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Práctica 4 CONVERSIÓN ENTRE LAS DIFERENTES REPRESENTACIONES DE LOS MODELOS

LABORATORIO DE MODELADO DE SISTEMAS 13 de marzo de 2017 Autor: Rubén Velázquez Cuevas

Práctica 4 CONVERSIÓN ENTRE LAS DIFERENTES REPRESENTACIONES DE LOS MODELOS OBJETIVO: Obtener las diferentes representaciones de los modelos matemáticos en los sistemas lineales invariantes en el tiempo, utilizando herramientas matemáticas y computacionales. INTRODUCCIÓN: El análisis de un sistema dependerá principalmente del tipo de representación que se utilice; sin embargo, la respuesta calculada deberá ser congruente para una entrada determinada en el sistema en comparación con el resto de sus representaciones. En otras palabras, debido a que se trata del mismo sistema pero con diferentes representaciones, entonces se deben obtener los mismos resultados. Para el caso de ésta práctica nuevamente se aprovechan las herramientas computacionales proporcionadas por MATLAB y SIMULINK, los cuales tienen la capacidad de construir modelos de forma rápida y simple para una gran cantidad de aplicaciones como el diseño de sistemas de control o el procesamiento de señales. Adicionalmente, se utilizan comandos que permiten pasar de una representación a otra. En la tabla 1 se muestran estos comandos. Comando

CONVERSIÓN ENTRE MODELOS LINEALES Significado Obtiene la forma ZPK (polos – ceros - ganancia) a partir de la función de transferencia estándar Obtiene las matrices A,B,C,D de la representación en espacio de estado a partir del numerador y denominador de la función de transferencia Obtiene el numerador y denominador de la función de transferencia a partir de las matrices A,B,C,D de la representación en espacio de estado Obtiene el numerador y denominador de la función de transferencia a partir de los polos y ceros y la ganancia. Obtiene las matrices A,B,C,D de la representación en espacio de estado a partir de los polos y ceros y la ganancia Obtiene un sistema en tiempo discreto con tiempo de muestreo T a partir de un sistema continuo Obtiene un sistema en tiempo continuo a partir de un sistema discreto con tiempo de muestreo T

Tabla 1. Comandos adicionales para la conversión entre representaciones.

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MARCO TEÓRICO La variedad en las diferentes representaciones matemáticas de los sistemas se origina por las diferentes aplicaciones que se le pueden dar a un modelo. Es importante saber además que las distintas representaciones están relacionadas, de modo tal que cuando se tiene una representación es posible determinar el resto. Por ejemplo, partiendo de la ecuación diferencial ordinaria (ODE) se puede obtener la función de transferencia. Cuando se tiene la función de transferencia en la forma estándar, es posible obtener su forma ZPK si se factoriza la ganancia de lazo abierto y se determinan sus polos y ceros. Con la función de transferencia se puede obtener también las ecuaciones en variables de estado y con las variables de estado se puede construir un diagrama de simulación analógica. Por supuesto que el diagrama de computadora analógica se puede construir también a partir de la función de transferencia o bien a partir de las ecuaciones diferenciales. En conclusión, teniendo cualquier representación, es posible obtener todas las representaciones equivalentes del mismo sistema. Considérese por ejemplo la función de transferencia siguiente:

( ) ( )

( )

4 2

5 2

3

De donde la ODE asociada está dada por:  2

2

3  ( )

2

( ) 2

4

5

( ) 3 ( ) 4

( )

( ) 5 ( )

Finalmente, aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene la ODE asociada:

ɺɺ ( ) 2 ɺ ( ) 3 ( ) 4 ɺ ( ) 5 ( ) Despejando la variable con derivada de orden más alto:

ɺɺ ( ) 4 ɺ ( ) 2 ɺ ( ) 5 ( ) 3 ( ) Para obtener el diagrama de simulación analógica equivalente se aplican tantas integrales a la ODE como sean necesarias para obtener la variable de salida sin derivada. Es decir:

∫∫

∫∫ 4 ɺ( )

ɺɺ( ) ()

∫  ∫ ()

2 ɺ( ) 5 ( ) 3 ( )

∫5

4ɺ 2 ɺ

∫  4

∫5

2

3

 

3

3

 

De ésta última se obtiene el diagrama de simulación analógica de la figura 1 leyendo de derecha a izquierda el diagrama lo que en la ecuación se lee de izquierda a derecha.

Figura 1. Diagrama de simulación analógica del ejemplo

En la figura 2 se muestra el diagrama de bloques equivalente al DSA de la figura 1, tomando en cuenta que los bloques integradores se sustituyen por su operador equivalente en el dominio de Laplace. Así mismo, en la figura 3 se muestra en diagrama de flujo de señales correspondiente.

