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INSTITUTO SUPERIOR “SAN AGUSTÍN” – 0106 – “Acompañar a crecer al otro” Ciclo lectivo 2020

CARRERA: PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA ALUMNO: DA SILVA SONIA AÑO QUE CURSA: PRIMER AÑO MATERIA: TALLER DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PROFESOR: LAURA ROSSI

TÍTULO Y / O NÚMERO DEL TRABAJO: SISTEMA DE NUMERACION

FECHA DE PRESENTACIÓN: 11 de Agosto de 2020

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Contenido:  Sistema de Numeración Posicional y No Posicional.  Cambio de base en la numeración.  Sistema de numeración en base dos, cinco, ocho y doce: -

Operaciones de suma, resta, multiplicación y división en cada uno de ellos.

-

Cambio de base en cada uno de ellos. Ejemplos.

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Sistema de Numeración Posicional y No Posicional Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos (números) que se relaciona para expresar cantidades. A través de la historia del hombre aparecen varios sistemas de numeración, que dependen de la época o la cultura 1. Es decir, un sistema de numeración es un conjunto de reglas que sirven para expresar y escribir los números2. Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no posicionales.

Sistemas de Numeración Posicional: Cada símbolo que se utiliza en este sistema se llama dígito, el número de dígito corresponde al número de base, es fundamental la existencia del cero. Este sistema se basa en la posición que ocupa cada dígito (valor relativo) en el número, esto permite que se puedan representar números mayores a la base. En los sistemas posicionales los números se representan con la siguiente fórmula: N(B)=An . Bn + An-1 . Bn-1 +….+ A1 . B1 + A0 . B0+ A-1 . B-1 + A-2 . B-2++….+ A-n . B-n Dónde: - An, An-1, A1, A0, A-1, A-2, A-n son los dígitos. - B el número de base - n la posición Para identificar el sistema se coloca la base B como subíndice. Los sistema más utilizados son el decimal (base 10), binario (base 2), octal (base 8), entre otros 1. Por ejemplo, si quisiéramos representar el número 1280, utilizando el sistema decimal (base 10, se utilizan los dígitos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, no representan solo esos diez números, sino que al acomodarlos en determinadas posiciones representarán diferentes cantidades. La posición nos indica la magnitud de la cantidad representada): 128010= 1 . 103 + 2 . 102 + 8 . 101 + 0 . 100 1 Aritmética y Algebra. 1º Edición CONAMAT (Colegio Nacional de Matemáticas). Edición Pearson Educación, México 2.009. 2 Aritmética. Aurelio Baldor. Edición 1974.

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En los sistemas de numeraciones posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que este símbolo ocupa en el número. El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración tiene base B, significa que disponemos de B símbolos diferentes para escribir los números, y que B unidades forman una unidad de orden superior3. La fórmula general para construir un número N, con un número finito de decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:

Donde: - “N”, número válido en el sistema de numeración. - “b”, base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema. - “d1” un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración. - “n”, número de dígitos de la parte entera. - “,” coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte fraccionaria. - “k”, número de dígitos de la parte decimal.

Un sistema de numeración posicional, es un sistema en el que cada dígito de la cifra tiene un valor el cual está determinado por la base. La base es el indicador del sistema de numeración, por ejemplo el sistema decimal, es un sistema en base 10, el sistema binario, la base es 2 o si el sistema es hexadecimal, la base sería 16. La base indica el número de símbolos que necesitamos para crear una cifra, por eso en el sistema decimal existen 10 cifras (0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9), en el sistema binario solo 2 (0 y 1) o en el sistema hexadecimal 16 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F)4 3 Wikipedia: link https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n

