PH0301 - Chapitre 02 - Le théorème d\'Ampère PDF

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Cours de physique - Magnétostatie PH0301
Le théorème d'Ampère
FLUX DU CHAMP MAGNETIQUE, CIRCULATION DU CHAMP MAGNETIQUE...

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PH0301

Chapitre 2 : Théorème d’Ampère

Chapitre 2 : THEOREME D’AMPERE A. FLUX DU CHAMP MAGNETIQUE 1)

Conservation du flux magnétique

Considérons une surface (S) quelconque s’appuyant sur une courbe (C) fermée et orientée, c’est-àdire pour laquelle on peut définir localement un élément de surface 𝑑𝑆 = 𝑑𝑆𝑛󰇍, 𝑛󰇍 est un vecteur unitaire normal à la surface 𝑑𝑆 et orientée vers l’extérieur. dS Le flux du champ magnétique à travers la surface (S) est fermée vaut S = S1 + S2

󰇍 . 𝑑𝑆 = 0 𝜙𝐵󰇍 = ∯ 𝐵 𝑆

S1

󰇍 . 𝑑𝑆 = ≠ ∯𝐸 𝑆

S2

𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜀0

Cette loi est générale et reste variable même en régime variable.

2)

Ligne de champ

Définition : Une ligne de champs (ou ligne de force) d’un champ de vecteurs quelconques est une courbe C de l’espace telle qu’en chacun de ses points, le vecteur y soit tangent. 󰇍 ∧ 𝑑𝑙 = 󰇍0 𝐵 3)

Ligne de champ magnétique

La conservation du flux magnétique implique que les lignes de champ magnétique se referment sur elles-mêmes. Aimant

Fil infini

Solénoïde

Terre

Semestre 3

2014-2015

PH0301

Chapitre 2 : Théorème d’Ampère Le pôle nord géométrique est un pôle sud magnétique et vice versa.

B. CIRCULATION DU CHAMP MAGNETIQUE 1)

Circulation du champ autour d’un fil infini

Nous avons vu que le champ magnétique 𝐵󰇍 créé par un fil infini en un point 𝑀(𝜌, 𝜃, 𝑧) s’écrit en coordonnées cylindriques. 𝜇 𝐼 󰇍 = 0 𝑢𝜃 𝐵 2𝜋𝜌 Considérons maintenant une autre courbe fermée quelconque (C) qui fournit un déplacement élémentaire 𝑑𝑙 le long de cette courbe. En coordonnées cylindriques, 𝑑𝑙 = 𝑑𝜌𝑢 󰇍󰇍󰇍𝜌 + 𝑑𝜃𝑢 󰇍 󰇍󰇍𝜃 + 𝑑𝑧𝑢 󰇍󰇍󰇍. 𝑧 󰇍  La circulation de 𝐵 sur la courbe fermée C vaut alors 𝜇 𝐼 󰇍 . 𝑑𝑙 = ∮ 0 𝜌𝑑𝜃𝑢 󰇍󰇍󰇍. 󰇍󰇍󰇍𝜃 ∮𝐵 𝜃 𝑢 𝐶 𝐶 2𝜋𝜌 Donc 𝑑𝜃 󰇍. 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ∮ ∮𝐵 𝐶 2𝜋 𝐶 2 cas se présentent :  1er cas : si C n’enlace pas le fil ∮ 𝑑𝜃 = 0 ⟹ ∮ 𝐵󰇍. 𝑑𝑙 = 0 𝐶

𝐶

 2ème cas : si C enlace le fil une fois, deux fois, N fois 󰇍. 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝑁𝐼 ∮𝐵 𝐶

2)

Le théorème d’Ampère

󰇍 sur une courbe fermée est donc directement reliée au courant qui traverse la La circulation de 𝐵 surface délimitée par cette courbe. Théorème d’Ampère : 󰇍 . 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 ∮𝐵 𝐶

𝐼𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 = 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼2 = 𝐼1 Donc

I1

I2

C

󰇍 . 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼1 ∮𝐵 𝐶

Semestre 3

2014-2015

PH0301

Chapitre 2 : Théorème d’Ampère 3)

Calcul du champ magnétique

 Formule de Biot et Savart : 󰇍 créé par des petits éléments de circuits Il faut faire l’addition vectorielle de vecteurs 𝑑𝐵  Le théorème d’Ampère : 󰇍 sur un contour choisi et fermé, il y’a donc une Il faut être capable de calculer la circulation de 𝐵 symétrie relativement simple des courants. Exemple :

𝜋′ plan perpendiculaire au tableau et un plan d’antisymétrie 󰇍 𝐵 ∈ π′ C : contour fermé passant par M et centré sur le cercle infini.

I C ρ

xM

󰇍󰇍󰇍. 󰇍󰇍󰇍𝜃 ∮ 󰇍𝐵 . 𝑑𝑙 = ∮ 𝐵(𝜌)𝑢 𝜃 𝑑𝑙𝑢 𝐶

𝜋 I

𝐶

= 𝐵(𝜌) ∮ 𝑑𝑙 𝐶

= 𝐵(𝜌)2𝜋𝜌 = 𝜇0 𝐼 𝜇 𝐼 Donc 𝐵(𝜌) = 0 2𝜋𝜌

Semestre 3

2014-2015...