Probabilidad y Estadistica Teoria y 760 Problemas Resueltos PDF

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Description

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YESTADISTICA

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TEOR.IA y 760 problennos resueltos

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SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

IEONIA Y PROBTEIUIAS

LIIIAII TIGA Por:

MURRAY R. SP!EGEL Ph.D. Antiguo hofesor y Director del Departamento de Matemóticu Rensselaer Poly teehnb Institute Tladucido por: JAIRO OSUNA SUAREZ

Bogottí, Colombit

Li

iu

MEXICO PANAMA MADRID BOGOTA SAO PAULO NUEVA YORK AUCKLAND DUSSELDORF JOHANNESBURG LONDRES MONTREAL NUEVA PARIS SINGAPUR SAN FRANCISCO ST. LOUIS TOK IO TORONTO

DELHI

PROBABI LIDAD Y ESTADISTICA Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,

por cualquier rnedio, sin autorización escr¡ta del ed¡tor. DERECHOS RESERVADOS

Copyr¡ght O 19zG,Vespecto a la edición en español, por LIBROS McGRAW-HILL DE MEXtCO. S. A. de C. V. Atlacomulco 499-501, Naucalpan de Juárez, Edo. de México. Miembro de la Cámara Nacional de la Ind. Editorial. Reg. núm.465 0-07-090922-9 Traducido de la primera edición en inglés de

PROBABLITY AND STATISTICS copyr¡ght @ lszs, by McGRAW-HtLL, BooK, co., tNC., U.s.A. 234567A901 cc-76 7.t23456981 printed ¡n Mexico lmpreso en México Esta obra se terrninó en enero de 1g77 en L¡tográfica Ingramex, S. A. Centeno 162, Col. Granjas Esrneralda, México 13. D. F. Se

tiraron 15 800 eiemplares.

Prólogo El importante y fascinante tema de la probabilidad comenzó en el siglo XVII con los esfuerzos de matemáticos como Fermat y Pascal en resolver preguntas relacionadas con los juegos del aza¡. Hasta el siglo XX se desa¡rolla una teoría matemática riggrosa basada sobre axiomas, definiciones y teore' mas. Con el correr de los años, la teoría de probabilidad encuentra su cauce en muchas aplicaciones, no solamente en ingeniería, ciencias y matemáticas sino también en carnpos como la agricultura, la administración de empresag, la medicina y la sicología. En muchos casos las aplicaciones contribuyen al desarrollo ulterior de la teoría

El tema de la estadística se originó con anterioridad al de probabilidad, trata principalmente de la colección, organización y presentación de los datos en tablas y gráficos. Con el advenimiento de la probabilidad se puso de manifiesto que la estadística podría emplearse en la extracción de conclusio' nes válidas y en la toma de decisiones razonables sobre la base del análisis de datos, por ejemplo en la teoría de muestreo y predicción. El propósito del libro es presentar una introducción moderna a la probabilidad y la estadística suponiendo un conocimiento del cálculo. Por conveniencia el libro se divide en dos partes. La primera trata con probabilidad (y en sí puede utilizarse como introducción al tema) y la segUnda trata con es' tadística.

El libro se diseñó para utilizarse como texto de un curso formal en pro' babilidad y estadística o como suplemento a los textcs típicos. También es de considerable valor como libro de referencia para investigadores o para aquellos interesados en el tema. El libro puede emplearse para un curso anual o mediante una selección juiciosa de los temas para un curso semestral. Agradezco al Ejecutor Literario del Sir Ronald A. Fisher, F. R. S., al doctor Frank Yates, F. R. S., y a Longman Group Ltda., Londres, por el permiso para utilizar la tabla III de su libro Statistical Tables for Biological, Ag¡icultural and Medical Research (6a. edición,1974). Deseo aprovechar esta oportunidad para agradecer a David Beckwith por su sobresaliente edición y a Nicola

Monti por su habilidad artística. M. R. SPIEGEL

Septiembre 1975

Contenido PRIMERA PARTE Capítulo

f

Ca1ítúo 2

PROBABILIDAD Pág.

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

1

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

38

76

capítulo

3

ESPERANZA MATEMATICA

Capftulo

4

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CON NOMBRE

PROPIO

.

. . 108 Distribución binomial o de Bernoulli. Algunás propiedades de la distribución binomial. La ley de los grarides números para las pruebas dó Bernóulli, Distribución normal. Al-

gunas propiedades de la distribución normalr Relación entre las distribuciones binomial n ón de poission. Rel las di¡tribucio-

Y

nea inomial. Distribución hiperg.eométrica. Di¡tribución uniforme. Diehibución de Cauchy. Distribución gamma. Distribución beta. Distribución chi+uadrado. Dstribución ú de Süudent. Distribución F. Relaciones entre lae distribuciones chi-cuadrado, t y ^F, Distribución normal bidimeneional, Distribucionee diversas,

SEGUNDA PARTE ESTADISTICA Oapítulo

5

Pág.