Figura 2. Diagrama de bloques equivalente de la figura 1

Figura 3. Diagrama de flujo de señales equivalente de la figura 1 y 2

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Por otro lado, para determinar las ecuaciones de estado se puede recurrir tanto a la función de transferencia como al diagrama de simulación analógica, obteniéndose matrices (A, B, C, D) diferentes (debido a que la representación en ecuaciones de estado no es única). Por ejemplo, de la función de transferencia inicial se obtiene: 2

( ) ( ) Donde:

0

0;

1

4;

2

5;

0

4

2 2

1

2;

1

1 2

2

2

3;

0

4 2 0

5 2

3

Por lo tanto se calculan: 0

0

0;

1

1

1

2

1

1 1

2

4;

5 2 4

0

3 0

3;

Resultando las ecuaciones de estado:  ɺ1     ɺ2 

0  3 

1 1  4   2   2   3

  1 0  1  2

0

Sin embargo, si las ecuaciones de estado se obtienen mediante el comando tf2ss de MATLAB las matrices (A, B, C, D) resultantes serán distintas. Es decir, con [A,B,C,D]=tf2ss([4 5],[1 2 3]) resultará en las ecuaciones de estado:  ɺ1   2 ɺ   1  2 

3  1   1 0   2   0

  4 5  1  2

0

Finalmente, si los estados se definen como las salidas de los integradores en el diagrama de simulación analógica, entonces las ecuaciones de estado resultantes serán (para 1 ):  ɺ1  ɺ   2

 2 1  1   4  3 0    5   2  

5

  1 0  1  2

0

La comprobación de que todas las representaciones mostradas son del mismo sistema se puede realizar en forma computacional mediante código en un SCRIPT o bien mediante bloques en SIMULINK. En la figura 4 se muestra el código que compara las diferentes representaciones de los sistemas mediante su respuesta al escalón y en la figura 5 las gráficas resultantes. % Código para obtener las respuesta a diferentes representaciones de in % mismo sistema dado por la ODE: y'' + 2y' + 3y = 4u' + 5u % Las representaciones mostradas son: % 1) Función de transferencia: del DB, DFS y su forma ZPK % 2) Ecuaciones de estado: Obtenidas de la FT (ZPK y estándar) y del DSA close all; clear; clc % Reducción del DB: s=tf('s'); F1=4*s; F2=5; F3=1/s; F4=2; F5=3; Gdb=series(parallel(F1,F2),feedback(series(F3,feedback(F3,F4)),F5)); % Reducción del DFS: P1=5/s^2; P2=4/s; % Caminos directos L1=-2/s; L2=-3/s^2; % Lazos cerrados Delta=1-(L1+L2); % Determinante del sistema D1=1; D2=1; % Cofactores Gfs=(P1*D1+P2*D2)/Delta; % Fórmula de Mason % Forma ZPK: [Z,P,K]=tf2zp([4 5],[1 2 3]); Gzp=zpk(Z,P,K); % Graficas de las FT t=0:0.1:10; subplot(2,1,1) step(Gdb,t) hold on step(Gfs,'g*',t) step(Gzp,'rs',t) legend('DB','DFS','ZPK') title('Graficas de respuesta al escalón para las FT') grid % Ecuaciones de estado [A1,B1,C1,D1]=zp2ss(Z,P,K); % De la forma ZPK [A2,B2,C2,D2]=tf2ss([4 5],[1 2 3]); % De la forma estandar A3=[-2 1; -3 0]; B3=[4; 5]; C3=[1 0]; D3=0; % Del DSA Sis1=ss(A1,B1,C1,D1); Sis2=ss(A2,B2,C2,D2); Sis3=ss(A3,B3,C3,D3); % Graficas de las EE t=0:0.1:10; subplot(2,1,2) step(Sis1,'k',t) hold on step(Sis2,'c*',t) step(Sis3,'ms',t) legend('ZPK','FT','DSA') title('Graficas de respuesta al escalón para las EE')

6

grid

Figura 4. Código M para obtener la respuesta de diferentes representaciones de un mismo sistema

Figura 5. Gráficas resultantes del código mostrado en la figura 4 Finalmente, en la figura 6 se muestran los esquemas de bloques en SIMULINK.

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DESARROLLO: Sea el diagrama de bloques de la figura 4. Determinar el diagrama de simulación analógica equivalente y defina los estados como se indica. Posteriormente, determinar las matrices (A,B,C,D).

Figura 4. Diagrama de bloques de la práctica 4

1. Utilizando el comando ss2tf, determinar las funciones de transferencia:           ; ; ; ; ;          2. Obtener para cada caso la forma ZPK 3. Finalmente, determinar para cada caso las matrices de las ecuaciones de estado y compararlas entre si

Reportar sus resultados en la hoja de respuestas proporcionada.

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