Péndulo invertido - Trabajo final PDF

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Trabajo final...

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El péndulo invertido es un modelo muy empleado en docencia como ejemplo de sistema no lineal. Modificaciones o ampliaciones de este modelo se emplean en diferentes aplicaciones como modelado de cohetes o misiles, vehículos de dos ruedas como el Segway e incluso en robótica (manipuladores). En clase se han visto las ecuaciones dinámicas que modela un sistema de péndulo invertido, sin embargo, a este sistema le falta un elemento para modelar. Se pide: a) Implementar en SimMechanics el modelo de manera que se obtenga una entrada que sea la fuerza ejercida sobre el carro, y como salidas, la posición del carro y el ángulo del péndulo. Obtener la respuesta del ángulo del péndulo y la posición del carro para una fuerza F = 0 N y una posición inicial del péndulo de ϴ = 170 grados. Implementamos el modelo del péndulo invertido en SimMechanics con las condiciones propuestas:

Como respuesta de la posición del péndulo para una fuerza del valor de 0N, obtenemos:

Como respuesta de la posición del carro para una fuerza del valor de 0N, obtenemos:

A continuación, podemos ver un video con la simulación el movimiento: https://drive.google.com/file/d/1RjLlYDiuw7MbrUKCDfO5uOzZ3gB92ezE/view?usp=sharing

b) Analizar el comportamiento del péndulo. ¿Faltaría algún elemento físico por modelar? Faltaría por modelar el coeficiente de amortiguamiento o fricción viscosa del péndulo. Este factor hará que la simulación del péndulo sea más realista, ya que tendremos una oposición al movimiento del mismo haciendo que este se vaya frenando con el tiempo por sí solo.

c) Ajuste el coeficiente de amortiguamiento (fricción viscosa) del eje del péndulo a 0.01 Nm/rad/s. Ajustando el coeficiente de amortiguamiento del péndulo, obtenemos una respuesta de la posición del péndulo y de la posición del carro, respectivamente:

Como dijimos en el apartado anterior, podemos ver como la posición, tanto del carro como la del péndulo, al final va parándose. Esto es debido a la fricción viscosa, la cual ofrece una oposición al movimiento. A continuación, se ofrece un video de cómo se movería nuestro modelo: https://drive.google.com/file/d/1Hym8ZyC6UdOB58RFHqQuFz431BqSbYsY/view?usp= sharing

d) Ajustar un controlador PID para realizar el control del ángulo del péndulo, estableciendo como referencia que el ángulo se mantenga en equilibrio (ref = 180 grados) y partiendo de un ángulo inicial ϴ = 170 grados. El sistema deberá cumplir con una sobreoscilación menor del 20% y un tiempo de establecimiento (2%) menor de 800ms. La fuerza máxima que se podrá ejercer será de 100N. El modelo, con el PID implementado quedaría de la siguiente forma:

Se ha ajustado el PID con los siguientes valores: · Proportional (P): 34 · Integral (I): 50.3 · Derivative (D): 4.67 · Filter coefficient (N): 56 Obtenemos así la siguiente respuesta de la posición del péndulo:

Podemos ver que el tiempo de establecimiento pedido es el correcto, 550ms, menos que el requerido por el enunciado, 800ms. También cumplimos la condición de sobreoscilamiento, en el cual tenemos un 19.88%, menor al 20% pedido. En cuanto a la fuerza máxima que se podrá ejercer al carro, también podemos demostrar que alcanza el valor de 51.6N y que no supera los 100N máximos:

e) Comprobar la respuesta del sistema ante diferentes ángulos iniciales del péndulo, por ejemplo, ϴ = 170 grados, ϴ = 160 grados, ϴ = 150 grados, ϴ = 140 grados. ¿Se cumplen las restricciones anteriores para diferentes ángulos iniciales? ¿Por qué? Para la realización de este apartado, mantendremos los mismos valores del PID del apartado anterior y cambiaremos el ángulo en el que se encuentra el péndulo. Una vez cambiado ese dato, miraremos si las condiciones de la fuerza máxima ejercida, el tiempo de establecimiento y el sobreoscilamiento pedidos en el apartado anterior se cumplen. Para ϴ = 160 grados:

En la primera gráfica, la de la posición del péndulo, podemos observar que cumple con las condiciones del tiempo de establecimiento y el sobreoscilamiento. Sin embargo, en la segunda gráfica, la de la fuerza máxima aplicada, vemos que supera el valor permitido de 100N.

