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PRACTICA No.1Funciones Trasendentales

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTADA DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMATICAS Sustentantes: Kelvin Orbe BI9671 Carmel Liburd

100080748

TEMAS: FUNCIONES TRASCENDENTALES

PRACTICA No. 1 Tutor: GIL SANDRO GOMEZ

15 DE SEPTIEMBRE 2016

PRACTICA No.1Funciones Trasendentales

FUNCIONES TRASCENDENTALES.

I.

DETERMINE LA DERIVADA DE CADA FUNCION:

1. 𝒀 = 𝐥𝐧(𝟐𝑿𝟕 + 𝐬𝐢𝐧 𝑿𝟐 ) √(𝑿𝟑 + 𝑿𝟐 ) Aplicamos Propiedades de los Logaritmos.

Y = 𝐥𝐧(𝟐𝒙𝟕 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟐 ) + 𝐥𝐧 √𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 Derivamos: 𝑑𝑦 14𝑋 6 + 2𝑋 cos 𝑋 2 1 3𝑋2 + 2𝑋 ⌋ + ⌊ 3 = 2𝑋 7 + sin 𝑋 2 𝑑𝑥 2 𝑋 + 𝑋2 𝒅𝒚 𝟏𝟒𝑿𝟔 + 𝟐𝑿 𝐜𝐨𝐬 𝑿𝟐 𝟑𝑿𝟐 + 𝟐𝑿 + 𝟑 = 𝟐𝑿𝟕 + 𝐬𝐢𝐧 𝑿𝟐 𝒅𝒙 𝑿 + 𝑿𝟐 𝟐

2. 𝒀 = 𝐥𝐧

𝐭𝐚𝐧 𝟐(𝑿𝟑 +𝟐𝑿)

√𝟏+𝐬𝐞𝐜 𝟑𝑿 𝟒√𝑿−𝟏 +𝟕𝑿

Aplicamos Propiedades de los Logaritmos. 1 1 𝑌 = ln 𝑡𝑎𝑛2 (𝑋 3 + 2𝑋) − ln 1 + sec 3𝑋 + ln 𝑋 −1 + 7𝑋 4 2 Derivamos: 𝑑𝑦 3𝑋2 + 2𝑠𝑒𝑐 4 (𝑥 3 + 2𝑋) 3 sec 3𝑥 tan 3𝑥 − = 1 + sec 3𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥 3 + 2𝑋) 2

3𝑥 2 + 2 3 sec 3𝑥 tan 3𝑥 𝑥+7 = − . 2 3 −4𝑥 − 28𝑥 (𝑥 𝑡𝑎𝑛 + 2𝑥) 2 + sec 3𝑥

PRACTICA No.1Funciones Trasendentales 𝒙𝟑

3. 𝒚 = 𝐥𝐧 √𝟓𝒙𝟑 + 𝐜𝐨𝐭 𝒙 Aplicamos Propiedades de los Logaritmos.

𝑦=

1 ln(5𝑥 3 + cot 𝑥) 𝑥3

1 15𝑥 2 − 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 15𝑥 2 − 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑦= 3 = 5𝑥 3 + cot 𝑥 𝑥 5𝑥 3 + cot 𝑥 𝑥3 𝒙

4. 𝒚 = 𝐥𝐧(𝒙𝟗 − 𝟔𝒙𝟓 + 𝟏)(𝒙𝟔 + 𝟒)𝟏𝟎 𝐜𝐬𝐜 (𝟐) Aplicamos Propiedades de los Logaritmos.

𝑥 𝑦 = ln(𝑥 9 − 6𝑥 5 + 1) + 10 ln(𝑥 6 + 4) + ln csc ( ) 2 Derivamos: 𝑥 2−𝑥 𝑥 csc ( 2) cot ( 2) 2 6𝑥 5 9𝑥 8 − 30𝑥 4 𝑑𝑦 2 + 10 ⌊ 6 = ⌋− 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 9 − 6𝑥 5 + 1 𝑥 +4 csc (2) 𝒅𝒚 𝒅𝒙

=

𝟗𝒙𝟖 −𝟑𝟎𝒙𝟒 𝒙𝟗 −𝟔𝒙𝟓 +𝟏

+

5. 𝒚 = 𝐥𝐧(𝐜𝐨𝐬 𝒙)(𝒙

𝟔𝟎𝒙𝟓

𝒙𝟔 +𝟒

−

𝟓 +𝟏𝟎𝒙𝟐 −𝟔)