4 Link: https://arithmosblog.wordpress.com/2016/08/10/sistemas-de-numeracion-posicional/ 3

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Nuestro sistema de numeración actual es un sistema posicional y decimal. Decimos que es posicional porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número: el primer 7 del número 757 no vale lo mismo que el segundo 7. El valor del segundo 7 es siete unidades, pero el valor del primer 7 es de 700 unidades. Decimos que es decimal porque diez unidades de un determinado orden equivalen a una unidad del orden superior. Así, diez unidades son una decena; diez decenas son una centena, diez centenas forman un millar, etc. Por ello, un número es igual a la suma de los productos de sus cifras por sus valores respectivos. Por ejemplo, el número 75.269 se puede descomponer de la siguiente 5

manera : 75.269 = 70.000 + 5.000 + 200 + 60 + 9 = = 7x10.000 + 5x1.000 + 2x100 + 6x10 + 9 Sistemas de Numeración No Posicional: En los sistemas no posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no dependen de la posición que ocupan en el número. Por ejemplo es sistema de numeración egipcio es no posicional.6

En los sistemas no posicionales el valor del símbolo utilizado no depende de la posición que ocupa en la expresión del número. Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema de los números romanos. En el número romano XIX (19) los símbolos X (10) del inicio y del fin del número equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición 7. En este sistema se tiene una colección determinada de símbolos principales: - Unidad I - Cinco V - Diez X - Cincuenta L 5 Link: http://geogebra.es/cvg_primaria/04/html/abaco.html 6 Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n 7 Link https://www.fing.edu.uy/tecnoinf/paysandu/cursos/1er/discreta/material/ficha6.pdf

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- Cien C - Quinientos D - Mil M Todo número se representa como una combinación de estos símbolos. Por ejemplo el número 88 se escribe en este sistema así LXXXVIII. En este caso el significado de cada símbolo no depende del lugar que ocupa. En la representación del número 88 la cifra X aparece tres veces y siempre vale lo mismo, diez unidades8. La diferencia entre los sistemas de números posicionales y no posicionales se comprende más fácilmente comparando dos números. En el sistema de números posicionales, la comparación de dos números es la siguiente: en los números considerados, los números en las mismas posiciones se comparan de izquierda a derecha. Un dígito más grande corresponde a un número más grande. Por ejemplo, para los números 123 y 234, 1 es menor que 2, por lo que el número 234 es mayor que el número 123. En un sistema de números no posicional, esta regla no se aplica. Un ejemplo de esto es la comparación de dos números IX y VI. Aunque I es menor que V, el número IX es mayor que el número VI.

8 Link: https://bachipedia.fandom.com/es/wiki/Utiliza_los_sistemas_de_numeraci %C3%B3n_posicional_y_no_posicional_para_resolver_situaciones_problema

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Cambio de Base en la Numeración El objetivo del cambio de base es poder representar un número en los diferentes sistemas de numeración9.  Del Sistema Decimal a otro Sistema: en general, para llevar un número del sistema decimal a base n, el número se divide entre “n” hasta obtener un cociente menor a “n”, este último cociente y los restos obtenidos son las cifras del número en base “n”.9 Ejemplo: escribir 123 en el sistema quinario

123 5 3 24

IMPORTANTE

4

5 4

El último cociente debe ser menor que la base y se toma de abajo hacia arriba.

Entonces se escribirá: 443(5)  De otro Sistema al Sistema Decimal: en general, para llevar un número al sistema decimal, se debe descomponer polinómicamente y luego realizar la operación. La descomposición polinómica de un número, es un polinomio donde los coeficiente son las cifras y la variable la base 9. Ejemplo: llevar 1234(7) al sistema decimal. Descomponemos el número: 1234(7)= 1.73+2.72+3.7+4 Realizamos las operaciones 1234(7)=343+98+21+4=466 Entonces en el sistema decimal se escribirá 466.  Entre dos Sistemas diferente al decimal: lo recomendable es utilizar los dos métodos anteriores para que el sistema decimal sirva como nexo entre los dos sistemas diferentes al decimal 9. Ejemplo: llevar 253(7) al sistema quinario Descomponemos para llevar al sistema decimal: 253 (7)=2.72+5.7+3=136

9 Aritmética 2º año. Colegio Trilce

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Ahora dividimos para llevar al sistema quinario: 136 5 1 27 2

5 5 0

5 1

Luego: 253(7)=1021(5)