TEORIADEMUESTREO.. Población

y

muestras. Inferencia estadística, Muestreo con

.....155

y sin remplazamiento,

Muestras aleatorias, Números aleatorios, Parámetros poblacionales, Estadísticos mues-

trales. Distribución muestral. Media muestral. Distribución muestral de medias. Distribución muestral de proporciones. Distribución muestral de diferencias y sumas. Varianza muestral. Distribución muestral de varianzas. Caso donde la varianza poblacional

se desconoce. Dstribución muestral de relaciones de varianzas. Otros estadísticos. Distribuciones de frecuencia. Distribuciones de frecuencia relativa y ojivas. Cómputo de la media, varianza y momentos para datos agrupa.dos.

Capítulo

6

TEORIA DE

ESTIMACION

.

Estirnas insesgadas y estimas eficientes. Estimas por puntos y estimas por intervalos. Seguridad. Estimas por intervalos de confianza, de parámetros poblacionales. Intervalos de confianza para medias. Intervalos de confianza para proporciones. Intervalos de confianza para diferencias y sumas. Inte¡valos de confianza para varian4as. Intervalos de confianza para relaciones de varianzas. &timas de máxima verosimilitud.

Capítulo 7

ENSAYOSDEHIPOTESISYSIGNIFICACION.

L94

.,...21-I

Decisiones estadísticas, Hipóüesis estadÍsticas. Hipótesis nula, Ensayos de hipótesis y significación. Errores de tipo I y tipo II. Nivel de significación. Ensayos referentes a la distribución normal, Ensayos de una y dos colas. Ensayos especiales de significación para grandes muestras. Ensayos especiales de significación pata pequeñas muestras. Relación entre la teoría de estimación y ensayo de hipótesis. Curvas características de operación, Potencia de un ensayo. Gráficos de control de calidad. Ajuste de las distribuciones teóricas a distribuciones de frecuericia muestrales, Ensayo chiruadrado para la bondad del ajuste. Tablas de contingeircia. Corrección de Yates para la continuidad. Coeficiente de contingencia.

Capítulo 8

CURVA DE AJUSTE, REGRESION Y

CORRELACION

.

..

258

Curva de ajuste. Regresión. Método de mínimos cuadrados. Recta de mfnimos cuadrados. Recta de mínimos cuadrados en términos de varianzas y covarianza muestrales. Parábola de mínimos cuadrados. Regresión múItiple. Error típico de la estima, Coeficiente de correlación lineal. Coeficiente de correlación generalizado. Correlación gradual' Interpreüación probabilística de Ia regresión. Interpretación probabilfstica de la conelación. Teoría muestral de la regresión. Teoría muestral de correlación. Correlación y dependencia.

Capítulo

9

ANALISISDEVARIANZA.

.....306

Propósito del análisis de varianza. Clasificación simple o experimentos de un factor, Variación total. Variación dentro de tratamientos. Variación entre tratamientos. Métodos cortos para obtener variaciones. Modelo matemático lineal para análisis de varianza. Valores esperados de las váriaciones. Distribuciones de las variaciones. Ensayo F para la hipótesis nula de medias iguales. Notación para experimentos de dos factores, Variaciones para experimentos de dos factores. Análisis de varianza para experimentos de dos factores. Experimentos de dos factores con repetición. Diseño experimental.

Pás. A

.....341

ApóndiceA Temr¡m¡üemático¡ e z ..

Apóndice

B

&denad¡¡(y)dcl¡curvanorm¡ltipificadt

AÉndice

l1l U

Arearbrjolacurv¡no¡m¡ltipiñcededeO¡z

Apénd¡ce

D

Percenüil¡¡ (úr) de le di¡Hbución t dc Student

Apéndice

E

Percendla¡

Apénd¡ce

F

Percentila¡ 96 y 99 pera t¡. di¡tribució¡

f

Apéndice

G

Logaritmor dccim¡lc¡ con cultro cifta¡

.

Apéndice

H

Vdores de

a\

con, gndo¡

.... 944 ...

de

liberted

345

.

(f) del¡di¡tribuciónchiruedndocon/¡radordeübcrtrd ..... co¡

11,

ry gador de

liberted

¿-r

T Apéndicel Número¡ale¡torio¡

RESPT'ESTASAPROBLEMASSI.'PI,EMENTARIOS..

INDIGT.

947

.

348

.

860

.

.

346

. 962

..,..962

....

