c y reemplazamos t por el año 1920 y luego lo mismo con el año 1980

Respuesta: con relación al literal a la tasa de crecimiento es menor entre los años 1920 y 1980 e. Estime la tasa de crecimiento en 1985

Objetivo: Utilizar la regla de las razones de cambio para la solución del problema Fundamentos y estrategia a emplear: En este caso se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la aplicación de una función de costo para observar la ganancia en un punto de cambio determinado de una producción X. Problema 31: El costo en dólares de producir x yardas de un determinado tejido es

a) Encuentre la función de costo marginal. b) Obtenga C’ (200) y explique su significado. ¿Qué predice? c) Compare C’ (200) con el costo de fabricar la yarda 201 de tela.

Solución a) Para obtener el costo marginal, se debe derivar dicha función:

b) De la función derivada del punto a), reemplazamos C´ (200), así:

Ahora, al ser C´(x) una función cuadrática, su gráfica da una parábola de forma horizontal, como el término que acompaña al término que se encuentra al cuadrado es positivo, da una figura con concavidad positiva, de esta forma, tenemos que el punto crítico a encontrar es un punto mínimo de la función. Para encontrar el punto mínimo, se debe hallar la derivada segunda de dicha función:

Reemplazando 200, tenemos

, al ser positiva la función es cóncava hacia arriba, y se encuentra acá su valor o punto mínimo. Finalmente, reemplazamos en la función inicial a 200, así:

Cuando se producen 200 yardas, su ingreso mínimo será de 3.600$. c) Primero encontramos el valor de 201, así:

Ahora, reemplazando valores en la siguiente ecuación, tenemos:

Sec. 3.8. Crecimiento y decaimiento exponenciales, Pág. 242: 2 3, 5, 11, 13. Objetivos. Resolver los problemas a través de la aplicación del crecimiento y decaimiento exponencial y sus aplicaciones anexas

Fundamentos y estrategias a emplear. Se debe establecer a través de la fórmula de crecimiento exponencial, plantear el ejercicio y a través de la aplicación resolverlo Problema 2: Un habitante común del intestino humano es la bacteria escherichia coli. Una célula de esta bacteria es un caldo nutriente, se divide en dos células cada 20 minutos, la población inicial de un cultivo es de 60 células a) Halle la tasa de crecimiento relativo b) Encuentre una expresión para el numero de células después de t horas c) Calcule el número de células después de 8 horas d) Establezca la tasa de crecimiento después de 8 horas e) ¿Cuándo alcanzara la población 20.000 células?

Objetivo: Aplicar el crecimiento exponencial para encontrar la expresión o la función que describa su comportamiento. Fundamentos y estrategias a emplear: Se requiere de conocimiento de ecuaciones que involucren derivadas, además de integración y propiedades de las funciones exponenciales. Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 células y crece en una cantidad proporcional a su tamaño. Después de 1 hora la población se ha incrementado a 420.

Solución a) Establezca una expresión para el número de bacterias después de t horas. Sea B la función que indica la cantidad en un tiempo t, t en horas. Luego, se tiene B(0) = 100 y

B(1)= 420. Además, como la cantidad es proporcional a su

tamaño, se tiene que:

Ahora hay que tener en cuenta las condiciones dadas:

b) Calcule el número de bacterias después de 3 horas. En este caso se tiene que t=3, luego,

c) Encuentre la tasa de crecimiento después de 3 horas. En este caso se halla la derivada de la función, y luego se evalúa en t=3, así:

d) ¿Cuándo alcanza la población 10000? En este caso se debe hallar el tiempo, para cuando B=10000.

