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Polarización-La Ley de Malus Departamento de Física, Laboratorio Física II 11 de mayo 2020Resumen: En este experimento se determinó la relación que existe entre la fracción de la intensidad de luz polarizada que atraviesa un polarizador y el ángulo entre la orientación de polarización de esta y el e...

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Polarización-La Ley de Malus Departamento de Física, Laboratorio Física II 11 de mayo 2020

Resumen: En este experimento se determinó la relación que existe entre la fracción de la intensidad de luz polarizada que atraviesa un polarizador y el ángulo entre la orientación de polarización de esta y el eje de polarización del polarizador. Se utilizaron 6 simulaciones las cuales permitieron las visualizaciones experimentales con relación a la polarización por medio de las ondas electromagnéticas (EM). Además, las simulaciones permitieron la utilización de los siguientes instrumentos: un diodo láser, 2 polarizadores, un sensor de movimiento rotacional y un sensor de luz. Por medio de los datos experimentales y teóricos se obtuvo la relación de la función que describe la intensidad lumínica medida por el sensor de luz en función del ángulo .Los datos experimentales fueron obtenidos por medio de la gráfica ( intensidad lumínica (W/m^2) vs. angulo del eje analizador (°)). En cuanto a la parte teórica se descompusieron vectores del campo eléctrico ( 𝐸𝑥, 𝐸𝑦 ) por medio de una visualización frontal del analizador . Estos vectores luego se utilizaron para derivar las ecuaciones dadas por la intensidad de una onda (I) y su energía (U). Por consiguiente, con estos datos experimentales y teóricos se encontró que I = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃). En fin, por medio de esta ecuación se encontró que el comportamiento matemático entre la fracción de la intensidad de la luz polarizada que atraviesa un polarizador y el ángulo entre la orientación de polarización de ésta y el eje de polarización del polarizador es una función que relaciona al coseno al cuadrado, debido a que todos los número obtenidos de posición angular son positivos. Palabras Claves: intensidad lumínica; polarizador; ángulo; ondas EM; diodo láser; sensor; campo eléctrico; analizador; vector.

1. Introducción: La polarización es un fenómeno que le puede suceder a las ondas electromagnéticas, las cuales están compuestas por campos eléctricos y campos magnéticos, como la luz. La polarización electromagnética consiste en hacer que el campo eléctrico oscila sólo en un plano de polarización definido por un vector paralelo a la dirección de la propagación de la onda, y otro perpendicular a dicha dirección, que es el que indica la dirección del campo eléctrico [1].

Para comprender cómo la polarización altera una onda electromagnética, se necesita identificar qué factores caracterizan a la misma y cómo se relacionan entre sí. Por ejemplo, la energía de una onda electromagnética está descrita por la siguiente ecuación:

(1) E = hv

E

Energía de la onda

h

Constante de Planck (6.626 x 10−34J•s)

v

Frecuencia de la onda

La frecuencia de una onda es igual a la velocidad de la luz, dividida entre la longitud de la onda. (2) v =

v

𝑐 𝜆

Frecuencia de la onda 1

c

Velocidad de la luz (3.0 x m/s)

λ

Longitud de onda

Si unimos las dos ecuaciones anteriores, obtenemos la versión expandida de la fórmula de energía.

𝑐

(3) E = h

𝜆

Como el estudio de la polarización también involucra el análisis de la intensidad lumínica de una onda electromagnética en función del ángulo de algún polarizador respecto a otro, se debe establecer la relación entre estas variables considerando la fórmula general de intensidad de onda y la Ley de Malus.

