PD4 - AMGA - PD4 - AMGA 2020-1 PDF

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ESTUDIOSGENERALESCIENCIASPONTIFICIAUNIVERSIDADCATÓLICADEL PERÚÁlgebra Matricial y Geometría AnalíticaCuarta Práctica DirigidaSemestre Académico 2020 -Horario: Todos. Duración: 110 minutosIndicaciones: Se pueden usar apuntes de clase, libros, tablas, calculadora o computadora personal. Dados los vect...

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Álgebra Matricial y Geometría Analítica Cuarta Práctica Dirigida Semestre Académico 2020 -1

Horario: Todos.

Duración: 110 minutos

Indicaciones: • Se pueden usar apuntes de clase, libros, tablas, calculadora o computadora personal.

− − − − − − 1. Dados los vectores → u = (1; −1;2), → v = (2;1;2) y → w , siendo → w unitario y ortogonal a → u y→ v . Halle ¸ · − − − − − − − −v k2→ u − (→ u ·→ w)→ w + 10→ u ×→ a) → v . w · k→ £ ¤ − −v ) · (→ − − − − b) (→ u +→ u −→ v ) × (2→ u + 3→ v) .

2. En la figura, A(−1;1; −1), E(0;4;0) y G(−3;2;2) son vértices del paralelepípedo de bases ABCD − OEFG .

a) Halle las coordenadas de los otros vértices del paralelepípedo. b) Halle el volumen de la pirámide cuya base es el paralelogramo ABCD y cuyo vértice se encuentra en el interior del paralelogramo OEFG . −→ → − − − −−→ 3. Considere el paralelogramo ABCD y los vectores → u = AB y v = AD . Además, se cumple que −u − → − − − − − − − ||→ v || = ||→ u +→ v || y (→ u +→ v ) · (→ u −→ v ) = 0. a) Usando operaciones con vectores, demuestre que el paralelogramo ABC D es un cuadrado. b) Teniendo en cuenta el apartado a), con A = (1;2) y B = (4;6), halle las coordenadas de los vértices C y D. −−→ 4. Considere el trapecio ABCD con lados paralelos AD y BC . Si se cumple que AB = (2;3), A(−4; −2), −−→ 9 −−→ −−→AB = (3;1), BD es paralelo al vector (4; −1) y ProyAD 10 a) halle las coordenadas de los vértices B y D , p −−→ −−→ b) halle las coordenadas del vector BC , si se cumple que k BC k = 10, c) determine el área del trapecio ABC D. Página 1 de 2

 ½  x = −8 + 8t 2x + y = 3 . y = −1 + 4t, t ∈ R y L2 : 5. Considere el punto A(4; −1;5) y las rectas L1 :  z = 4 z = −1 + 5t a) Halle el punto de intersección de L1 y L2 .

b) Halle la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A y es perpendicular L1 y L2 . 6. Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifique sus respuestas. p 7 3 → − → − −v son vectores unitarios tales que ||→ − +→ − − , entonces || . v || = a) Si → u y→ u u − v || = 2 2

Ã→ → −! − a·b → → − → − → − → − → − −a 3 b) Si a y b son vectores en R no nulos y no pararlelos, entonces los vectores a × b y b − → ||− a ||2 son ortogonales.

c) Las rectas L1 : P = t(−1;2; −4), t ∈ R y L2 : P = (0;0;12) + s(3; −6;12), s ∈ R son iguales. San Miguel, 15 de junio de 2020.

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