PROBABILIDAD: CONCEPTO, DEFINICIÓN Y CÁLCULO PDF

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Apuntes de Probabilidad, su concepto, definición y cálculo de la asignatura Estadística II o estadística avanzada del doble grado en FICO+RRLL+RRHH. Profesor: Javier Gamero Rojas....

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PROBABILIDAD: CONCEPTO, DEFINICIÓN Y CÁLCULO 1. Concepto de Probabilidad Probabilidad es una cantidad entre 0 y 1 (es decir, entre 0% y 100%) que se asigna a cada posible suceso, indicando la frecuencia de aparición a la que tenderá a ocurrir ese suceso cuando se le observe. Su cálculo en principio se efectúa mediante un razonamiento teórico más que por una contabilización de casos ocurridos, aunque esto último puede usarse de forma auxiliar cunado no es posible emplear un cálculo teórico. El cálculo teórico de probabilidades es uno de los objetivos básicos de la asignatura. 2. Definición de Probabilidad Sea X una variable aleatoria, para cada suceso A de X la probabilidad de A (anotada como P(A)) es un valor que verifica que: 1) 𝑃(𝐴) ∈ [0,1] 2) 𝑃(𝐸) = 1 , siendo E el Espacio Total 3) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) , si A y B son sucesos disjuntos. 3. Cálculo numérico de Probabilidades La probabilidad de que ocurra un suceso puede hacerse de varias formas, según las circunstancias y la información que se tenga de la variable aleatoria. Vamos a distinguir tres tipos de procedimientos: 

Método Teórico: Este es, por defecto, el método propiamente de la materia del Cálculo de Probabilidades. Se trata de hacer el cálculo mediante un razonamiento teórico que, típicamente, nos daría la probabilidad “exacta” del suceso. La realización de este cálculo podría ser de las siguientes maneras: -

Regla de Laplace. Funciones de densidad y de distribución. Modelos de variables aleatorias. Otros.



Método empírico: cuando no es posible o práctico emplear el método teórico, pero se tienen suficientes datos observados sobre la variable aleatoria, se pueden usar los datos contabilizados para hallar de forma aproximada las probabilidades de sucesos, mediante la aproximación existente entre probabilidad y frecuencia relativa.



Método subjetivo: si no es viable el empleo del método teórico ni se dispone de suficientes datos observados de la variable aleatoria, se puede usar este método que consiste en asignar subjetivamente probabilidades a sucesos, si se conoce el fenómeno y se puede, con alguna aproximación, estimar qué posible frecuencia de aparición puede tener el suceso. Para ello se necesita disponer de la opinión de algún tipo de “experto” en el fenómeno que se está analizando.

Pasaremos a detallar cómo se efectúan estos procedimientos. Método teórico A lo largo del curso se irán exponiendo varios procedimientos para hallar probabilidades mediante un cálculo teórico (es decir, sin usar datos observados). La Regla de Laplace es un procedimiento que podemos explicar de inmediato. Regla de Laplace Esta regla permite el cálculo exacto de probabilidades cuando la variable aleatoria tenga determinadas condiciones. Cuando se den estas condiciones, típicamente el cálculo es sencillo, sin embargo, en la mayoría de las ocasiones que podemos encontrarnos en la vida real no se van a dar esas condiciones. A pesar de ello, hay un número suficientemente importante de casos en que se puede aplicar como para considerarlo como una de las herramientas más importantes para el cálculo de probabilidades. La Regla de Laplace dice lo siguiente: “Si la variable aleatoria es equiprobable entonces la probabilidad de un suceso A es Tam(A)/Tam(E)” En este enunciado hay que aclarar los siguientes términos: Equiprobable significa que todos los casos posibles de la variable aleatoria pueden darse con una frecuencia de aparición igual, es decir, por la propia naturaleza de la variable todos los casos de la variable están en igualdad de condiciones para ser observados. Ejemplos característicos son un dado normal de seis caras o una moneda con cara y cruz. Las expresiones Tam(A) y Tam(E) se refieren a “tamaño” de esos conjuntos, en donde E es el Espacio Total de la variable aleatoria. El tamaño de un suceso depende del contexto, en este caso depende de la naturaleza del Espacio Total E. De cara a la aplicación de la Regla de Laplace, vamos a distinguir los siguientes casos principales: -

Espacio Total finito: el tamaño de un suceso será su número de elementos. Espacio Total como intervalo con infinitos números: el tamaño de un intervalo será la longitud de ese intervalo. Espacio Total como una figura plana de área no nula: el tamaño de un suceso será el área de dicho suceso.