La intensidad de una onda es igual a la potencia por unidad de área. Ya que la potencia es equivalente a la energía por unidad de tiempo, entonces se puede establecer que la ecuación para calcular la intensidad de una onda es igual a:

(4)

𝑃

𝑈

I = = 𝐴𝑡 𝐴

I

Intensidad de onda

P

Potencia

A

Área

U

Energía de la onda

t

Tiempo 2

Dentro de esta fórmula, la energía de la onda electromagnética se calcula utilizando la ecuación a continuación: (5) U =

1

Ɛ 𝐸 2 0

2

Energía de la onda

U

Ɛ0 E

Permitividad eléctrica Magnitud del campo eléctrico

La permitividad eléctrica es un valor determinado por la tendencia que presenta algún material a polarizarse cuando se le aplica un campo eléctrico. En otras palabras, la permitividad eléctrica es un valor constante que describe cuánto se afecta un material al ser sometido a un campo eléctrico. Su valor aproximado es 9.0 x 10−12𝐶 2 / (N ⋅ 𝑚2 ).

Además, cabe recalcar que cuando un haz de luz repercute en un polarizador ideal, o sea que lo hace sin defectos ópticos, la intensidad de la luz transmitida se puede calcular dividiendo la incidente por la mitad.

(6) I =

𝐼0 2

Por otra parte, la Ley de Malus nos permite relacionar la intensidad de la luz antes de pasar por un analizador, la intensidad de la luz resultante y el ángulo que forma el eje de transmisión del polarizador y el analizador [2].

(7) I = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠2 (𝜃) 3

Intensidad de luz transmitida

I

𝐼0 θ

Intensidad de luz incidente Ángulo entre plano de vibración y eje de transmisión

La importancia de este experimento está justificada por la relación matemática establecida en la Ley de Malus y en la investigación de la función que explica el comportamiento de intensidad lumínica respecto al ángulo entre el eje de polarización del polarizador y la orientación de la polarización de la luz que lo atraviesa.

2. Datos y Cómputos:

En este experimento se determinó la relación que existe entre la fracción de la intensidad de luz polarizada que atraviesa un polarizador y el ángulo entre la orientación de polarización de esta y el eje de polarización del polarizador. Se utilizaron 6 simulaciones las cuales permitieron las visualizaciones experimentales con relación a la polarización por medio de las ondas electromagnéticas (EM). Además, las simulaciones permitieron la utilización de los siguientes instrumentos: un diodo láser, 2 polarizadores, un sensor de movimiento rotacional y un sensor de luz. A continuación, se encuentran las dos partes que componen el experimento su parte experimental y teórica. Para la primera parte se encuentra la Tabla 1 y la Gráfica (1) en la que se relaciona Intensidad Lumínica (W/m^2) vs. Ángulo del eje Analizador (°). Esto se llevó a cabo para obtener la relación de la función que describe la intensidad lumínica medida por el sensor de luz en función del ángulo. Para la segunda parte se encuentran las Tabla 2 y las Figuras 1, 2, 3, y 4 las cuales se utilizan para poder describir el comportamiento matemático

4

entre la fracción de la intensidad de la luz polarizada que atraviesa un polarizador y el ángulo entre la orientación de polarización de ésta.

Parte I. Procedimiento Experimental con simulación de la Polarización de la luz por medio de la Ley de Malus.

Tabla 1. Datos de la Intensidad Lumínica (W/m^2) y el Ángulo del eje Analizador (°).

Ángulo del eje Analizador (°)

Intensidad Lumínica (W/m^2)

0

50.00

15

46.65

30

37.50

45

25.00

60

12.50

75

3.35

90

0.00

105

3.35

120

12.50

135

25.00

150

37.50

165

46.65

180

50.00

195

46.65

210

37.50 5

225

25.00

240

12.50

255

3.35

270

0.00

285

3.35

300

12.50

315

25.00

330

37.50

345

46.65

360

50.00

Gráfica 1. Intensidad Lumínica (W/m^2) vs. el Ángulo del eje Analizador (°)

6

Al analizar la gráfica se estableció que su forma es de función trigonométrica la cual tiene como forma matemática f(θ) = a* 𝑐𝑜𝑠 2 (θ) donde ‘a’ es una constante cuyo valor es igual a la intensidad lumínica máxima a = 50 W/m2. Se puede notar que la curva de la gráfica siempre es positiva para todo valor del ángulo por lo tanto, la mejor operación matemática que se puede aplicar a la función 𝑓(θ) para que siempre sea positiva es elevarla al cuadrado 𝑓 2 (θ).