Objetivo: dar solución a las 3 diferentes problemáticas. Fundamentos: modelo exponencial Problema: La tabla proporciona estimados de la población mundial, en millones, desde 1750 hasta el 2000.

a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de población para 1750y 1800 para predecir la población mundial en 1900 y en 1950. Compare con las cifras actuales. b) Utilice el modelo exponencial y las cifras de población para 1850 y 1900 para predecir la población mundial en 1950. Compare con la población actual. c) Emplee el modelo exponencial y las cifras de población en 1900 y 1950 para predecir la población mundial en el 2000. Compare con la población actual e intente explicar la discrepancia. Año

Población

Año

Población

1750

790

1900

1650

1800

980

1950

2560

1850

1260

2000

6080

Solución:

a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de población para 1750 y 1800 para predecir la población mundial en 1900 y en 1950. Compare con las cifras actuales

Función:

Al 1900 ha transcurrido un tiempo de 150 años, para esto aplicamos el valor de t (t=150), de lo cual obtenemos: (150) = 790e0.0043103925(150) = 1508,07 ≅ 1508 El dato se parece a las tablas in embargo, si tomamos 1950 nos daría

b) Utilice el modelo exponencial y las cifras de población para 1850 y 1900 para predecir la población mundial en 1950. Compare con la población actual.

Tomamos en cuenta que han pasado 150 años.

En la ecuación nos daría. (

Para 1950 habrán pasado 100 años, así que nos daría un dato parecido al valor de la tabla.

c) Emplee el modelo exponencial y las cifras de población en 1900 y 1950 para predecir la población mundial en el 2000. Compare con la población actual e intente explicar la discrepancia. Año

Población

Año

Población

1750

790

1900

1650

1800

980

1950

2560

1850

1260

2000

6080

Realizando la función nos da (�) = 1650���,

Pero tomamos p(50)=2.560 para reemplazar: a lo cual pasamos el 1650 a dividir

� = 0.0087846394 la función es: (�) = 1650�0.0087846394�:

tomando la cantidad de tiempo entre la fecha nos daría ese resultado, para así saber que el dato no se acerca al de la tabla. Objetivo: Utilizar el crecimiento y decaimiento exponenciales para la solución del problema Fundamentos y estrategia a emplear: Esta misma ecuación, que ha sido obtenida en una informa empírica, puede ser deducida de la siguiente manera: la tasa del cambio de una población es directamente proporcional a su tamaño, es decir, para poblaciones pequeñas habrá incrementos bajos, mientras que para población grandes serán mayores lo que se expresa así:

Se establece la igualdad si se multiplica el número de individuos por la tasa de crecimiento

k: Ejercicio 11: Los científicos pueden establecer la edad de objetos antiguos mediante el método de datación por radiocarbono. El bombardeo de la atmosfera superior por los rayos cosméticos convierte al nitrógeno en un isotopo radiactivo de carbono c14 con un tiempo de vida mediante aproximado de 5730 años. La vegetación absorbe dióxido de carbono a través de la atmosfera y la vida animal asimila a través de la cadena alimenticia cuando una planta o un animal mueren se detiene la sustitución de carbono y la cantidad de c14, inicia su disminución a través de la desintegración radiactiva. En consecuencia, el nivel de radioactividad decae de manera exponencial. En un fragmento de pergamino se descubrió que había aproximadamente sesenta y cuatro por ciento de tanta radiactividad c 14 como el material con el que se hace el pergamino que hay sobre la tierra hoy en día. Estime la edad del pergamino. Para la resolución del ejercicio tenemos los siguientes datos:

Q=material radiactivo

T= Tiempo T= 5730 de tempo de vida K= constante de desintegración Q0=cantidad inicial de c14 en t =0 Por lo tanto, la formula nos queda

Según lo anterior debemos buscar la expresión o la formula para calcular a edad del pergamino, despejando los datos y las fórmulas

Después esta la expresión

Despejamos Q

Cuando entonces entonces , por lo tanto

Y finalmente Para hallar t =5730 debemos:

Remplazamos la expresión por

A lo que no queda

Despejamos K con el algoritmo natral de la siguiente expresión

Aplicamos y resolvemos con ley de logaritmos

Reemplazamos la expresión

Aplicamos el logaritmo natral y nos queda.

t

Respuesta final Objetivo: Utilizar la fórmula de enfriamiento de Newton para encontrar el crecimiento y decaimiento exponencial de problemas. Fundamentos y estrategia a emplear: El ejercicio corresponde al tema de crecimiento y decaimiento exponencial, para el cual se hace uso de la ley de enfriamiento de Newton, su fórmula es:

Temperatura luego de transcurrir t horas. Temperatura constante del ambiente. Temperatura inicial.

k= Tasa relativa. t= tiempo.