Dado un número en un sistema de numeración de base B, el número se puede representar en otros sistemas. Existen diversos métodos:  CONVERSION DE UN NUMERO DE BASE “B” A BASE 10: N(B)

N(10)

Existen dos métodos:

 Método por fórmula: N(B)=An . Bn + An-1 . Bn-1 +….+ A1 . B1 + A0 . B0+ A-1 . B-1 + A-2 . B-2++….+ A-n . B-n Ejemplo: transformar 1231(4) a base decimal 1231(4)= 1.3+2.42+3.41+1.40=109(10) Por tanto 1231(4) equivale a 109(10)  Método de la multiplicación por la base y suma de los siguientes dígitos: este método, solo se utiliza para números enteros y consiste en multiplicar el primer dígito (de izquierda a derecha), por la base y sumar el dígito siguiente, el resultado de la suma se multiplica por la base y el resultado se suma con el dígito que le sigue, así hasta el último dígito. El resultado final será el número decimal equivalente. Ejemplo: transformar 11011(2) a base 10. Al seguir los pasos se obtiene: 1x2+1=

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Producto del primer dígito por la base, más el segundo dígito.

3x2+0= 6x2+1= 13x2+1=

6 13 27 27

Producto del resultado anterior por la base, más el tercer dígito. Producto del resultado anterior por la base, más el cuarto dígito. Producto del resultado anterior por la base, más el quinto dígito. Valor equivalente.

Por tanto, 11011(2) equivale a 27(10)  CONVERSION DE UN NUMERO DE BASE “10” A BASE “B”: N(10)

N(B)

Se divide el número decimal entre la base que se quiere convertir, el cociente se vuelve a dividir entre la base y así sucesivamente, hasta obtener un

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cociente menor a la base. Se toma el último de cociente y cada uno de los residuos para formar la base.10 El cambio de base en la numeración, consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro sistema de numeración, pero sin dejar de representar estos números la misma cantidad de unidades.  Caso I: De una base diferente de 10 a la base 10 Para este caso se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica, efectuando para ello las operaciones indicadas”.

 Caso II: De Base 10 a una Base Diferente de 10 Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado del sistema decimal (base 10) entre la base “n” a la cual se desea convertir; si el cociente es mayor que “n”, se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se llegue a una división donde el cociente sea menor que “n”. Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las divisiones, desde el último residuo hacia el primero y este será el número expresado en base “n”.

 Caso III: De una Base Diferente de 10 a Otra Diferente de 10 Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente; es decir, primero llevamos el número de base diferente de 10, por descomposición polinómica, al sistema decimal; y, luego este número, por divisiones sucesivas, lo llevamos al otro sistema de base diferente a 10.11

10 Aritmética y Algebra. 1º Edición CONAMAT (Colegio Nacional de Matemáticas). Edición Pearson Educación, México 2.009. 11 Link: https://webdeldocente.com/aritmetica-sexto-grado/transformacion-de-sistemas-de-numeracion/

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Sistema de Numeración en base 2, 5, 8 y 12

 Sistema de Numeración Posicional en base 2 El sistema de numeración posicional binario está formado por dos símbolos el 0 y el 1. Como es un sistema posicional cada símbolo depende de la posición que esté va a tener su significado, que en este caso serán las distintas potencia de 2. Contando de derecha a izquierda, el primero va a ser la cantidad de veces que multiplique a 2 0, el segundo la cantidad de veces que multiplique a 2 1, la tercera la cantidad de veces que multiplique 2 2, la cuarta la cantidad de veces que multiplique 2 3 y así sucesivamente. A su vez, esas cantidades pueden ser 0 o 1 (que son las dos únicas cifras con las que se escriben los números en este sistema).12 Ejemplo: el número 111011011 Empezando del 2º, desde la derecha hasta llegar al 2 8, el primer dígito 111011011= 1.28 + 1.27 + 1.26 + 0.25 + 1.24 + 1.23 + 0.22 +1.21 +1.20 1.256+1.128+1.64+0.32 +1.16+ 1.8 + 0.4 + 1.2 + 1.1 256+128+64+16+8+2+1=475 Esta es la manera de saber qué número es en nuestro sistema un número que está escrito en sistema binario. Para mostrar que un número es binario, ponemos el subíndice 2 al final: 1012.