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Parte II. Procedimiento Teórico por medio de la función matemática que describe la relación entre la intensidad y el ángulo de polarización. Figura 1. Vista Frontal del Analizador

Figura 2. Componentes paralelo al eje del analizador ( Ex = E cosθ ) y perpendicular a éste (Ey = E senθ)

8

Al analizar la imagen se encontró que de los componentes de E vectorial el componente Ex pasó a través del analizador. Tabla 2. Ecuaciones obtenidas para la Energía de la luz (U), la Intensidad de luz polarizada (I) que atravesó el analizador, y Intensidad de la luz Polarizada (I) entre el primer polarizador y el analizador ,

Ecuaciones para: Energía de la Luz (U)

Ecuación

1

U = Ɛ0 𝐸𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) 2 Intensidad de la luz Polarizada ( I ) que atravesó el analizador Intensidad de la luz Polarizada (I) entre el primer polarizador y el analizador

ɛ0 𝐸𝑐𝑜𝑠2 (𝜃) 𝐴𝑡

I=2

I = 𝐼0 (𝐸𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃))

Figura 3. Valor del ángulo θ cuando la intensidad de luz que atraviesa el analizador es máxima.

Figura 4. Valor del ángulo θ cuando la intensidad de luz que atraviesa el analizador es cero. 9

Al analizar ambas figuras se encontró que si los ejes de transmisión del analizador y el polarizador son paralelos la intensidad de la luz resultante será la misma que la intensidad de la luz antes de pasar por el analizador. Por el contrario, si son perpendiculares la intensidad resultante es 0, y no habrá luz transmitida por el analizador.

3. Análisis de Resultados: Al culminar el experimento “Polarización: La ley de Malus” se determinó varios factores interesantes sobre la intensidad de luz polarizada que atraviesa un polarizador y el ángulo entre la orientación de polarización de esta y el eje de polarización del polarizador. En primer lugar, se utilizó la simulación de la “Polarización de la luz: Ley de Malus” para obtener los datos del ángulo del eje analizador y la intensidad lumínica. Con estos valores obtenidos se pudo llevar cabo la Gráfica 1 que presenta la relación entre Intensidad Lumínica (W/m^2) vs. el Ángulo del eje Analizador (°) la cual al analizarse se estableció que su forma es de función trigonométrica la cual tiene como forma matemática f(θ) = a* 𝑐𝑜𝑠2 (θ) donde ‘a’ es una constante cuyo valor es igual a la intensidad lumínica máxima a = 50 W/m2. Se puede notar que la curva de la gráfica siempre es positiva para todo valor del ángulo por lo tanto, la mejor operación matemática que se puede aplicar a la función 𝑓(θ) para que siempre sea positiva es elevarla al cuadrado 𝑓 2 (θ). En segundo lugar, se llevó a cabo el procedimiento teórico el cual involucró sacar los componentes del vector E los cuales resultaron ser ( Ex = Ecosθ ) y perpendicular a éste (Ey=Esenθ). Al obtener estos resultados se encontró que una onda inicialmente no polarizada mediante la entrada de la misma 10

por un polarizador y un analizador, se forma un ángulo entre el eje de transmisión y la vertical como muestra la Figura 1. Al descomponer el vector E se demostró que Ex = (Ecos(θ)) es paralelo al eje de transmisión como se muestra en la Figura 2. Por otra parte, se pudo notar que la intensidad de la luz antes de pasar por el analizador es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico ( I α 𝐸 2 ). Por lo que es evidente que si los ejes de transmisión del analizador y el polarizador son paralelos (θ= 180°) se tiene que I = 𝐼0 , es decir que la intensidad de la luz resultante será la misma que la intensidad de la luz antes de pasar por el analizador como se muestra en la Figura 3, mientras que si son perpendiculares (θ = 90°), entonces la intensidad resultante es 0, y no habrá luz transmitida por el analizador como se muestra en la Figura 4. En fin, por medio de la utilización de las ecuaciones de la Energía de la luz (U), la Intensidad de luz polarizada (I) que atravesó el analizador, y la Intensidad de la luz Polarizada (I) entre el primer polarizador y el analizador de la Tabla 2 se pudo derivar la ecuación de la Ley de Malus ( I = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃).