863

. 369

Parte

I

PROBABILIDAD

_l

'Cupítulo

7

Coniuntos y probqbilidqd EL CONCEPTO DE CONJUNTO

El concepto d,e conjunto es un pilar fundamental de la probabilidad y la estadística y de la matemática en general. Un conjunto puede considerarse como una colección de objetos, llamados míembros o elernentos del conjunto. En general, mientras no se especifique lo contrario, denotamos un conjunto por una letra mayúscula A, B, C, y un elemento por una leha minúsculao,b. Sinónimos de conjunto son c/cse, grupo y colección. _ Si un elemento a pertenece a un conjunto C escribimos a€ C. Sic noperteneceaC escribimos a é C. Si o y b pertenecen aC escribimos a, b e C.Para que un conjunto seabiendefínido, como siempre lo supondremos, debemos estar capacitados para determinar si un objeto específico pertenece o no al conjunto. Un conjunto puede definirse haciendo una lista de sus elementos o, si esto no es posible, describiendo alguna propiedad conservada por todos los miembros y por los no miembros. El primero se denomina el método de extensión y el segundo el método de comprensión. EJEMPLO 1,1. El conjunto de las vocales en el alfabeto puede definirse por el método de extensión como { a, e, i, o,

uloporelmétododecomprensióncomo{rlreeunavocal}, léase"elconjuntodeloselementos¡talesque¡es una vocal" donde la línea vertical I se lee "tal que" o "dado que". EJEMPLO 1.2. El conjunto {

¡ |¡

es

un triángulo en un plano ) es el conjunto de los triángulos en un plano.

Obsérvese que el método de extensión no puede utilizarse aquí.

EJEMPLO 1.3. Si lanzamos un par de dados comunes los "números" o "puntos" posibles que pueden resultar sobre la cara superior de cada dado son elementos del conjunto { 1, 2, 3, 4,5,6}.

SUBCONJUNTOS

Si cada elemento de un conjunto A también pertenece a un conjunto B llamamos a A un subconjuntodeB,escritoAcB6B:Ayleído"AestácontenidoenB"o"BcontieneaA" respectivamente. Se sigue que para todos los conjuntos

A tenemos A

Si Ac B y B CAllamamosa A y B iguales y escribimos A

C A.

: B. En este caso AyB

tienen

exactamente los mismos elementos.

A+

Si A no es igual a B, es decir si B.

SiA

C B pero

A y B no tienen exactamente los mismos elementos, escribimos

A + B llamamos aA un subconjunto propio

de B.

EJEMPLO 1.4. I a, i, u ) es un subconjunto propio de {o, e, i, o, u}.

EJEMPLO 1.5. { 4 o, a, u, e } es un subconjunto, pero no un subconjunto propio, de {o, e, i, o, u}, puesto que los dos conjuntos son iguales. Obsérvese que la sola redistribución de los elementos no cambia el conjunto. EJEMPLO 1.6. Al lanza¡ un dado los resultados posibles cuando el resultado es "par" son elementos del conjunto {2, 4,6\, el cual es un subconjunto (propio) del conjunto de todos los resultados posibles {L,2, 3,4, 5, 6).

a CONJUNTOS Y PROBABILTDAD

lcAP.

1

El teorema siguiente es verdadero para cualesq Teorema

I-I;

Si

AC B y B CC, entonces AC

C.

CONJUNTO UNIVERSAL Y CONJI.JNTO VACI( Para muchos propósitos restringimos nuestra

d

fico denominado el uniuerso del discurso, o simp espacio uniuersal y se denota por u. Los elemenr Es útil considerar un conjunto que no tiene r uacío o el conjunto nulo y se denota por p; es un EJEMPLO 1.7. Un conjunto importante que no8 es famili que pueden reprecentarre por puntoe en una línea reol lor subconjuntos{¡ | o < x = ó} y{r I a1x(ü} deR (r ( b¡ ee denominan interualos centdo y abierto reepecüiv I o 1x < b) se denomin¡n intcrvalo¡ eemi-abiertos o semi-t ,T,

EJEMPLO 1.8. El conjunto de todos los números reale¡ nulo o vacío ya que no hay nfimeros reales cuyos cua números complejoe el conjunto no es vacfo.

EJEMPLO 1.9. Si lanzamos un dado, el conjunto de todoe los resultados posibles es el universo {L,2,3,4, 5, 6}1. El conjunto de loe rcsultados que consisten de las caras 7 u 11 sobre un solo dado es el conjunto nulo.

DIAGRAMAS DE VENN Un r¡niverso u puede representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro de un rectángulo. En tal caso los subconjuntos de zt (como A y B indicados y sombreados en la Fig. 1-1) se representan por conjuntos de puntos dentro de los círculos. Tales diagramas denominados diagramas de Venn, sirven para da¡nos una intuición geométrica respecto a las posibles relaciones entre conjuntos.

OPERACIONES ENTRE CONJUNT\OS

1.

