Problema 3H2 - Ejercicio del Libro de fenómenos de transporte Bird PDF

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Ejercicio del Libro de fenómenos de transporte Bird ...

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN FENÓMENOS DE TRANSPORTE

Problema 3H2 y 3F2 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD ENTRE DOS CILINDROS QUE GIRAN Alumnos: Vázquez Sánchez José Antonio

Grupo: 1351 Carrera: Ingeniería Química Semestre: 2020-1 Profesor: Martin Rogelio Cruz Diaz Fecha: 7 de Enero del 2021

Problema 3H2: Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran Determina el valor V θ (r ) entre dos cilindros coaxiales de radio R y KR que giran con velocidad angulares Ω 0 y Ω1 respectivamente. Su póngase que el espacio comprendido entre dos cilindros está ocupado por un fluido incomprensible que se mueve en flujo laminar.

Condiciones: Si el fluido es laminar y solo existe velocidad angular ( V θ ) , por lo tanto, la V z son despreciables. Empleando la ecuación de continuidad Coordenadas cilíndricas. ∂ 1 ∂ ∂ρ 1 ∂ + + ( ρr v r) + ρ v θ ) + ( ρ v z ) =0 ( ∂t r ∂r r ∂θ ∂z V r =0 V z =0 1 ∂ ρ ( v )=0 τ ∂θ θ d (v ) =0 dθ θ Ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas

(

[ (

)

)]

2 2 ∂ vθ vθ ∂ vθ vr vθ ∂ v θ −1 ∂ P ∂ vθ 1 ∂ vθ 2 ∂ vr ∂ vθ ∂ 1 ∂ +v r + vz +μ + + ρ = + 2 + ρ gr ( r vθ)+ 2 2 + 2 ∂t r ∂r r ∂θ ∂r r ∂r ∂z r ∂θ r ∂θ r ∂θ ∂ z

Ecuación de continuidad μ

[ (

)]

(

)

(

)

∂ 1 ∂ d 1 d 1 d r vθ ) =0 ; r v θ ) =0 ; ∫ d ( ( ( r v θ ) =∫ 0 dr r dr dr r dr ∂r r ∂ r

d 1 d r v =C → r v =C 1 r r dr ( θ ) 1 dr ( θ )

∫ d ( r v θ) =∫ C1 r dr r v θ=

C1 r2 + C2 2 2

vθ = Evaluando la condición frontera

C1r C2 + 2 r

Vr

y la

v θ =Ω 1 kR en r=kR v θ =Ω 0 R enr = R Sustituyendo Evaluando condicion de frontera 1 Ω 1 kR=

(

)

(

2 C 1 kR C2 C kR C1 ( kR ) C 2 2 2 + →C 2= Ω 1 kR− 1 →C 2=( kR ) Ω1− 1 kR → C2=Ω 1 k R − 2 2 2 kR 2

Evaluando condicion de frontera 2

Ω 0 R=

C R C1 R C 2 + → Ω0 R= 1 + 2 R 2

(

k 2 R 2 Ω 1−

C1 2

) → Ω R= C R +k R Ω − k R C 0

R

1

2

Ω 0 R−k 2 R Ω1=

(

2

1

2

1

2

)

C1 R ( 1−k 2) 2

2

C1 =

2(Ω 0−k 2 Ω1 ) 2 (Ω 0 R−k R Ω1) →C = 1 R 1−k 2 ( 1−k 2 )

(

2

2

Ω 0 −k Ω 1 1−k 2

2 2 C 2 =k R Ω 1−

2

C 2 =k R

2

(

2

)

2

2

Ω 1−Ω 1 k −Ω0 + k Ω1 1−k

2

C2 =k 2 R 2 Sustituyendo en

[

vθ =

v θ =r

[

1−k 2

2

(

2

(

)

2

→ C2=k R

Ω 0 −Ω 1 1−k 2

2

] [ ) ] [ −

2 2 1 k R ( Ω0 −Ω 1 ) r 1−k 2

1−k

(

1−k

)

]

Multiplicando por y dividiendo por R2

r R ( Ω0 −Ω 1 k 2) 2

vθ =

R 2(1−k 2 )

[

−

2

Ω0 −Ω 1

]

vθ =

)

Ω 0−k Ω 1

vθ

2 ( Ω 0−Ω1 k 2) r 1 k 2 R 2 ( Ω 0−Ω 1 ) + 2 r 1−k 2 1−k 2

( Ω 0−Ω1 k 2

2

→C 2=k R Ω 1−

2 4 1 k R ( Ω 0−Ω1) r (1−k 2)R 2

]

1 k2 4 2 2 R (Ω0 −Ω 1) R − Ω − Ω k r ( ) 0 1 2 2 r R (1−k )

2

)

)

Problema 3F2 Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer Un viscosímetro de Stormer consta esencialmente de dos cilindros concéntricos, el interior de los cuales gira, mientras que el exterior permanece estacionario. La viscosidad se determina midiendo la velocidad de rotación del cilindro interior por efecto de la aplicación de un par conocido. Deducir una expresión para la distribución de velocidad en este tipo de aparatos, en función del par aplicado, para el flujo laminar de un fluido newtoniano. Despréciense los efectos finales.

Empleando la ecuación de continuidad Coordenadas cilíndricas. ∂ 1 ∂ ∂ρ 1 ∂ + + ( ρr v r) + ρ v θ ) + ( ρ v z ) =0 ( ∂t r ∂r ∂z r ∂θ V r =0 V z =0

1 ∂ ρ ( v )=0 τ ∂θ θ d (v ) =0 dθ θ Ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas

(

[ (

)

)]

2 2 ∂ v θ −1 ∂ ρ ∂ vθ vθ ∂ vθ vr vθ ∂ vθ 1 ∂ vθ 2 ∂ vr ∂ vθ ∂ 1 ∂ + + = +μ + vz +v r ρ ( r v θ )+ 2 2 + 2 ∂ θ + 2 + ρ gr ∂r r ∂θ r ∂θ ∂z r ∂t ∂ r r ∂r ∂z r ∂θ r

Ecuación de continuidad r v θ=v θ μ

[ (

)]

(

)

(

)

∂ 1 ∂ d 1 d 1 d ( v ) =0 ; dr r dr (v θ ) =0; ∫ d r dr ( v θ ) =∫ 0 dr ∂r r ∂ r θ

1 d v =C1 r dr ( θ )

∫ d ( vθ ) =∫ C 1 r dr v θ =C 1 r +C2

v θ =C1 r + Evaluando la condición frontera

C2 r

v θ =Ω 1 kR en r=kR v θ =0 en r= R Sustituyendo Ω 1 kR=C1 kR +

C2 2 2 2 2 →C 2=kR ( Ω 1 kR −C 1 kR ) →C 2= Ω1 k R −C 1 k R kR

2 2 C 2 =(k R ) ( Ω 1−C 1 )→ C2 = ( kR ) ( Ω 1−C 1) 2

0=C 1 R +

2 2 k R ( Ω 1−C 1 ) C2 2 → 0=C 1 R+ k R( Ω1−C 1 ) → 0=C 1 R+ R R 2

2

0 =C1 R +k R Ω 1−R C1 → 0 =R(C 1+ k Ω 1−C1 ) 2

2

0=C 1 +k Ω 1−C 1 → 0=k Ω 1 2

2

2

C 2 =Ω 1 k R − C 1 k R

vθ =

( )

[

kR Ω1 R r − r R 1 −k k

( )

[

2

]

v θ k R2 Ω 1 1 1 = − 2 r 1 r2 R −k k

( )

]...