Ejercicio 13: De un horno se toma un pavo rostizado cuando su temperatura ha alcanzado 185°F y se coloca sobre una mesa en un espacio donde la temperatura es 75°F. a) Si la temperatura del pavo es 150°F después de media hora, ¿Cuál es la temperatura 45 minutos después? b) ¿Cuándo se enfriará el pavo a 100°F? Solución En primer momento, vamos a sustituir los datos del problema en la ecuación de enfriamiento de Newton

t = 30 minutos. Con esta información, y haciendo uso de la ecuación de enfriamiento, se busca el valor de la tasa relativa (k), así:

a) Ahora que se tiene k, se sustituye los valores para encontrar la temperatura final luego de 45 minutos, así:

La temperature del pavo después de 45 minutos será de aproximadamente 137°F.

b) Sustituimos en la ecuación para encontrar el tiempo t en que se va a tardar el pavo en llegar a los 100°F, así:

El pavo se enfriará a 100°F en aproximadamente 115,75 minutos. Sec. 3.9. Razones relacionadas, Pág. 248: 19 19. La altura de un triángulo se incrementa a razón de 1cm/min, mientras que el área del triángulo aumenta a razón de ¿Con que rapidez cambia la base del triangulo cuando la altura es de 10 cm y el área es de ?

Sec. 4.1. Valores máximos y mínimos, Pág. 281: 33, 55, 65, 70 FALTA 33 Problema 55: . Desarrollo: Teniendo en cuenta los datos reducimos de forma radical.

Ahora necesitamos despejar la t, por ello tomamos Pero como el resultado no está en el intervalo dado entonces no existe en el momento en que

Después tomamos pero -2 no se encuentra en el intervalo dado así que podemos deducir que tenemos

Con el resultado podemos concluir que: 2 es el máximo absoluto y el es el mínimo absoluto Objetivo: Utilizar los valores máximos y mínimos para la solución del problema Fundamentos y estrategia a emplear: Derivar la función, obteniendo f ’(x). Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 0.

Ejercicio 65: Encuentre loa valores máximo y mínimo absoluto de f sobre el intervalo dad a. Por medio del calculo encuentre los valores máximos y mínimo exacto

Para encnontrar los valores de x debemos:

Por lo tanto f(x) es 0 cuando tenemos

3 Por lo tanto

Lo anterior se hallo, dados los intervalos 1, -1 Seguidamente hallamos f(0)

Por lo tanto, el valor minimo absoluto es y el valor maximo absoluto es Sec. 4.2. Teorema del valor medio, Pág. 288: 3. Objetivos. Analizar la función f(x) de acuerdo al teorema de rolle en el intervalo dado Fundamentos y estrategias a emplear. Se debe estudiar la función en el intervalo cerrado y verificar las hipótesis de Rolle, para ello se grafica la función y luego se deriva, posteriormente cada uno de los valores se comparan en el intervalo abierto

1. Se verifica la continuidad de la función graficando en el programa geogebra. En este caso es continua en el rango estipulado 2. Para verificar si la función es derivable en un intervalo abierto, es decir primero se determina la derivada y posteriormente se reemplaza los dos valores del intervalo Determinar la derivada de la función, de acuerdo a la regla de la cadena y la potencia