Unión. El conjunto de todos los elementos (o puntos) que pertenecen a A o a B, o tanto como aB, se llamala unión deA yB y se escribe Au B (región sombreada en la Fig. 1-2).

Fig.

2.

l -2

Fig. l-3

Fig.

1-4

Intersección. El conjunfio de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a llamala intersección dd Ay By se escribe A ñ B (región sombreadaen laFig. 1-3).

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

cAP.1l

DosconjuntosáyBtalesqueAnB:p,esdecir,guenotienenelementoscomunes'sella¡¡ran coniuntos disiuntos. En la Fig. L'L, A y B son disjuntos.

3.

Diferencia. El conjunto que consiste en todos los elementos de A qtlle no pertenecen a B llama la diferencia áe A y B, escrita por A - B (región sombreada en la Fig. 1-4).

el 1/, el B y lo escri

4.

B

se

se escribe

se llama

Si A :

saXl-B Fig. 1'6).

UB),. u

Fig. l-6

Fig. l-5

AIGUNOS TEOREMAS RELATIVOS A CONJI,'NTIOS

AUB = BUA Au(BuC) : (.4u^B)uC

I.cy conmutativa de l¿s uniones

=

AUBUC

Ley asociativa de las uniones

AñB = Bl\A

Ley conmutativa de las intersecciones

= (¿nB) nC -- AñB1C An(BuC) = (AnB)u(AnC') .4u(anC) = (AuB)n(AuC)

Ley asociativa de las intersecciones

.An(BnC)

Primera ley distributiva Segunda ley distribuüva

A-B = AñB' Si AcB, entonces

A')B' 6 B'c.{

AUQ-A,AnQ=9 AU'al -- 11, AnU

=

A

(AuB)' = A'ñB' (AnB)' = A'UB' A = (AnB)u(AnB') Los teoremas L-Lzo, t-Lzb

y 1-13 pueden

Primera ley De Morgan Segunda ley De Morgan Para cualquier conjunto generalizarse (véanse Problemas 1.69

A YB

y

1.74).

PRINCIPIO DE DUALIDAI) también es verdadero si remplaz-a¡nosr¡niones Cualquier resultado verdadero relativo a conjuntos -conjuntos por sus complementos y si invertimos los por inteÉecciones, interrecciones por uniones, y c f . símbolos de inclwión

CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

[cAP.

1

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Todos estamos familiarizados con Ia importancia de los experimentos en la ciencia y en la ingeniería. Un principio fundamental es que si efectuamos tales experimentos repetidamenle bajo condiciones aproximadamente idénticas obtenemos resultados que son esencialmente los mismos. Sin embargo, hay experimentos en los cuales los resultados no son esencialmente los mismos a pesar de que las condiciones sean aproximadamente idénticas. Tales experimentos se denominan experimentos aleatorios. Los siguientes son aLgunos ejemplos. EJ EMPLO 1 .1 0. Si lanzamos una moneda eI resultado del experimento es un "sello", simbolizado por S ( ó 0 ), o una "cara", simbolizadaporc(ó1),esdecirunodeloselementosdelconjuntóíqs)(ó{0, 1)).

'EJEMPLO

1.11. si lanzamos un dado el resultado del experimento

5,6).

es

uno de los números en el conjunto {L,2, g, 4,

EJEMPLO1.12. Silanzamosunamonedadosveces,elresultadopuedeindicarsepor{CC,CS,SC,SS) caras, cara la primera y sello la segunda, etc.

,dsdecirdos

EJEMPLO 1.13. Si tenemos una máquina que produce tornillos, el resultado del experimento es que algunos pueden estar defectuosos. Así cuando se produce un tornillo será un miembro del conjunto {defectuoso, no defectuoso}.

EJEMPLO 1.14. Si un experimento consiste en medir "la vida" de las lámparas eléctricas producidas por una compañía, entonces el resultado del experimento es el tiempo f en horas que se encuentra en algún intervalo, por ejemplo, 0 ú :: 4000, donde suponemos que ninguna lámpara eléctrica dura más de 4000 horas.

=

ESPACIOS MUESTRALES

Un conjunto oj que consiste en todos los resultados de un experimento aleatorio se llama un espacio muestral y cada uno de los resultados se denomina punto muestral, Con frecuencia habrá qás de un espacio muestral que describe los resultados de un experimento pero hay comúnmente sólo uno que suministra la mayoría de la información. Obsérvesé que eJ córresponde al conjunto universal. EJEMPLO 1.15. Si lanzamos un dado, un espacio o conjunto muestral de todos los resultados posibles se da por {1, 6 | en tanto que otro es lpar, impar) Sin embargo, es lógico que el último no sería adecuado pan determinar, por ejempio, si un resultado es divisible por 3.

2,3, 4,5,

Frecuentemente es útil dibuja-r un espacio muestral gráficamente. En tal caso es deseable util...