Probabilitati - Note de curs 1 PDF

Preview

Summary

M3 – Exercit ̧ii din Teoria Probabilit ̆at ̧ilor seria IAC - UPB, 2013- titular de curs: conf. univ. I. LucaProbabilit ̆at ̧i condit ̧ionate1 ̧siBevenimente cu IP(A)= 38 , IP(B)= 58 ̧si IP(A∪B)= 34. S ̆a se afle IP(ASB), IP(BSA) ̧si IP(A∩CB).2 ̆a se arate c ̆a (a) IP(CASE)= 1 −IP(ASE); (b) IP(A∪BSE)...

Description

M3 – Exercit¸ii din Teoria Probabilit˘ a¸tilor seria IAC - UPB, 2013-2014 titular de curs: conf. univ. I. Luca

Probabilit˘a¸ti condit¸ionate 1. Fie A ¸si B evenimente cu IP(A) = 38 , IP(B) = 85 ¸si IP(A ∪ B) = 43 . S˘a se afle IP(A ∣ B ), IP(B ∣ A) ¸si IP(A ∩ CB ). 2. S˘a se arate c˘a (a)

IP(CA ∣ E) = 1 − IP(A ∣ E );

(b)

IP(A ∪ B ∣ E) = IP(A ∣ E ) + IP(B ∣ E ) − IP(A ∩ B ∣ E ).

3. Se arunc˘a o pereche de zaruri netrucate. Dac˘a suma obt¸inut˘a este 6, care este probabilitatea ca pe unul dintre zaruri s˘a fie un 2? 4. Meningita cauzeaz˘a ˆınt¸epenirea gˆatului cu probabilitate 50%, probabilitatea ca o persoana sa aib˘a meningit˘a este de 1/50000, iar probabilitatea de a avea gˆ atul ˆınt¸epenit este de 1/20. Care este probabilitatea ca un pacient cu gˆ atul ˆınt¸epenit s˘a aib˘a meningit˘a ? amplare, care 5. ˆIntr-o clas˘a sunt 12 b˘aiet¸i si 4 fete. Dac˘a trei elevi sunt selectat¸i la ˆıntˆ este probablitatea ca tot¸i trei s˘a fie b˘aiet¸i? R. 11/28 6. Cinci c˘art¸i sunt extrase una dup˘a alta dintr-un pachet de 52 de c˘art¸i. Care este probabilitatea ca toate s˘a fie de trefl˘a? R. 33/66640 7. O urn˘a cont¸ine 7 bile ro¸sii ¸si 3 bile albe. Trei bile sunt scoase din urn˘a una dup˘a alta. S˘a se afle probabilitatea ca primele dou˘a bile s˘a fie ro¸sii iar a treia s˘a fie alb˘a. R. 7/40 8. ˆIntr-o ¸scoal˘a 4% dintre b˘aiet¸i ¸si 1% dintre fete sunt mai ˆınalt¸i de 1.8m. Mai mult, 60% dintre elevi sunt fete. Dac˘a un elev este selectat la ˆıntˆ amplare ¸si acesta este mai ˆınalt de 1.8m, care este probabilitatea ca acesta s˘a fie fat˘a? Ind. Se aplic˘a formula Bayes: 3/11. 9. Un test medical este 90% de ˆıncredere, ın sensul urm˘ator: dac˘a o persoan˘a este bolnav˘a, testul efectuat acesteia va fi pozitiv cu probabilitatea 0.9, ˆın timp ce, dac˘a o persoan˘a nu este bolnav˘a, testul este pozitiv cu probabilitatea 0.1. Statisticile arat˘a c˘a c˘a ¸sansele ca o persoana dintr-o anumit˘a populat¸ie s˘a sufere de boala respectiv˘a sunt de 1 la 10000. Ionescu este supus unui astfel de test ¸si rezultatul este pozitiv. Care este probabilitatea ca Ionescu s˘a fie bolnav? Ind. Se aplic˘a formula Bayes : 0.0009.