La Regla de Laplace presenta ventajas e inconvenientes: -

-

Sólo puede aplicarse en el caso de una variable aleatoria equiprobable, lo cual es un número escaso de casos prácticos, aunque hay que decir que esos casos sí que pueden ser importantes. El resultado es una probabilidad exacta.

-

Su cálculo suele ser razonablemente sencillo.

Durante el curso iremos viendo otros métodos teóricos de cálculo de probabilidad que se pueden aplicar a un número mayor de casos, a cambio típicamente de una mayor complejidad de cálculo. Ver ejemplos de la Regla de Laplace en el documento de ejemplos. Método empírico En este método se utiliza la relación conceptual entre probabilidad y frecuencia relativa. El principio en que se basa es el de que, conforme aumenta el número de observaciones, la frecuencia relativa con la que se observa un suceso tiende a equipararse a la probabilidad de dicho suceso (“Ley de los Grandes Números”). Dicho principio puede ser demostrado con las herramientas que se expondrán durante este curso, pero en este momento es simplemente un principio o regla axiomática, es decir que se da por cierta como punto de partida. lim 𝑓𝑟(𝐴) = 𝑃(𝐴)

𝑁→∞

Es decir, para un número N suficientemente grande de observaciones, 𝑃(𝐴) ≅ 𝑓𝑟(𝐴). El método consiste en calcular la frecuencia de aparición del suceso en observaciones pasadas (obviamente en las mismas condiciones en que se quiere calcular su probabilidad) y tomar dicho porcentaje o proporción como el valor aproximado del suceso. El procedimiento tiene ventajas e inconvenientes: -

Se puede aplicar a un amplio conjunto de variables, siempre que se puedan obtener datos empíricos (es decir, observaciones) de dicha variable. La probabilidad calculada no es exacta, está sometida al llamado “error muestral”, puesto que la frecuencia sólo tiene un cierto grado de aproximación a la probabilidad. Puede ser costoso en recursos o en tiempo el hacer un número suficiente de observaciones.

El grado de error que hay entre frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad se puede estimar con la siguiente expresión aproximada, que se deducirá más adelante en el curso, y que ahora se facilita para entender mejor la aproximación que se obtiene con un determinado número de observaciones: 𝑃(𝐴) = 𝑓𝑟(𝐴) ± error 𝑓𝑟(𝐴) = 𝑃(𝐴) ± error En donde normalmente error = 1 √ ⁄ 𝑁 , pero en el caso de frecuencia o probabilidad pequeña (0.75) será

error =

2√𝑝

, si p0.75 { √𝑁

en donde p es la frecuencia o la probabilidad. (Hay que entender ese “margen de error” como un intervalo que ocurrirá aproximadamente un 95% de veces.) Ver ejemplos del método empírico en el documento de ejemplos. Método subjetivo: Si no se dispone de un razonamiento teórico ni de observaciones empíricas para calcular la probabilidad de un suceso, hay que recurrir al método subjetivo. Este procedimiento consiste en estimar de forma subjetiva dicha probabilidad basándose en el conocimiento del fenómeno a estudiar de algún “experto” en dicho campo y teniendo en cuenta que, conceptualmente, la probabilidad es análogo a una frecuencia relativa futura de aparición del suceso. Este método debe ser pensado como un último recurso cuando no exista una posibilidad razonable de emplear un método teórico o empírico. Por ejemplo, cuando el procedimiento teórico o no exista o sea muy complejo o cuando no haya datos observados o sean demasiado escasos. Esta metodología presenta, como las demás, ventajas e inconvenientes: -

Se puede aplicar, en principio, a casi cualquier variable aleatoria. No se sabe con certeza el grado de aproximación que se consigue. Puede estar sesgada por la visión particular del o de los expertos....