𝟐−𝒙 𝒙 𝒙 𝐜𝐬𝐜( 𝟐) 𝐜𝐨𝐭( ) 𝟒 𝟐 𝒙 𝐜𝐬𝐜(𝟐)

+ 𝐥𝐧 √𝒙

Aplicamos Propiedades de los Logaritmos. 1 𝑦 = (𝑥 5 + 10𝑥 2 − 6) ln(cos 𝑥) + ln 𝑥 2 Derivamos: − sin 𝑥 1 𝑑𝑦 = (𝑥 5 + 10𝑥 2 − 6) [ ] + ln(cos 𝑥 )[5𝑥 4 + 20𝑥 ] + 𝑑𝑥 cos 𝑥 2𝑥 𝟓 𝟐 (𝑿 + 𝟏𝟎𝑿 − 𝟔) 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝒅𝒚 𝟏 = [ ] + 𝐥𝐧(𝐜𝐨𝐬 𝑿)[𝟓𝑿𝟒 + 𝟐𝟎𝑿] + 𝟐𝑿 𝒅𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝑿

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6. 𝒀 = 𝐥𝐧(𝑿𝟏𝟎 + 𝐬𝐢𝐧 √𝑿 + 𝟏)

𝐬𝐞𝐜 𝑿

Aplicamos Propiedades de los Logaritmos. 𝑌 = sec 𝑋 ln(𝑋10 + sin √𝑋 + 1) Derivamos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= (sec 𝑋) [

𝒅𝒚 = 𝒅𝒙

2

10𝑋 9 +

cos √𝑋+1

√𝑋+1 𝑋 10 +sin √𝑋+1

] + ln(𝑋10 + sin √𝑋 + 1)[sec 𝑋 tan 𝑋]

𝟐 𝐜𝐨𝐬 √𝑿 + 𝟏 𝐬𝐞𝐜 𝑿 √𝑿 + 𝟏 𝑿𝟏𝟎 + 𝐬𝐢𝐧 √𝑿 + 𝟏

𝟏𝟎𝑿𝟗 𝐬𝐞𝐜 𝑿 +

+ 𝐥𝐧(𝑿𝟏𝟎 + 𝐬𝐢𝐧 √𝑿 + 𝟏)(𝐬𝐞𝐜 𝑿 𝐭𝐚𝐧 𝑿) II.

USANDO LA DERIVACION LOGARITMICA ENCUENTRE LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES.

7. 𝒀 = (𝑿𝟔 + 𝟐𝑿)√𝑿+𝟓 Aplicamos Propiedades de los Logaritmos. 𝑌 = √𝑋 + 5 ln(𝑋 6 + 2𝑋) Derivamos:

𝑑𝑦 6𝑋 5 + 2 2−𝑋+5 𝟔𝑿𝟓 + 𝟐√𝑿 + 𝟓 = √𝑋 + 5 [ 6 ] + ln(𝑋 6 + 2𝑋) [ ] = 𝑿𝟔 + 𝟐𝑿 𝑑𝑥 𝑋 + 2𝑋 4 𝟐−𝑿+𝟓 ) + 𝐥𝐧(𝑿𝟔 + 𝟐𝑿) ( 𝟒

8. 𝒀 = √𝑿𝟕 − 𝟐𝑿 (𝐬𝐢𝐧 𝑿 + 𝟖𝑿)𝟒 √𝑿 𝟏𝟎

Aplicamos Propiedades de los Logaritmos. 1 1 ln 𝑌 = ln(𝑋 7 − 2𝑋) + 4 ln(sin 𝑋 + 8𝑋) + ln(𝑋) 2 10 6 𝑑𝑦 1 7𝑋 − 2 cos 𝑋 + 8 1 = [ 7 ] + 4[ ]+ 10𝑋 𝑑𝑥 2 𝑋 − 2𝑋 sin 𝑋 + 8𝑋

