Primera Practica de Calculo III - Ruben Dario - 2020 A PDF

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UNIVERSIDADNACIONAL DELCALLAOFacultad de Ingenier ́ıa Industrial y de SistemasEscuela Profesional de Ingenier ́ıa IndustrialProblemas Propuestos de la Primera Practica Calificada Curso: Calculo III ́Profesor:Ruben Dario Mendoza Arena Fecha :03 de Abril del 2020Nombre y Apellido : Semestre Academico ...

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U NIVERSIDAD NACIONAL DEL C ALLAO

Facultad de Ingenier´ıa Industrial y de Sistemas Escuela Profesional de Ingenier´ıa Industrial Problemas Propuestos de la Primera Practica Calificada Curso: C´alculo III

Profesor: Ruben Dario Mendoza Arena

Fecha : 03 de Abril del 2020 Semestre Acad´emico : 2020 - A

Nombre y Apellido :

1. Decir si la forma diferencial (2x tan (y) − sen2 (x) cos(x) + 3 arctan2 (x))dx − (ye−5y − x2 sec2 (y) + π)dy on f (x, y) de la cual es su diferencial total. Es exacta. De ser afirmativa la rpta. Hallar la funci´

ıcita 2. Dada la superficie en forma impl´ F(x + 2y, x − z) = 0 on vectorial y general del plano tangente a la superficie en el punto (1, 2, -1) Hallar la ecuaci´

3. Calcule la siguiente integral doble: Z 1 Z arccos(x) 0

0

esen(y) dy dx +

Z 1Z 1 0

y

tan(x2 ) dx dy

1 4. Sea la regi´on D limitada por las circunferencias x2 + y2 = 1 ; x2 + y2 = en el 1er.cuadrante. 4 Calcule: Z Z

(x2 + y2 )2 cos (x2 + y2 ) dA D

5. Pregunta opcional Se dice que una funci´on es arm´onica si:

∂2 f ∂2 f + = 0 ∂ x2 ∂ y2

Sabiendo esto, decir si la siguiente FRVV: f (x, y) = es arm´onica.

y x2 + y2

Si : dA = dx.dy

U NIVERSIDAD NACIONAL DEL C ALLAO

Facultad de Ingenier´ıa Industrial y de Sistemas Escuela Profesional de Ingenier´ıa Industrial Resolucion de los Problemas Propuestos de la Primera Practica Calificada Curso: C´alculo III

Profesor: Ruben Dario Mendoza Arena

Fecha : 03 de Abril del 2020 Semestre Acad´emico : 2020 - A

Nombre y Apellido :

1. Decir si la forma diferencial (2x tan (y) − sen2 (x) cos(x) + 3 arctan2 (x))dx − (ye−5y − x2 sec2 (y) + π)dy on f (x, y) de la cual es su diferencial total. Es exacta. De ser afirmativa la rpta. Hallar la funci´ Sool uuci o n ::: Dando forma a: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 En la EDO: (2x tan (y) − sen2 (x) cos(x) + 3 arctan2 (x))dx + (x2 sec2 (y) − ye−5y − π )dy = 0 Es exacta si: My (x, y) = Nx (x, y) Comprobando: My (x, y) = 2x · sec2 (y) ∧ Nx (x, y) = 2x · sec2 (y) =⇒ My (x, y) = Nx (x, y) es exacta. Si: fx = M = 2x tan (y) − sen2 (x) cos(x) + 3 arctan2 (x) fy = N = x2 sec2 (y) − ye−5y − π

(1) (2)

Integrando (1) respecto de x: Z   f= 2x tan (y) − sen2 (x) cos (x) + 3 arctan2 (x) dx

1 f = x2 tan (y) − · sen3 (x) + 3 Derivando f respecto de y :

Z

3 arctan2 (x) dx + g(y) (3)

fy = x2 sec2 (y) − ye−5y − π = x2 sec2 (y) + 0 + 0 + g ′ (y) =⇒ g ′ (y) = −ye−5y − π (4) Integrando (4) respecto de y: Z h i 1 g(y) = − ye−5y + π dy =⇒ g(y) = − · (5y + 1) e−5y − y · π (5) 25 Reemplazando (5) en (3): Z 1 1 Rpta: f = x2 tan (y) − · sen3 (x) + 3 x · arctan2 (x) dx − · (5y + 1) e−5y − y · π 3 25 ıcita 2. Dada la superficie en forma impl´ F(x + 2y, x − z) = 0 Hallar la ecuaci´ on vectorial y general del plano tangente a la superficie en el punto (1, 2, -1)

Sool uuci o n :: Sea G(x, y, z) = F(x + 2y, x − z) =⇒



p = x + 2y q = x−z

Hallando el gradiente de G en el punto (1, 2, −1) : ∂F ∂ p ∂F · + ∂ p ∂x ∂q ∂F ∂ p ∂F · + Gy (x, y, z) = ∂ p ∂y ∂q Gx (x, y, z) =

Gz (x, y, z) =

∂q ∂F ∂F ∂F ∂F = · (1) + · (1) = + ∂x ∂p ∂q ∂ p ∂q ∂q ∂F ∂F ∂F · = · (2) + · (0) = 2 · ∂p ∂y ∂p ∂q ·

∂F ∂ p ∂F ∂q ∂F ∂F ∂F · + · = · (0) + · (−1) = − ∂q ∂ p ∂z ∂q ∂z ∂p ∂q

Sustituyendo en el punto (1, 2, −1) ⇒ F(1 + 2 · 2, 1 + 1) = F(5, 2) : Gx (1, 2, −1) =

