Pauta Examen FMM 002 2009 - 01 PDF

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Universidad Andr ́es Bello Departamento de Matem ́aticasMATEMATICAS - FMM 002 ́1 erSemestre, 2009PAUTA EXAMENViernes 10 de Julio de 2009 Encuentre la soluci ́on de la siguiente inecuaci ́on: 5 ≤x 2 − 4 ≤ 12Sol:5 ≤x 2 − 4 ≤ 12 /+ 4⇔ 9 ≤x 2 ≤ 16 /√⇔ 3 ≤|x|≤ 4 ⇔|x|≤ 4 ∧|x|≥ 3⇔([− 4 ,4])∩([3,∞[∪]−∞,−3])...

Description

Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas

´ MATEMATICAS - FMM 002 1er Semestre, 2009

PAUTA EXAMEN Viernes 10 de Julio de 2009 1. Encuentre la soluci´on de la siguiente inecuaci´on: 5 ≤ x2 − 4 ≤ 12 Sol: √ 5 ≤ x2 − 4 ≤ 12 / + 4 ⇔ 9 ≤ x2 ≤ 16 / ⇔ 3 ≤ |x| ≤ 4 ⇔ |x| ≤ 4 ∧ |x| ≥ 3 ⇔ ([−4, 4]) ∩ ([3, ∞[∪] − ∞, −3]) ⇔ [−4, −3] ∪ [3, 4] 1.2 Ptos. 2. La relaci´on entre la temperatura del aire T ( en grados Farenheit ) y la altitud h ( en pies sobre el nivel del mar ) es aproximadamente lineal. Si la temperatura al nivel del mar es 60o F, un aumento de 5.000 pies en altitud baja la temperatura del aire a 10o F. (a) Encuentre la funci´on T = f(h), asociada al problema. Sol: Los puntos a considerar son de la forma (h, T ); es decir (0, 60); (5000, 10). De esta forma, la funci´on lineal a determinar es de la forma T = mh + n. Reemplazando los puntos se llega a: 60 = 0 + n → n = 60 ; 10 = 5000m + 60 → m = − Luego, la funci´on lineal es: T (h) = −

1 h 100

1 100

+ 60. 0.8 Ptos

(b) Utilizando la funci´on encontrada en la parte (a), determine la altitud para una temperatura del aire de 0o F. Sol: Basta reemplazar en la funci´on T = 0: 0=−

1 h + 60 → h = 6000 100

A una temperatura de 0o F, la altitud es de 6000 pies. 0.4 Ptos

3. Un medicamento se elimina del cuerpo a trav´es de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad A(t) que queda en el cuerpo t horas despu´es, est´a dada por A(t) = 10 · (0.8)t Para que el f´armaco haga efecto debe haber en el cuerpo por lo menos 2 mg. (a) Determine cu´ando quedan s´olo 2 mg. Sol: S´olo basta imponer que A(t) = 2: 2 = 10 · 0.8t ⇔

1 = 0.8t / ln 5

t · ln 0.8 = ln 0.2 ⇒ t =

ln 0.2 ≈ 7.21 ln 0.8

Para que queden s´olo 2 mg, deben transcurrir aproximadamente 7.21 horas. 0.6 Ptos (b) ¿Cu´al es la vida media del medicamento? Sol: Por condici´on de vida media, se impone: 5 = 10 · 0.8t ⇔ 0.8t = 0.5 ⇒ t =

ln 0.5 ≈ 3.10 ln 0.8

Luego, la vida media del medicamento es de aproximadamente 3.1 horas. 0.6 Ptos 4. Demuestre que la recta normal a la curva x3 + y3 − 6xy = 0, en el punto (3, 3) viene dada por y = x. Sol:

Utilizando derivada impl´ıcita, calculemos la pendiente de la recta tangente: 3x2 + 3y2 · y′ − 6(y + xy′ ) = 0 Evaluando en el punto (3, 3): 27 + 27y′ − 6(3 + 3y′ ) = 0 ⇒ y′ = −1 0.6 Ptos Luego, la pendiente de la recta normal es mn = 1, y utilizando el punto (3, 3), la ecuaci´on de la recta normal es de la forma y = x + n, donde n se obtiene a partir de 3 = 3 + n → n = 0. As´ı queda demostrado que la ecuaci´on de la recta normal es y = x. 0.6 Ptos

5. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como funci´on del tiempo t (en meses), viene dada por la expresi´on: f(t) =

10 ; 1 ≤ t ≤ 12 (t − 6)2 + 1

donde t = 1 corresponde al mes de Enero, y as´ı sucesivamente.

(a) Determine en qu´e mes se obtiene la cantidad m´axima de agua. Sol: Calculemos los valores cr´ıticos a partir de f ′ (t) = 0: f ′ (t) =

−10 · 2(t − 6) =0⇔t=6 ((t − 6)2 + 1)2

0.5 Ptos Claramente si t < 6 ⇒ f (t) > 0 y si t > 6 ⇒ f (t) < 0. Por tanto se concluye por el criterio de la primera derivada que si t = 6 se obtiene un m´ınimo; es decir, en el mes de Junio. 0.3 Ptos ′

′

(b) ¿ Cu´al es la cantidad m´axima de agua? Sol: La cantidad m´axima de agua viene dada por: f(6) =

10 = 10 0+1

La cantidad m´axima de agua es de 10 millones de litros. 0.4 Ptos 6. Calcule la siguiente primitiva: Z 

2 − 5ex + x2/5 − 1 x



dx

Sol: Integrando inmediatamente: Z 

2 − 5ex + x2/5 − 1 x



dx = 2 ln x − 5ex +

5 7/5 ·x −x+C 7 1.2 Ptos...