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Despejamos a Y. 𝑑𝑦 7𝑋 6 − 2 4 cos 𝑋 + 32 1 = 𝑌[ 7 ]+ + 10𝑋 𝑑𝑥 2𝑋 − 4𝑋 sin 𝑋 + 8𝑋 Sustituyendo a Y por su valor. 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝟑𝟐 𝟏 𝟕𝒙𝟔 − 𝟐 𝒅𝒚 𝟏𝟎 ]+ + = √𝒙𝟕 − 𝟐𝒙 (𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝟖𝒙)𝟒 √𝒙 [ 𝟕 𝟐𝒙 − 𝟒𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝟖𝒙 𝟏𝟎𝒙 𝒅𝒙

9. 𝒀 =

𝑿𝐭𝐚𝐧 𝑿

𝑿 𝐬𝐞𝐜 𝟓𝑿

Aplicamos Propiedades de los Logaritmos. ln 𝑌 = ln

𝑋 tan 𝑋 𝑋 sec 5𝑋

ln 𝑌 = tan 𝑋 ln 𝑋 − ln 𝑋 + ln sec 5𝑋 Derivamos: 𝑑𝑦 1 1 5 sec 5𝑥 tan 5𝑥 = tan 𝑥 [ ] + ln 𝑥 [𝑠𝑒𝑐 2 𝑥] − + sec 5𝑥 𝑑𝑥 2 2

𝑑𝑦 tan 𝑋 𝑆𝐸𝐶 2 𝑋 5sec 5𝑋 tan 5𝑋 = 𝑌⌊ ⌋ − ln 𝑋 ⌊ ⌋+ sec 5𝑋 𝑑𝑥 𝑋 𝑋

10.

𝒀 = (𝑿𝟑 + 𝟏𝟎𝑿)𝑿+𝑺𝑬𝑵𝑿

Aplicamos Propiedades de los Logaritmos. ln 𝑌 = ln(𝑋 3 + 10𝑋) 𝑋+sin 𝑋

ln 𝑌 = 𝑋 + sin 𝑋 ln(𝑋 3 + 10𝑋) Derivamos: 3𝑋 2 + 10 𝑑𝑦 = 𝑋 + sin 𝑋 [ 3 ] + ln(𝑋 3 + 10)[1 + cos 𝑋] 𝑑𝑥 𝑋 + 10𝑋 3𝑋 2 + 10 𝑑𝑦 = 𝑌 [𝑋 + sin 𝑋 ( 3 )] + ln(𝑋 3 + 10𝑋)[1 + cos 𝑋] 𝑑𝑥 𝑋 + 10𝑋

𝟑𝑿𝟐 + 𝟏𝟎 𝒅𝒚 𝑿+𝐬𝐢𝐧 𝑿 ) + 𝐥𝐧(𝑿𝟑 + 𝟏𝟎)(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝑿)] = (𝑿𝟑 + 𝟏𝟎𝑿) [𝑿 + 𝐬𝐢𝐧 𝑿 ( 𝟑 𝑿 + 𝟏𝟎𝑿 𝒅𝒙

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III.

11.

12.

13.

14.

15.

HALLE LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EXPONENCIALES NATRALES.

𝒆(𝑿

𝟕 −𝟑𝑿𝟓 )

𝑑𝑦 7 5 = 𝑒 (𝑋 −3𝑋 ) 7𝑋 6 − 15𝑋 4 𝑑𝑥 𝑑𝑦 7 5 = 7𝑋 6 − 15𝑋 4 𝑒 (𝑋 −3𝑋 ) 𝑑𝑥

𝑌 = 𝒆(𝐭𝐚𝐧 𝟒𝑿+𝟏)√𝑿

𝑑𝑦 𝑋 + √𝑋𝑠𝑒𝑐 2 4𝑋. 4 = 𝑒 (tan 4𝑋+1)√𝑋 (tan 4𝑋 + 1) 𝑑𝑥 √2 𝑋 𝑑𝑦 = (tan 4𝑋 + 1) + 4√𝑋 𝑠𝑒𝑐 2 4𝑋𝑒 (tan 4𝑋+1)√𝑋 𝑑𝑥 √2

𝒀 = 𝒆𝐬𝐢𝐧 𝑿 + 𝒆(𝑿

𝟒 +𝟏)

𝑑𝑦 4 = 𝑒 sin 𝑋 . cos 𝑋 + 𝑒 (𝑋 +1) . 4𝑋 3 𝑑𝑥 4 𝑑𝑦 3 (𝑋 +1) = cos 𝑋 𝑒 + 4𝑋 𝑒 (𝑋 4+1) 𝑑𝑥