Para ϴ = 150 grados:

En este caso, en la gráfica de la posición del péndulo, podemos ver que se vuelven a cumplir las condiciones del tiempo de estimación y la sobreoscilación. En cuanto a la fuerza máxima aplicable, sigue sin cumplirse su condición.

Para ϴ = 140 grados:

En este caso, no se cumple la condición del tiempo de estimación ni la condición de la fuerza, la cual aumenta considerablemente con respecto a los 170 grados. Como conclusión podemos determinar que, para distintos valores del ángulo inicial del péndulo, no se cumplen una o varias restricciones del apartado anterior. Esto es debido a que al asignar unos parámetros específicos del PID para una diferencia entre la referencia y el ángulo inicial concreta, si esta aumenta, tardará mucho más tiempo en alcanzar el valor de referencia, aumentando así el valor de la fuerza aplicable al carro.

f) Ajustar los parámetros del PID para cada uno de los ángulos del apartado anterior y estime la fuerza máxima necesaria para cumplir con las restricciones temporales establecidas en el apartado d). En este apartado, modificaremos las ganancias del PID añadido en el apartado d) para que, al modificar el ángulo inicial con los valores dados en el apartado e), se cumplan las restricciones pedidas. Para ϴ = 160 grados: · Proportional (P): 20 · Integral (I): 5.56 · Derivative (D): 6.78 · Filter coefficient (N): 33

Con los nuevos valores para las ganancias del PID, podemos ver que se cumplen todas las condiciones propuestas teniendo, así, un 14.37% de sobreoscilación (menor que el 20%), un tiempo de establecimiento de 273ms (menor que 800ms) y una fuerza máxima aplicable de 85.1N (máximo 100N).

Para ϴ = 150 grados: · Proportional (P): 16 · Integral (I): 4 · Derivative (D): 6.78 · Filter coefficient (N): 20

En este caso, para estos nuevos valores de las ganancias para el PID obtenemos un 19.88% de sobreoscilación (menor que el 20% pedido), un tiempo de estimación de 385ms (menor que 800ms) y una fuerza máxima aplicable de 79.4N (máximo 100N).

Para ϴ = 140 grados: · Proportional (P): 21 · Integral (I): 3.5 · Derivative (D): 6.78 · Filter coefficient (N): 18

Cambiando una vez más los valores, obtenemos un 18.4% de sobreoscilación (menor que un 20%), un tiempo de estimación de 699ms (menor que 800ms) y una fuerza máxima aplicable de 99.9N (máximo 100N), por lo que también cumple con las especificaciones del apartado d).

g) Implementar un “PID Scheduling” o un “Controlador difuso” para aplicar los diferentes valores calculado. El alumno podrá elegir qué controlador emplear. Implementaremos un “PID Scheduling”. Para ello, cambiaremos la configuración del PID que tenemos haciendo que los datos de las ganancias se introduzcan desde fuera del PID a través de Lookup-table. Así:

Podremos comprobar que en el “PID Scheduling” se cumplen todas las condiciones mencionadas en el apartado d). Para ϴ = 170 grados:

Podemos ver que tenemos como tiempo de establecimiento 546ms, un 29.22% de sobreoscilación y una fuerza máxima aplicable de 51.6N. En este caso no se cumple el sobreoscilamiento porque Para ϴ = 160 grados:

En este caso tenemos un tiempo de establecimiento de 517ms, un 14.37% de sobreoscilación y una fuerza máxima aplicable de 85.1N. Para ϴ = 150 grados:

Para esta posición del péndulo obtenemos un tiempo de establecimiento de 324ms, una sobreoscilación de 4.74% y una fuerza de 79.4N.

Para ϴ = 140 grados:

Finalmente, obtenemos un tiempo de establecimiento de 478ms, una sobreoscilación de 2.68% y 99.9N de fuerza máxima aplicable. Como conclusión y usando los videos de las simulaciones del apartado para cada uno de los ángulos propuestos, podemos decir que cuanto menor es el ángulo de posición del eje del péndulo, mayor velocidad de desplazamiento obtiene el carro a la hora de moverse. Videos: · 170 grados: https://drive.google.com/file/d/1YqDQoDm1fL5oZrulBZtzuWVhNkGO3kB_/view?usp=sharing

· 160 grados: https://drive.google.com/file/d/1haGC0WLIbLqWnAjB9XALp7lb7DK6Nj8J/view?usp=sharing

