PROBLEMAS resueltos de estadistica y probabilidades aaa PDF

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se encontrara problemas resueltos paso a paso de la asignatura mencionada con la cual puedes seguir o aumentar tus conocimientos, resolviendo tus dudas....

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SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA ESTADISTICA

Y

PROBABILIDADES Una caja A contiene 9 cartas numeradas de 1 a 9 y otra caja B contiene 5 cartas numeradas de 1 a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta (sin remplazo); si la carta indica un número par, se saca otra carta de la misma caja; si la carta es de número impar, se saca una carta de la otra caja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas muestren números impares? SOLUCION: Como los eventos son independientes, usamos la regla general del producto: CAJA A: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

CAJA B: 1 2 3 4 5 5

Probabilidad de que al sacar la carta sea impar ( caja A)=฀฀(฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀) = 9

3

Probabilidad de que al sacar la carta sea impar ( caja B)=฀฀(฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀) = 5

∴ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀: 53 1 ฀฀(฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀) ∗ ฀฀(฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀) = ∗ = 9 5 3 Una urna contiene bolas numeradas 1, 2, 3. Se extrae una bola de la urna y luego se lanza una moneda tantas veces como el número que aparece en la bola extraída. Encuentre el número esperado de caras. SOLUCION: NOS PIDE LA ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA:Y la calculamos :฀฀(฀฀) = ∑ ฀฀฀ ฀ ฀฀(฀฀฀฀) Hallando las probabilidades mediante diagrama de árbol: C 1/2 1 bola 1/3 2 bolas

S CC CS

1/4

SC SS

1/3

CCC CCS

1/3

CSC 3 bolas

1/8

SCC CSS SCS SSC SSS

CARAS

PROBABILIDAD

1

1/6

0

1/6

2

1/12

1

1/12

1

1/12

0

1/12

3

1/24

2

1/24

2

1/24

2

1/24

1

1/24

1

1/24

1

1/24

0

1/24

1 1 1 7 + + = 6 12 24 24 1 1 11 1 1→ +2 +3 = 12 24 24 6 5 1 1 = +3 2→ 24 24 12 1 3→ 24 11 5 1 7 ฀฀ (฀฀) = 0 + 1 + 2 + 3 24 24 24 24 ฀฀ (฀฀) = 1 ฀฀฀฀฀฀฀฀ 0→

Considerando la siguiente función: f(x) =

Kx,

0≤x≤2

K(4-x),

2≤x≤4

0 ,

en otros casos

Hallar el valor de la constante K para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad. SOLUCIÓN: +∞

฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ : � −∞

4

2

=1 ฀฀(฀฀)฀฀฀฀

� ฀฀฀฀฀฀฀฀+ � ฀฀(4 − ฀฀)฀฀฀฀= 1 0

2

2

4

4

฀ ฀ � ฀฀฀฀฀฀+ 4฀ ฀ � ฀฀฀฀ −฀ ฀ � ฀฀฀฀฀฀= 1 0

2

2

฀฀ 4 ฀฀ 22 4 ฀ ฀ 2 |0 + 4฀฀฀฀|2− ฀฀ 2 |2 = 1 2

฀฀ 2 (2 − 02 ) + 4฀฀(4 − 2) − ฀฀(42 − 22 ) = 1 2 ฀฀ ฀฀ 4 + 4฀฀(2) − (12) = 1 2 2 1 4฀ ฀ = 1 → ฀฀ = 4

Sea X la variable aleatoria que denota el diámetro de un agujero taladrado en un componente metálico. El diámetro especificado es 12.5 milímetros. La mayoría de las perturbaciones aleatorias del proceso resultan en diámetros mayores. Por antecedentes se tiene que la función de densidad de X es:

f(x) =

20

e

-20(x-12.5) ,

0 Calcular P(12.5 < X < 12.6) SOLUCIÓN: Para resolver este problema

12.6

, x ≤ 12.5

solo tendríamos

∫12.5 20฀฀ −20(฀฀−12.5)฀฀฀฀ �

x > 12.5

que

calcular

la

integral:

12.6

12.5

20฀฀ −20(฀฀−12.5) ฀฀฀฀

−฀฀ 250 �

12.6

−20฀฀ −20฀฀฀฀฀฀

12.5 250 ]12.5= −฀฀ [฀฀ −20฀฀12.6

−฀฀ 250 �฀฀ −20(12.6) −฀฀ −20(12.6) � = 1 = −฀฀ 250 (฀฀ −252 −฀฀ −250 ) = −฀฀ −2 + ฀฀ 0 = −2 + 1 = 0.864664 ฀฀