4. Conclusión: En este experimento #11 de “Polarización - La Ley de Malus” se estudió el fenómeno que es la polarización y sus características. Se busco determinar la relación matemática que existe entre la fracción de la intensidad de luz polarizada que atraviesa un polarizador, el ángulo entre la orientación de polarización de esta y el eje de polarización del polarizador. Por medio de la simulación de la “Polarización de la luz: Ley de Malus” se intentó obtener los datos del ángulo del eje analizador y la intensidad lumínica. Al graficar los resultados su forma es de función trigonométrica f(θ) = a* 𝑐𝑜𝑠 2 (θ) donde ‘a’ es la intensidad lumínica máxima de 50 W/m2. Se descompusieron vectores del campo eléctrico ( 𝐸𝑥, 𝐸𝑦 ) por medio de una visualización frontal de un analizador, para buscar sus respectivos componentes los cuales resultaron ser Ex = Ecosθ y perpendicular a éste Ey=Esenθ. Por medio de esto se consiguió que una onda inicialmente no polarizada mediante la entrada de la misma por un polarizador y un analizador, se forma un ángulo entre el eje de transmisión y la vertical se consiguió que al descomponer el vector E se demostró que Ex = (Ecos(θ)) es paralelo al eje de transmisión y también se consiguió que la intensidad de la luz antes de pasar por el analizador es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico ( I α 𝐸 2 ). Por lo que es evidente que si los ejes de transmisión del analizador y el polarizador son 11

paralelos se tiene que I = 𝐼0 , mientras que si son perpendiculares (θ = 90°), entonces la intensidad resultante es 0, y no habrá luz transmitida por el analizador. En fin, por medio de la utilización de las ecuaciones de la Energía de la luz (U), la Intensidad de luz polarizada (I) que atravesó el analizador, y la Intensidad de la luz Polarizada (I) entre el primer polarizador y el analizador se pudo derivar la ecuación de la Ley de Malus ( I = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) cumpliendo así el objetivo de este experimento.

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5. Referencias : [1]

López, Marrero, Roura. Manual de Experimentos de Física II Electricidad,

Magnetismo, Óptica y Física Moderna. Wiley Custom Services 2008. p.153-161

[2]

Barbero, A. J. (n.d.). “Polarización Lineal”. Recuperado de

UCLM:

https://previa.uclm.es/profesorado/ajbarbero/CursoAB2007/Malus2003.pdf

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Preguntas Guías: Parte I. Procedimiento Experimental con simulación de la Polarización de la luz por medio de la Ley de Malus.

8. ¿Qué tipo de función puede describir mejor la forma de la gráfica? ● Trigonométrica 9. De acuerdo a su respuesta en la pregunta anterior, ¿Haga una predicción sobre la forma matemática de la función que mejor se ajustaría a la curva de la gráfica? ● 𝑓(θ) = a* cosθ 10. Note que la curva de la gráfica siempre es positiva para todo valor del ángulo θ . ¿Cuál es la mejor operación matemática que se puede aplicar a la función f(θ) para que siempre sea positiva? ● Elevarla al cuadrado 𝑓 2 (θ) 14

11. Grafique su función de predicción utilizando la calculadora gráfica:

12. ¿Se asemeja su predicción a la gráfica de Intensidad Lumínica vs. Ángulo del Eje del Analizador ? [ Sí ]

13. Si la respuesta de la pregunta anterior es Sí , escriba la función que describe el comportamiento de I vs. θ . ● (1) I = 𝑓(θ) = a * cosθ

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Parte II. Procedimiento Teórico por medio de la función matemática que describe la relación entre la intensidad y el ángulo de polarización.