· 150 grados: https://drive.google.com/file/d/1htagk4wqZIWRCsD_7V3YeGHNXi9qMqrO/view?usp=sharing

· 140 grados: https://drive.google.com/file/d/1McgQpUv79gAoHmwPMQqP8_D1ksPzrw2/view?usp=sharing

Estos videos simulan, además, el comportamiento del modelo en los apartados anteriores.

h) Modifique el esquema de control para hacer que el péndulo siempre permanezca en posición vertical y se pueda controlar la posición del carro. Es decir, ante una posición de referencia del carro, éste deberá ir a esa posición y mantener el péndulo vertical. Vuelva a calcular la fuerza máxima necesaria. Partiendo del PID implementado en el apartado f), añadimos un nuevo PID para el control de la posición del carro. En cuanto al PID del ángulo del péndulo, iremos cambiando sus valores, indicados en los apartados anteriores.

Para ϴ = 170 grados: · Proportional (P): 12 · Integral (I): 3.5 · Derivative (D): 5.2 · Filter coefficient (N): 50

1. Posición del péndulo:

2. Posición del carro:

3. Fuerza: la fuerza máxima será de 51.6N.

Para ϴ = 160 grados: · Proportional (P): 5 · Integral (I): 3.5 · Derivative (D): 5.5 · Filter coefficient (N): 50

1. Posición del péndulo:

2. Posición del carro:

3. Fuerza: la fuerza máxima será de 85.1N

Para ϴ = 150 grados: · Proportional (P): 5 · Integral (I): 4 · Derivative (D): 6 · Filter coefficient (N): 100

1. Posición del péndulo:

2. Posición del carro:

3. Fuerza: la fuerza máxima será de 80.4N

Para ϴ = 140 grados: · Proportional (P): 5 · Integral (I): 3.5 · Derivative (D): 5.2 · Filter coefficient (N): 50

1. Posición del péndulo:

2. Posición del carro:

3. Fuerza: la fuerza será de 99.9N.

Como extra, se añadirán a continuación unos videos de cada simulación: Para ϴ = 170 grados: https://drive.google.com/file/d/1R_HCmjNzXd-ccBacmtewUUQFqTqRXxt9/view?usp=sharing

Para ϴ = 160 grados: https://drive.google.com/file/d/19Zg7Y4MIZW7aHceq0TVj32efwZphJ4qF/view?usp=sharing

Para ϴ = 150 grados: https://drive.google.com/file/d/1XFKU6puxKeR9R0n9umjANT_W1k_eKEXR/view?usp=sharing

Para ϴ = 140 grados: https://drive.google.com/file/d/1YOO27u0xn98GclYetK9ofs6xHSO133AS/view?usp=sharing

i)

Supongamos que se va a desarrollar un prototipo de péndulo invertido como el que se muestra en la figura. Indique cuál debería ser el radio de las poleas, así como el par y velocidad máxima que debería proporcionar el motor.

Primero, partiendo del modelo en SimMechanics del apartado a), calcularemos la velocidad máxima a la que se moverá el carro. Como indicamos en el apartado g), cuanto menor sea el ángulo al que se encuentre el eje del péndulo, mayor velocidad tendrá el carro, calcularemos la velocidad a la que circulará el carro para un ángulo de 140 grados.

Así, la gráfica de la velocidad, nos mostrará la velocidad máxima a la que se mueve el carro:

Como podemos observar, la velocidad máxima será de 6.46m/s. Con esta velocidad, calculamos la velocidad angular. Para ello, elegiremos el valor del radio de las poleas. Siendo el radio de las poleas de r = 1cm, tenemos una velocidad angular: 𝑣 = 𝜔·𝑟 → 𝜔=

𝑟𝑎𝑑 𝑣 → 𝜔 = 6140.2 𝑟𝑝𝑚 → 𝜔 = 643 𝑟 𝑠

Finalmente, sabiendo que la fuerza máxima aplicable al carro cuando la posición del eje del péndulo está en 140 grados es de 99.9N, calcularemos el par máximo del motor: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 · 𝑟 → 𝜏 = 0.999𝑁𝑚 ⋍ 1𝑁𝑚

j)

Buscar en el mercado un motor que proporcione estas características.

Una vez calculadas la velocidad máxima y el par máxima del motor, buscaremos un motor que cumpla dichas características. Este motor podría ser el “A-max 19 Ø19 mm, Escobillas de metal precioso CLL, 2.5 Vatios, con terminales” del grupo “Maxongroup”.

Sus características son las siguientes:...