Tarjetas de circuitos impresos se someten a pruebas de funcionamiento después de instalar en ellas chips semiconductores. Un lote contiene 40 tarjetas, y se seleccionan 10 tarjetas sin reemplazo para las pruebas de funcionamiento. Si hay 15 tarjetas defectuosas en el lote ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las tarjetas defectuosas esté en la muestra? SOLUCIÓN:

Este problema lo resolveremos por complemento: ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀. ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ℎ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ = 1 − ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀. ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ℎ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀(฀฀ ≥ 1) = 1 − ฀฀(฀ ฀ = 0) 15 25 ฀฀0. ฀฀10 30! .25 ! = 0.0038562 ฀฀(฀ ฀ = 0) = 40 = 40! .15 ! ฀฀10 ∴ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀. ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ℎ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀ ฀ = 1 − 0.0038562 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀. ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ℎ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ = 0.9961438

Se recolectó la anterior información de 500 pacientes de un centro psiquiátrico. Teniendo en cuenta los datos, se escoge un paciente al azar. Calcular: a) si el paciente escogido tiene depresión, cuál es la probabilidad de que sea hombre SOLUCIÓN: Este caso es sencillo dado que solo nos concentramos en la columna de DEPRESION, siendo los casos favorables 140 y nuestro caso total 290. 140 ฀฀= = ฀฀. ฀฀฀฀฀฀฀฀ 290 b) si el paciente no tiene transtorno alimenticio, cuál es la probabilidad de que sea mujer SOLUCIÓN: ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀, ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ 300 − 30 = 270 ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ 170 + 290 = 460 270 ฀฀= = ฀฀. ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ 460 Una pala mecánica consta de 4 componentes A, B, C1 y C2 Para que el sistema funcione son necesarios los componentes A y B y al menos uno de los C . Se sabe que las probabilidades que fallen A, B , C1 y C2 son respectivamente 0.01 , 0.10 , 0.15 y 0.10 y que los componentes se malogran independientemente unos de otros. Si el sistema funciona ¿cuál es la probabilidad que esté fallando C1 ? SOLUCIÓN:

Usaremos diagrama de árbol:

0.9

C2

0.1

฀฀2฀ ฀

C1 0.85 B 0.9

0.15

0.9

฀฀

฀฀1

A

0.1

฀฀2฀ ฀

0.9

C2

0.1

฀฀2฀ ฀

C1 0.1

0.85 ฀฀฀ ฀

0.99

0.15

0.85

฀฀1฀ ฀

0.9

C2

0.1

฀฀2฀ ฀

0.9

C1

C2

C2

0.1

฀฀2฀ ฀

0.9

C2

0.1

฀฀2฀ ฀

0.9

C2

0.1

฀฀2฀ ฀

0.9

C2

0.1

฀฀2

B 0.99 0.15 0.9

฀฀

฀฀1

฀฀฀ ฀ C1 0.1

฀฀฀ ฀

0.85

0.15

฀฀

฀฀1

฀฀ ฀฀ : ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ) + ฀฀(฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀: ฀฀( ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀) = ฀฀(฀฀฀฀฀฀1 ฀฀2 )฀฀+ ฀฀2฀฀(฀฀฀฀฀฀ 1 1 ฀฀)2 ฀฀( ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀) = 0.99 ∗ 0.9 ∗ 0.85 ∗ 0.9 + 0.99 ∗ 0.9 ∗ 0.15 ∗ 0.9 + +0.99 ∗ 0.9 ∗ 0.85 ∗ 0.1 ฀฀( ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀) = 0.681615 + 0.120285 + 0.075735 = 0.877635 ฀฀(฀฀฀฀ 0.99∗0.9∗0.15∗0.9 ฀฀฀ ฀ 1 ∩฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀) �= = ฀฀. ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀= ฀ ฀ � 1� ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ = 0.877635 ฀฀(฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀)

Tres tiradores hacen una descarga simultánea. Las probabilidades de hacer blanco son, respectivamente, 0,6 , 0,5 y 0,4. Calcular las probabilidades de los sucesos: a) Algún tirador hace blanco. b) Exactamente dos tiradores hacen blanco. c) El tercer tirador hace blanco, sabiendo que dos primeros lo han hecho. SOLUCIÓN: Usaremos diagrama de árbol:

0.4

C

0.6

฀฀ ฀ ฀

B 0.5 A 0.5 0.6

฀฀฀ ฀

0.4 0.6

฀฀ ฀ ฀

0.4

C

0.6

฀฀ ฀ ฀

B

0.4

0.5 ฀฀฀ ฀ 0.5

a)

b)

฀฀฀ ฀

C

0.4

C

0.6

฀฀ ฀ ฀

฀฀(฀฀) = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ú฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ℎ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀(฀฀ ฀฀ ) = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ú฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ℎ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀(฀฀) = 1 − ฀฀(฀฀ ฀฀ ) ฀฀(฀฀ ฀฀ ) = 0.4 ∗ 0.5 ∗ 0.6 = 0.12 ∴ ฀฀(฀฀) = 1 − ฀฀(฀฀ ฀฀ ) = 1 − 0.12 = ฀฀. ฀฀฀฀ ฀฀(฀฀ ) = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀, ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ℎ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀ ฀฀(฀฀) = ฀฀(฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ) + ฀฀(฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀) + ฀฀(฀฀฀฀ ฀฀฀฀) ฀฀(฀฀) = 0.6 ∗ 0.5 ∗ 0.6 + 0.6 ∗ 0.5 ∗ 0.4 + 0.4 ∗ 0.5 ∗ 0.4 ฀฀(฀฀) = ฀฀. ฀฀฀฀

c) ฀ ฀ = ฀฀ ฀฀ ฀฀ ℎ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ → ฀฀ = (฀฀ ∩ ฀฀ ฀฀ ) ∪ (฀฀฀ ฀ ∩ ฀฀ ) ฀฀ (฀฀ ∩ ฀฀ ) ฀฀[(฀฀ ∩ ฀฀ ฀ ฀ ∩ ฀฀) ∪ (฀฀฀ ฀ ∩ ฀฀ ∩ ฀฀)] ฀ ฀ ฀฀� � �฀฀= = = ฀฀(฀฀) ฀฀(฀฀) 0.6 ∗ 0.5 ∗ 0.4 + 0.4 ∗ 0.5 ∗ 0.4 = = ฀฀. ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ 0.38

En una urna hay 2 bolas rojas, 2 azules y 2 verdes. Se extraen 2 bolas con reemplazamiento: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color? SOLUCIÓN: a)

PROBABILIDAD

Haremos diagrama de árbol: ROJO

1/3

ROJO

1/9

VERDE

1/9

1/3 1/3

VERDE

1/3

1/3 AMARILL

AMARILL

1/9

1/3

฀฀(฀฀): ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀

1 1 1 ฀฀ ฀฀(฀฀) = + + = 9 9 9 ฀฀ b)

฀฀(฀฀): ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀(฀฀) = 1 − ฀฀(฀฀)

1 ฀฀ 3 ฀฀

฀฀(฀฀) = 1 − =

Se lanzan dos bolas en 4 cajas de tal forma que cada bola tiene la misma probabilidad de caer en cualquier caja. Sea X la variable aleatoria número de bolas en la primera caja. Encuentre la variancia de X SOLUCIÓN: ฀฀(฀฀): ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ = 4

1

3 ฀฀(฀฀฀ ฀ ) = 4 ฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀ ฀ = {0,1,2} 3 2 9 2∗� ฀฀(฀ ฀ = 0) = ฀฀ � = 0 16 4 3 3 1 2 ∗� �∗� � = ฀฀(฀ ฀ = 1) = ฀฀ 1 8 4 4 2 1 1 2 ฀฀(฀ ฀ = 2) = ฀฀ 2∗ � � = 16 4 9 1 3 ฀฀(฀฀) = 0 ∗ + 1 ∗ + 2 ∗ = 0.5 8 16 16 ฀฀฀฀฀฀(฀฀) = � ฀฀ 2 ∗ ฀฀(฀฀) − ฀฀ (฀฀)2 3 1 9 − (0.5)2 ฀฀฀฀฀฀(฀฀) = 02 ∗ + 12 ∗ + 22 ∗ 16 8 16 ฀฀฀฀฀฀(฀฀) = ฀฀. ฀฀฀฀฀฀...