1

10. Se dau dou˘a urne astfel: urna I cont¸ine 5 bile ro¸sii, 3 albe ¸si 8 negre, iar urna II cont¸ine 3 bile ro¸sii ¸si 5 albe. Un zar netrucat este aruncat: dac˘a apare 3 sau 6, o bil˘a este scoas˘a din urna II, ˆın caz contrar se face extract¸ia din urna I. S˘a se afle probabilitatea ca (a) o bil˘a ro¸sie s˘a fie extras˘a; (b) o bil˘a alb˘a s˘a fie extras˘a; (c) o bil˘a neagr˘a s˘a fie extras˘a. 11. Ne referim la problema 10. Dac˘a se extrage o bil˘a ro¸sie, care este probabilitatea ca aceasta sa provin˘a din urna I? 12. Cutia I cont¸ine 9 c˘art¸i, numerotate de la 1 la 9, iar cutia II cont¸ine 5 c˘art¸i, numerotate de la 1 la 5. O cutie este selectat˘a la ˆıntˆ amplare ¸si o carte este extras˘a. Dac˘a num˘arul de pe carte este par, s˘a se afle probabilitatea ca extract¸ia s˘a se fi efectuat din cutia I. R. 10/19 Independent¸˘a 13. Fie A ¸si B evenimente independente. S˘a se arate c˘a A ¸si CB sunt de asemenea independente. 14. Probabilitatea ca Ionescu s˘a mai tr˘aiasca mai mult de 10 ani este 1/4, iar proobabilitatea ca sot¸ia acestuia s˘a mai tr˘aiasca, de asemenea, mai mult de 10 ani este 1/3. S˘a se afle probabilitatea ca (a) ambii sot¸i s˘a fie ˆın viat¸˘a peste 10 ani; (b) cel put¸in unul dintre ei s˘a fie ˆın viat¸˘a peste 10 ani; (c) nici unul s˘a nu fie ˆın viat¸˘a peste 10 ani; (d) numai sot¸ia s˘a fie ˆın viat¸˘a peste 10 ani. 15. Doi student¸i, Ionescu ¸si Popescu, sunt ˆınregistrat¸i la un curs de calculatoare. Presupunem c˘a Ionescu este prezent la curs 80% din timp, iar Popescu 60% din timp, absent¸ele acestora fiind independente. (a) Care este probabilitatea ca cel put¸in unul dintre cei doi student¸i s˘a fie prezent la curs ˆıntr-o anume zi? (b) Dac˘a cel put¸in unul dintre cei doi student¸i este prezent la curs ˆıntr-o anume zi, care este probabilitatea ca Ionescu s˘a fie prezent ˆın acea zi? 16. Fie A ¸si B evenimente independente, a¸sa ˆıncˆat IP(A) = 1/4, IP(B) = 1/3. (a) S˘a se determine probabilitatea ca nici unul dintre evenimentele A si B s˘a nu se realizeze ˆın urma efectu˘arii experimentului. (b) S˘a se determine probabilitatea ca exact unul dintre aceste evenimente s˘a se realizeze. Variabile aleatoare 17. Fie ξ v.a. dat˘a de ξ∶

⎛ 80 90 100 110 120 ⎞ ⎝

1 5

1 5

1 5

2

1 5

1 5

⎠

¸si fie m ≡ E(ξ ). S˘a se determine tabloul de reartit¸ie al v.a. η = ∣ξ − m∣. 18. Fie ξ v.a. dat˘a de ξ∶

⎛ 1 0 1 ⎞ ⎝

1 5

2 5

⎠

1 5

.

S˘a se determine: (a) funct¸ia de repartit¸ie Fξ ; (b) media E(ξ ); (c) tabloul de repartit¸ie al v.a. η = ξ 2 ¸si E(η ). 19. Fie ξ v.a. dat˘a de ξ∶

1 ⎞ ⎛ 0 , ⎝ 1−p p ⎠

0 < p < 1.

S˘a se determine E(2ξ ). 20. Fie ξ o v.a. continu˘a cu densitatea de repartit¸ie ⎧ cx + 3 , −3 ≤ x ≤ −2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p(x) = ⎨ 3 − cx , 2 ≤ x ≤ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ˆın rest. ⎪ ⎩ 0,

S˘a se determine (a) constanta c ;

(b) funct¸ia de repartit¸ie Fξ . 21. O v.a. continu˘a ξ ia valori ˆın [0, 1], iar funct¸ia ei de repartit¸ie satisface Fξ (x) = x2 ,

S˘a se determine

IP (

3 1...