∂F ∂F (5, 2) (5, 2) + ∂q ∂p

∂F (5, 2) ∂p ∂F Gz (1, 2, −1) = − (5, 2) ∂q   ∂F ∂F ∂F ∂F ~ (5, 2) (5, 2) + (5, 2), 2 · (5, 2), − ∇G(x, y, z) = ∂q ∂p ∂q ∂p Gy (1, 2, −1) = 2 ·

La ecuacion vectorial del plano tangente en el punto P(x0 , y0 , z0 ) es: ~∇G · (x − x0 , y − y0 , z − zo ) = 0 Reemplazando:   ∂F ∂F ∂F ∂F Rpta: (5, 2) · (x − 1, y − 2, z + 1) = 0 (5, 2) + (5, 2), 2 · (5, 2), − ∂q ∂p ∂q ∂p Operando para obtener la ecuacion general: ∂F ∂F ∂F ∂F (5, 2) = 0 (5, 2) + (5, 2) + (y − 2) · 2 · (5, 2) − (z + 1) · Rpta: (x − 1) · ∂q ∂p ∂q ∂p 3. Calcule la siguiente integral doble: Z 1 Z arccos(x) 0

0

esen(y) dy dx +

Z 1Z 1 0

tan(x2 ) dx dy

y

Sool uuci o n ::: Realizando cada grafica y

y

x =1

x =1

y = arc cos(x) y = π/2

(1, π/2)

y =x y =1

y =0

x x =0

y =0

( 1, 1)

x

I= I=

Z 1 Z π/2 Z x tan(x2 ) dy dx Z cos(y) sen(y) e dx dy + 0

Z0 π/2 0

0

esen(y) · cos(y) dy +

Z 1 0

tan(x2 ) · x dx

0

1 iπ/2  1   2 · sec (x)  I=  + 2 0 0   1 Rpta: I = e − 1 + · ln sec2 (1) 2 h

esen(y)

1 4. Sea la regi´on D limitada por las circunferencias x2 + y2 = 1 ; x2 + y2 = en el 1er.cuadrante. 4 Calcule: Z Z

(x2 + y2 )2 cos (x2 + y2 ) dA

Si : dA = dx.dy

D

Sool uuci o n ::: Realizando una transformacion a coordenadas polares.  x = r · cos(θ ) x x =⇒ J(r, θ ) = r θ = r yr yθ y = r · sen(θ ) Graficando la region D: θ2 = π/2

r1 D

  C : x2 + y2 = 1 −→ r 2 = 1 ⇒ r = 1 1 1 2 4 4  2 2 2 C2 : x + y = 1 −→ r = 1 ⇒ r2 = 1

r2

Luego: θ1 = 0

D = {(r, θ )/r1 ≤ r ≤ r2 ∧ θ1 ≤ θ ≤ θ2 } Reemplazando π 1 D = {(r, θ )/ ≤ r ≤ 1 ∧ 0 ≤ θ ≤ } 2 2

La nueva integral es: P= π 2

Z Z

Z 1

f (r, θ ) · J(r, θ ) dr dθ =

Z π/2 Z 1 0

D

4

2

r cos(r ) · J(r, θ ) dr dθ =

1/2

Z π/2 Z 1 0

r 5 cos(r 2 ) dr dθ =

1/2

r 5 cos(r 2 ) dr

1/2

Realizando la integral: I=

Z 1

1/2

r 5 cos(r 2 ) dr =⇒

Z 1



a = r 2 ⇒ da = 2r 

u = a2 ⇒ du = 2a · da dv = cos(a) · da ⇒ v = sen(a) 1/4  Z Z 1 h 2 i1 u¯ = a ⇒ d u¯ = da a I = u · v − v du = 2 · sen(a)  − a sen(a) da =⇒ d v¯ = cos(a) · da ⇒ v¯ = sen(a) 1/4 1/4 Z 1 i1 h 2 a sen(a) − a · sen(a)  sen(a) da  + I= 2

1 I= 2

2

a cos(a) da =⇒

1/4

1/4

I=

h

a2 2

i1 sen(a) − a · sen(a) − cos(a) 1/4

  1   1 31 · sen 14 − · cos 14 − · sen (1) + cos (1) 4 32 2 Remplazando I en P : I=

Rpta: P =

  π   π π 31π · sen 41 − · cos 14 − · sen (1) + · cos(1) 2 4 64 8

5. Pregunta opcional Se dice que una funci´on es arm´onica si:

∂2 f ∂2 f + = 0 ∂ x2 ∂ y2

Sabiendo esto, decir si la siguiente FRVV: f (x, y) =

y x2 + y2

es arm´onica. Sool uuci o n :: Derivando f respecto de x ∂f 0 − y(2x) −2xy = 2 = 2 2 2 (x + y2 )2 ∂ x (x + y )

(1)

Derivando f respecto de y 1(x2 + y2 ) − y(2y) x2 − y2 ∂f = = ∂y (x2 + y2 )2 (x2 + y2 )2

(2)

Derivando (1) respecto de x −2y(x2 + y2 )2 + 4xy(x2 + y2 )(2x) 6x2 y − 2y3 ∂2 f = = 2 ∂ x2 (x2 + y2 )4 (x + y2 )3

(3)

Derivando (2) respecto de y ∂2 f (−2y)(x2 + y2 )2 − 2(x2 − y2 )(x2 + y2 )(2y) −(6x2 y − 2y3 ) = = ∂ y2 (x2 + y2 )4 (x2 + y2 )3 Reemplazando (3) y (4) en: ∂2 f 6x2 y − 2y3 −(6x2 y − 2y3 ) ∂2 f =0 + + = (x2 + y2 )3 ∂ x2 (x2 + y2 )3 ∂ y2 Rpta: f (x, y) es arm´onica. Paul Alonso 24 de enero de 2021

(4)...