1. Haga una descomposición del vector E en → sus componentes paralelo al eje del analizador ( Ex ) y perpendicular a éste ( Ey ). Dibuje los componentes del vector E en la Figura 5 .

2. Escriba los componentes en términos de la magnitud del vector de campo eléctrico ( E ) y el ángulo θ . ● Ex = Ecosθ ● Ey = Esenθ

3. ¿Cuál de los componentes de E pasará a través del analizador? ● Ex = Ecosθ 4. Escriba entonces la ecuación para la energía de la luz ( U ) que pasa a través del analizador usando la ecuación de energía y sus resultados de los pasos 1, 2 y 3.

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1

● U = Ɛ0 𝐸𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) 2

5. Escriba entonces la ecuación para la intensidad de la luz polarizada, que atravesó el analizador y que fue medida por el sensor. Sustituya el resultado del paso 4 en la ecuación (2).

●

ɛ0 𝐸𝑐𝑜𝑠2 (𝜃)

I=2

𝐴𝑡

Ahora definamos la intensidad de la luz entre el primer polarizador y el analizador como

2

ɛ0 𝐸𝑐𝑜𝑠2 (𝜃) . Por lo tanto, 𝐴𝑡 ● I = 𝐼0 (𝐸𝑐𝑜𝑠2 (𝜃))

6. ¿A cuál función de θ es proporcional la intensidad calculada en el paso 5? Escriba la relación de proporcionalidad: ●

(I α 𝐸 2 )

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7. ¿Cómo comparan los resultados del paso 5 y 6 con lo que obtuvo en el paso 13 de la parte experimental? ● Al comparar los resultados del paso 5 y 6 con lo que se obtuvo en el paso 13 fue distinta a como se obtuvo ya que una fue experimentalmente por medio de la simulación y graficando los valores de la relación entre la Intensidad Lumínica (W/m^2) y el Ángulo del eje Analizador (°)

y luego obteniendo la ecuación que describe el comportamiento

trigonométrico de la gráfica, Por otro lado, en el paso 5 y 6 se derivaron las ecuaciones a Energía de la luz (U), la Intensidad de luz polarizada (I) que atravesó el analizador, y Intensidad de la luz Polarizada (I) entre el primer polarizador y el analizador para así obtener la ecuación de la Ley de Malus. En fin, las ecuación obtenida por los resultados del paso 5 y 6 es similar a lo que se obtuvo en el paso 13 ya que ambas ecuación llegan a expresar la ley de malus, pero en el caso del paso 13 la 𝐼0 es expresada con la letra “a” una constante cuyo valor es igual a la intensidad lumínica máxima a = 50 W/m2.

8. ¿Para qué valores del ángulo θ la intensidad de luz que atraviesa el analizador es máxima? ¿Qué relación existe entre los ejes de transmisión del primer polarizador y el analizador cuando esto ocurre? ● Los valores del ángulo θ en el que la intensidad de luz que atraviesa el analizador es máxima son: 0°, 180°, 360฀.

La relación que existe entre los ejes de transmisión del

primer polarizador y el analizador cuando es que si los ejes de transmisión del analizador y el polarizador son paralelos (θ= 0°, 180°, 360฀) se tiene que I = 𝐼0 , es decir que la 18

intensidad de la luz resultante será la misma que la intensidad de la luz antes de pasar por el analizador como se muestra en la siguiente figura:

9. ¿Para qué valores del ángulo θ la intensidad de luz que atraviesa el analizador es cero? ¿Qué relación existe entre los ejes de transmisión del primer polarizador y el analizador cuando esto ocurre? ● Los valores del ángulo θ en la que intensidad de luz que atraviesa el analizador es cero son: 90°, 270°. La relación que existe entre los ejes de transmisión del primer polarizador y el analizador es que son perpendiculares (θ = 90°,270°), por lo tanto la intensidad resultante es 0, y no habrá luz transmitida por el analizador co...