Physik- Quantenmechanik- SS21- Übungsblatt_04 PDF

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Physik- Quantenmechanik- SS21
Prof. Dr. Owe Philippsen...

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VTH4 Quantenmechanik - SS 2021 ¨ Organisation der Ubungen:

Prof. Dr. O. Philipsen

Andreas Halsch

Universit¨ at Frankfurt

[email protected]

04.05.2021

Blatt 4 Bitte laden Sie die L¨ osung dieses Blattes bis zum 11.05.2021 18 Uhr uber das Abgabe¨ tool auf der OLAT Kursseite zur Vorlesung hoch. ¨ ¨ Ubungsgruppe # (wobei # die NumDas Abgabetool finden Sie unter Kursinhalt/Ubungen/Abgabe¨ bungsgruppe bezeichnet), auch zu finden unter dem Link mer Ihrer jeweiligen U https://olat-ce.server.uni-frankfurt.de/olat/auth/RepositoryEntry/11327635464/ CourseNode/103409770339160 Bitte laden Sie die L¨ osung in einer einzigen, zusammenh¨ angenden, .pdf Datei hoch. Bitte laden Sie nur Ihre finale Abgabe hoch. Sie k¨ onnen hochgeladene Dateien nicht selbst¨ andig l¨ oschen. 11) Kontinuit¨ atsgleichung (2+4=6 Punkte)

(i) Zeigen Sie, dass die Lagrangefunktion 1 L(~r , ~r˙ ) = m~r˙ 2 − q 2

~r˙ ~ φ(~r , t) − · A(~ r , t) c

!

(1)

unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung die Lorentzkraft reproduziert. (ii) Berechnen Sie den zu ~r kanonisch konjugierten Impuls ~p und die Hamiltonfunktion H(~r, ~p). 12) Zeitentwicklung eines Wellenpakets (2+2+2=6 Punkte) ψ(x, t) sei die L¨osung der Schr¨ odingergleichung eines freien Teilchens der Masse m in einer Dimension. Zum Zeitpunkt t = 0 gelte  2 x ψ(x, 0) = A exp − 2 . a ˜ 0) der Funktion ψ(x, 0). (i) Berechnen Sie die Fouriertransformierte ψ(p, ˜ t) mittels der Schr¨ (ii) Berechnen Sie ψ(p, odingergleichung im Impulsraum, die lautet: i~

p2 ˜ ∂ ˜ ψ(p, t). ψ(p, t) = 2m ∂t

˜ t) zur¨ (iii) Transformieren Sie ψ(p, uck auf ψ(x, t). 13) Eindimensionale Energieeigenwertprobleme (2+2+2+4=10 Punkte) Man betrachte die Schr¨odingergleichung in einer Dimension mit beliebigem skalaren Potenzial V (x). (i) Zeigen Sie, dass das Eigenwertproblem f¨ ur den Fall gebundener Zust¨ande (d.h. es existiert eine normierbare Wellenfunktion ψn (x) zum Energieeigenwert En ) keine Entartung (mehrere linear unabh¨angige L¨osungen zum selben Eigenwert) zul¨ asst. Hierzu ist zu zeigen, dass die sogenannte

Wronski’sche Determinante W verschwindet, somit ψa und ψb linear abh¨angig sind, (Hinweis: dies ergibt sich aus der Schr¨odingergleichung und der Normierbarkeit).    ψa(x) ψb (x)  !   = 0. (2) W (ψa, ψb )(x) =  ′ ψ a(x) ψb′ (x) 

(ii) Zeigen Sie, dass bei symmetrischem Potenzial V (x) = V (−x) die Eigenfunktionen ψn (x) entweder symmetrisch (ψn (x) = ψn (−x)) oder antisymmetrisch (ψn (x) = −ψn (−x)) sein mussen. ¨ (iii) Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion stets reell gew¨ ahlt werden kann. Hinweis: betrachten Sie die komplex konjugierte Schr¨odingergleichung. (iv) Diskutieren sie das Energieeigenwertspektrum {En } f¨ ur den unendlich tiefen Potenzialtopf  ∞ |x| > a (3) V (x) = 0 |x| ≤ a unter Verwendung der Resultate aus (i)-(iii)....