El sistema binario se basa en la representación de cantidades utilizando los números 1 y 0. Por tanto su base es 2 (número de dígitos del sistema). Cada dígito o número en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit). Los Números Binarios empezarían por el 0 (número binario más pequeño) después el 1 y ahora tendríamos que pasar al siguiente número, que ya sería de dos cifras porque no hay más números binarios de una sola cifra. El siguiente número binario, por lo tanto, sería combinar el 1 con el 0, es decir el 10 (ya que el 0 con el 1, sería el 01 y no valdría porque sería igual que el 1), el siguiente sería el número el 11. Hecho todas las combinaciones posibles de números binarios de 2 cifras, pasamos a construir los de 3 cifras. El siguiente sería 12 Ediciones lógicamente

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el 100, luego el 101, el 110 y el 111. Según el orden ascendente de los números en decimal tendríamos los números binarios equivalentes a sus números en decimal:13 DECIMAL BINARIO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1100

Cambio de base del Sistema Binario  Del Sistema Binario al Sistema Decimal: 1. Para realizar la conversión de binario a decimal, debemos comenzar por el lado derecho del número en binario. Multiplicar cada dígito por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 2 0). 2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sumamos todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.14 Ejemplos: transformar el número 11110011 2 y 101011 2 al sistema decimal (Los números ubicados en la parte superior del número binario indican la potencia a la que hay que elevar el número 2).

13 LINK: https://www.areatecnologia.com/sistema-binario.htm 14 Link: https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario

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 Del Sistema Binario al Sistema Decimal (con parte fraccionaria binaria) Debemos iniciar por el lado izquierdo (la primera cifra a la derecha de la coma), cada número deberá ser multiplicado por 2 elevado a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la potencia 2 -1). Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sumamos todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal 15. Ejemplo: transformar 0.110110 al sistema decimal

 Del Sistema Decimal al Sistema Binario: Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división. A continuación se ordena desde el último cociente hasta el primer resto.. Este será el número binario que buscamos.15 Ejemplo: Transformar el número decimal 243 10 y el 8510 en binario

15 Link: https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario

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 Del Sistema Decimal con decimales al Sistema Binario: Para transformar un número del sistema decimal con decimal, al sistema binario: 1. Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente). 2. Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte decimal del resultado). 3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.16 Ejemplo: transformar 2.2510 en binario

Operaciones de suma, resta, multiplicación y división en el sistema binario Las operaciones binarias que se pueden realizar con número binarios son las mismas que en cualquier otro sistema: suma, resta, multiplicación y división.

 Suma: Operamos como en el sistema decimal: se coloca los sumando en forma vertical y comenzamos a sumar desde la derecha, ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y nos llevamos 1 (este "1" se llama arrastre). A

16 Link: https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario

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continuación se suman los números de la siguiente columna y así seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en decimal).17 Ejemplo: sumar 110112 con 1102, y 11012 con 1112

 Resta: Para realizar operaciones de resta en el sistema binario, se realizan como en el sistema decimal, pero teniendo en cuenta las siguientes cuatro reglas básicas: 1. 02-02=02 2. 02-12=12 “acarreo negativo”: cuando tengamos 02-12 nos va a dar como resultado 12. Para que nos dé 1 2, debemos pedir 1 prestado al número de la siguiente columna, que se le va a llamar acarreo negativo, para tener 102.18 Es decir, La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente.19 3. 1-1=0 4. 1-0=1 Ejemplo: sumar 1010102 con 001101 2, y 100112 con 001112

17 Lin 18 Lin 19 Lin

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 Multiplicación El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.20 Debemos tener en cuenta cuatro reglas básicas:21 1. 02 x 02=02 2. 02 x 12=02 3. 12 x 12=12 4. 12 x 02=02 Ejemplo: multipliquemos 10110 2 por 10012:

 División Igual que en el producto, la división es muy ...