𝐘 = (𝐗 𝟖 − 𝟐𝐗 + 𝟏)𝐞𝐬𝐞𝐜 𝐗

dy = (𝑋 8 − 2𝑋 + 1). sec 𝑋 tan 𝑋 + 𝑒 sec 𝑋 8𝑋7 − 2 dx 𝒅𝒚 𝟖 𝟕 = 𝐬𝐞𝐜 𝑿 𝐭𝐚𝐧 𝑿 𝐞𝐬𝐞𝐜 𝐗 𝑿 − 𝟐𝑿 + 𝟏 + 𝐞𝐬𝐞𝐜 𝐗𝟖𝑿 − 𝟐 𝒅𝒙

𝒀=

𝒆

(𝑿+𝒄𝒐𝒕𝟐 𝑿)

(𝑿𝟑 +𝟗𝑿)

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16.

IV.

𝒀 = 𝒆𝟔(𝑿+𝐜𝐨𝐬 𝟑𝑿)

𝟏𝟎

CALCULE LASDERIVADAS DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS CON UNA BASE DIFERENTE DE e.

17.

18.

19.

𝒀 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝑿𝟖 + 𝟒𝑿𝟔 − 𝟏𝑶)𝟔

8𝑋 7 + 24𝑋 5 𝑌 = 6 log2 (𝑋 8 + 4𝑋 6 − 10) = 6 [ ] (ln 2)𝑋 8 + 4𝑋6 − 10 𝐝𝐲 𝟒𝟖𝑿𝟕 + 𝟏𝟒𝟒𝑿𝟓 = 𝐝𝐱 (𝐥𝐧 𝟐)𝑿𝟖 + 𝟒𝑿𝟐 − 𝟏𝟎

𝒀 = 𝐥𝐨𝐠 𝟗 (𝐜𝐬𝐜 𝑿𝟐 + 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝑿)√𝑿 + 𝟒

𝑌 = log 9 (csc 𝑥 2 + cos 3𝑥) + log 9 √𝑥 + 4 1 𝑌 = log 9 (csc 𝑥 2 + cos 3𝑥) + log9 (𝑥 + 4) 2 𝒅𝒚 −𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐭 𝒙𝟐 + 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝟏 𝟏 = + [ ] 𝒅𝒙 𝐥𝐨𝐠𝟗 (𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟐 + 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙) 𝟐 (𝐥𝐧 𝟗)𝒙 + 𝟒

𝒀 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 (

𝑿𝟏𝟎 +𝟐𝑿𝟕 +𝟏 ) 𝒔𝒊𝒏𝟑 (𝑿𝟒 +𝟖𝑿)

𝑌 = log10 𝑋10 + 2𝑋 7 + 1 − [log10 𝑠𝑒𝑛 3 (𝑥 4 + 8𝑋)]

𝑐𝑜𝑠3 4𝑥 3 + 8 10𝑥 9 + 14𝑥 6 𝑑𝑦 − = 𝑑𝑥 (ln 10)(𝑥 10 + 2𝑥 7 + 1) (ln 10)𝑠𝑒𝑛3 (𝑥 4 + 8𝑥)

20.

𝒀 = 𝐥𝐨𝐠 √𝟑 (𝑿𝟔 + 𝟑𝑿)𝒕𝒂𝒏𝟐 𝑿

𝑌 = log √3 (𝑥 6 + 3𝑥) + log √3 𝑡𝑎𝑛2 𝑥

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒚 𝟔𝒙𝟓 + 𝟑 + = 𝒅𝒙 (𝐥𝐧 √𝟑)(𝒙𝟔 + 𝟑𝒙) (𝐥𝐧 √𝟑)(𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙)

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V.

21.

22.

23.

24.

VI.

25.

26.

ANALICE CUALES FUNCIONES SON EXPONENCIALES EN UNA BASE DISTINTA DE e Y AQUELLAS QUECUMPLAN CON LA DEFINICION, CALCULE SU DERIVADA.