Se procede a reemplazar los dos valores de ya que es un intervalo abierto

En este caso no es derivable debido a que las operaciones no se pueden realizar

Se realiza la raíz cuadrada y se multiplica

Aplicar la resta de fracciones

Es derivable en este punto abierto

Se aplica el punto 2 de la hipótesis, pero no es derivable cuando 3. Se reemplaza ahora el intervalo en la función para verificar si es igual a

Sec. 4.3. Cómo afecta la derivada la forma de una gráfica, Pág. 288: 33, 35. FALTA 33 Problema 35: Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan en un empate. Demuestre que en algún momento durante la carrera tienen la misma velocidad. [Sugerencia: considere/(0 = g(t) — h(t ), donde g y h son las funciones posición de los dos corredores.] tomamos las funciones de los corredores Comenzamos a plantear

obteniendo b el cual es el tiempo de finalización, aplicamos el teorema de valor medio, pero debemos tener un tiempo c. .

resultado Sec. 4.4. Formas indeterminadas y regla de L'Hopital, Pág. 307: 7, 11. Objetivo: Utilizar las Formas independientes y regla de L.Hospital para la solución del problema Fundamentos y estrategia a emplear: Si se sustituye usando las leyes de límites, se obtiene: Suponer que f y g son funciones diferenciables y ( ) ' g x ≠ 0 en un intervalo I que

contiene a a (excepto posiblemente en a). Suponer que Ejercicio 7: Dado x-x, nos queda Luego factorizamos Obtenemos. =

Objetivo: Utilizar las Formas independientes y regla de l´ Hospital para la solución del problema Fundamentos y estrategia a emplear: Si se sustituye usando las leyes de límites, se obtiene:

Ejercicio 11: Encuentre el límite. Utilice la regla de l´ hospital donde sea apropiado. Si existe un método más elemental, considere la posibilidad de usarlo. Si no aplica la regla de l´ hospital, explique por qué. 11) Solución Primero se evalúa el límite, reemplazando , así:

De esta forma, se observa que se da una indeterminación de la forma . Por lo que sugiere aplicar la regla de l´hospital , así:

Ahora se pasa a evaluar el límite del lado derecho, así:

Ahora para analizar el comportamiento de dicha tangente, podemos utilizar su gráfica y observar el comportamiento por el lado derecho de

En dicho grafico se observa que cuando x tiende a por la derecha, este tiende a . Por lo tanto, se puede decir que el límite queda así:

Sec. 4.5. Resumen de trazado de curvas, Pág. 317: 1, 19. Objetivos. Relacionar conceptos aprendidos en las anteriores actividades para la construcción de trazado de curva Fundamentos y estrategia a emplear. Se sigue el paso a paso de la guía para el trazado de las curvas: Dominio, Intersección, Simetría Asíntotas, Intervalos Creciente y decreciente, Valores Max y Min, concavidad inflexión -

Utilice la guía de esta sección para trazar cada una de las siguientes curvas

FALTA 19 Sec. 4.6. Graficación con cálculo y calculadoras, Pág. 324: 1 Objetivo: Utilizar la función calculo y calculadoras para la solución del problema Fundamentos y estrategia a emplear: El procedimiento, con pasos establecidos, mediante el cual, se puede llegar al resultado de una operación. Esto, a partir de determinados datos de los cuales puede, o no, conocerse su valor numérico Ejercicio 1:

Para solucionarlo debemos ememzar asi:

Por lo que nos queda

Sec. 4.7. Problemas de optimización, Pág. 331: 3, 9, 16, 48. Objetivo: encontrar los números positivos. Fundamentos: derivación y igualación a cero Problema: Encuentre dos números positivos cuya diferencia es 100 y cuyo producto es un mínimo Solución:

Estamos buscando dos números positivos cuya diferencia es 100 y cuyo producto es un mínimo. Teniendo en cuenta �, � � − � = 100 �í��� � = ��

Despejamos para tener variables y usamos la ecuación para sacar una segunda ecuación.

Derivamos e igualamos a cero:

Sacamos e...