𝐘 = 𝟒𝐭𝐚𝐧𝐱

𝟑

dy 3 = 4tanx ln 4sec2 x 3 . 3x2 dx 𝒅𝒚 𝐭𝐚𝐧𝐱𝟑 𝐥𝐧 𝟒𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙𝟑 = 𝟑𝒙𝟐𝟒 𝒅𝒙

𝒀 = 𝟕(𝒙

𝟗 +𝟐)

+ 𝟐√𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙

dy 9 = 7(𝑥 +2) . ln 7.9𝑥 8 + 2√𝑥+cos 𝑥 . ln 2 − 2 sin 𝑥 √3𝑥 + cos 𝑥 dx

𝒀 = 𝟓𝒙 𝟑𝒔𝒆𝒄

𝒀=

𝟖

𝟑(𝟔𝒙+𝟏)

𝟏𝟐

𝟖

𝟔𝒙 +𝟑𝒙 (𝟏𝟎)𝐜𝐨𝐬 𝒙

HALLA LAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES QUE SEAN TRIGONOMETRICAS INVERSAS.

𝒀 = 𝐬𝐢𝐧−𝟏 (𝑿𝟓 + 𝟑𝑿𝟐 )

5X4 + 6X U` dy = = dx √1 − U2 1 − (X 5 + 3X 2 )2

𝒀 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒆𝐬𝐢𝐧(𝑿+𝟏)

𝑑𝑦 𝑈` 𝑒 sin(𝑋+1) cos 𝑋 = = 1 + (𝑒 sin(𝑋+1) )2 𝑑𝑥 1 + 𝑈 2

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27.

NO APLICA.

28.

𝒀 = 𝐬𝐞𝐜 −𝟏 𝟓𝐜𝐨𝐬 𝑿

𝑑𝑦 𝑑𝑥

29.

=

𝑈`

|𝑈|√𝑈 2 −1

=

−5cos 𝑋 ln 5 sin 𝑋 2

|5cos 𝑋 |√(5cos 𝑋 ) −1

𝒀 = 𝐜𝐨𝐭−𝟏 (𝑿𝟑 𝐬𝐞𝐜 𝑿)

𝑑𝑦 −𝑈` −𝑋 3 sec 𝑋 tan 𝑋 + sec 3𝑋 2 = = 1 + (𝑋 3 sec 𝑋)2 𝑑𝑥 1 + 𝑈2

30.

𝒀 = 𝐜𝐬𝐜 −𝟏 √𝑿𝟗 + 𝟒𝑿

−U` dy = = dx |U|√U2 − 1

VII.

√X 9 + 4X. 9X8 + 4

3

CALCULE LA DERIVADA DE CADA FUNCION.

31.

𝒀 = 𝐬𝐢𝐧𝐡(𝑿𝟑 + 𝟏𝟎)

dy = 3𝑋 2 cosh(𝑋 3 + 10) dx

32.

𝒀 = 𝐥𝐧

2

|√X 9 + 4X|√(√X 9 + 4X) − 1

√𝐭𝐚𝐧𝐡(𝒆𝐬𝐢𝐧 𝑿 ) 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝑿

𝑌 = ln √tanh(𝑒 cos 𝑋 ) − ln csch 𝑋

𝑌 = ln(tanh(𝑒 cos 𝑋 ))−2 − ln csch 𝑋

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𝑑𝑦 𝑑𝑥

33.

dy dx

34.

=

−2𝑒 cos 𝑋 (tanh(𝑒 cos 𝑋 ))−3 cos 𝑋 ) √tanh(𝑒 −𝟏

𝒀 = 𝐬𝐢𝐧 (𝐬𝐞𝐜𝐡 𝟐𝑿)

=

. 𝑠𝑒𝑐ℎ2 (𝑒 cos 𝑋 ) −

cschcsch 𝑋 coth 𝑋 𝑋

2 sech 2𝑋 tanh 2𝑋 √1 − (sech 2𝑋)2

𝒀 = 𝟓𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒆

𝟓𝑿)

+ 𝐜𝐨𝐭𝐡(√𝑿𝟖 + 𝟒)

𝑑𝑦 3 5𝑋 = 5𝑒 5𝑋 sinh 𝑒 5𝑋 5cosh(𝑒 ) ln 5 + 6𝑋 2 𝑐𝑠𝑐ℎ2 √𝑥 8 + 4 √𝑥 8 + 4 𝑑𝑥...