Problema 4 - ejercicio PDF

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4.7. Una espira rectangular de lados a = 6 cm y b = 8 cm con densidad de masa lineal λ= 0.15 g/cm pivota sin rozamiento respecto a uno de sus lados de longitud a (ver figura).

La corriente que pasa por la espira es I = 8.2 A en la dirección mostrada en la figura. Encontrar el valor y el sentido del campo magnético paralelo al eje y que hace que la espira gire hacia la derecha hasta formar un ángulo de 30 grados con el plano YZ.

PLANTEAMIENTO: El enunciado nos dice que la espira gira hacia la derecha hasta formar un ángulo de 30 grados. Fíjense que nos dicen que la rotación ocurre respecto del lado superior. En esa posición la espira se encuentra en equilibrio, es decir en esa posición la suma de todos los momentos de las fuerzas ejercidas sobre la espira es nulo. Los pasos a seguir para resolver este problema son 1) Evaluar qué fuerzas producen momento (torque) no nulo sobre la espira 2) Imponer la condición de equilibrio estático cuando la espira esté a 30 º , esto es, que la resultante de los torques ha de ser cero: ∑ ฀฀ = 0 Por un lado, tenemos el peso de la espira, que como explicaremos a continuación en detalle, produce un movimiento de rotación respecto del eje colocado en el lado superior. Por otro lado, tenemos la fuerza magnética que está actuando sobre cada tramo recto de la espira. Como el campo magnético presente en el problema es uniforme, las cuatro fuerzas magnéticas se compensan dos a dos y la fuerza magnética total sobre la espira es cero (como vimos en teoría). Sin embargo, la fuerza magnética produce un momento (torque) que viene dado por ฀฀ = ฀฀ ×�฀฀ . Ese momento es el mismo respecto a cualquier punto, ya que el momento total de la fuerza magnética se puede obtener como resultado de la suma de los momentos magnéticos sobre los pares simétricos de elementos de corriente que forman la espira (como hicimos en teoría) y el momento del par es independiente del punto elegido. Para que la espira quede en equilibrio, la suma de ambos torques debe ser cero. Así, encontramos que el torque debido a la fuerza magnética debe compensar el torque que genera el peso. Esa condición nos dará el valor de B y el sentido que ha de tener.

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DESARROLLO: Desarrollamos los puntos que hemos detallado: 1.- ¿Qué fuerzas producen la rotación de la espira (torque no nulo)? El peso de la espira: Es una fuerza con Dirección y sentido vertical y hacia abajo. De acuerdo a nuestro sistema de referencia: -j. Esta fuerza se aplica en el centro de masas de la espira. Dada la geometría de la espira y que la masa se distribuye uniformemente por su perímetro, el centro de masas se encuentra en el centro de la espira (punto de máxima simetría). Representamos el peso y vemos que se trata de una fuerza aplicada a una distancia del eje de giro. El vector posición del punto de aplicación del Peso respecto al eje de giro lo llamamos r. La siguiente figura ilustra los vectores citados utilizando dos perspectivas: Figura de la izquierda: es la que nos da el enunciado, Figura de la derecha: es la proyección de la figura en el plano XY (es decir, estamos viendo la espira “desde el eje z”). Note la orientación de los ejes de referencia. Esta representación será muy útil a la hora de hacer los cálculos del torque.

r

r θ=

y Peso

x z

Peso

I

El torque del peso respecto al punto será: ฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀

= ฀฀ ������� × ฀฀฀฀฀฀฀฀

El torque es una magnitud vectorial por lo que tenemos que describir su módulo, su dirección y su sentido. Dirección: De acuerdo con las reglas del producto vectorial, el vector torque será perpendicular al plano formado por r y Peso. Como se ve en la siguiente figura tanto r como Peso están contenidos (dibujados) en el plano XY, por lo que el vector torque 2

estará en la dirección Z. Recordemos que la dirección del vector torque define EL EJE respecto al cual se produce la rotación.

θ = 30°

r

y

Peso

x

Sentido: El sentido de giro será el que obtengamos al aplicar la regla de la mano derecha. Es importante recordar que para aplicar esa regla, tanto r como el peso deben estar aplicados en el mismo punto. Si deslizamos el vector r hasta hacer coincidir su origen con el vector peso, vemos que al llevar r sobre el Peso por el camino más corto, resulta un sentido de giro horario y el sacacorchos “entraría” (como indica la figura).

I

z

Módulo: |฀฀| = |฀฀||฀฀฀฀฀฀฀฀| sin ฀฀ Donde α es el ángulo que forman r y el Peso. Como el peso está en la dirección vertical, podemos ver que ese ángulo es justamente 30 °. θ = 30° y x

r = 4 cm (mitad de la longitud de la varilla). Recuerden que el peso está aplicado en el centro de masas de la espira, que está justamente en su centro.

r

Peso

I

Así obtenemos:

z

฀฀ |฀฀| = |฀฀||฀฀฀฀฀฀฀฀| sin ฀ ฀ ฀฀฀฀ = sin 30 2 Para calcular la masa de la espira disponemos de la densidad líneal de masa. Como se trata de una distribución uniforme de masa, la masa total será: ฀ ฀ = ฀฀฀฀ donde L es la longitud total de la espira. Sumando la longitud de sus lados tenemos: L = 2a + 2b = 2 (a+b) Y la masa será: ฀ ฀ = ฀฀2(฀ ฀ + ฀฀) Así el módulo del torque generado por el peso respecto al lado superior de la espira: ฀฀

|฀฀| = ฀฀2(฀ ฀ + ฀฀)฀ ฀ sin 30 2

(1)

En definitiva: ฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀

฀฀ = ฀฀2(฀ ฀ + ฀฀)฀ ฀ sin 30 (−฀฀) 2

3

Torque (o momento magnético) generado por la fuerza magnética. Como vimos en teoría, ese torque es el debido a la acción de las fuerzas magnéticas sobre la espira. Estas fuerzas generan un par, de modo que el momento es el mismo respecto a cualquier punto. El momento sobre cualquier espira es igual al producto �, vectorial del momento magnético ฀฀ de la espira y del campo magnético ฀฀ � ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀é฀฀฀฀฀฀฀฀ = ฀฀ × en donde el momento magnético ฀฀ : . ฀฀ = ฀฀฀฀ Donde A es el vector área de la espira, que es perpendicular al plano de la espira y cuyo sentido viene descrito por la regla de la mano derecha que se muestra en la figura. El momento generado por la fuerza magnética tiende a girar la espira de modo que el vector ฀฀ se alinee con �฀฀.

Representamos ambos vectores en la figura de nuestro problema. Apliquen la regla de mano derecha para determinar el sentido de ฀฀ . Verán que tiene sentido ENTRANTE como indica la figura. Como ya hicimos anteriormente incluímos la vista “desde el eje z” para visualizar mejor los vectores que entran en juego. Recuerden que el enunciado nos � tiene dirección vertical (es decir está en el eje Y). Tenemos que determinar dice que ฀฀ su sentido.

¿B?

μ

θ= y x

μ I

z

Con la información que tenemos hasta ahora no sabemos hacia donde rotará la espira por acción del campo magnético, ya que NO CONOCEMOS el sentido del campo magnético. Para determinarlo, hemos de recurrir a la CONDICIÓN DE EQUILIBRIO que nos dice el enunciado. 2) imponer la condición de equilibrio estático cuando la espira esté a 30° :∑ ฀฀� = ฀฀

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Para que la espira esté en equilibrio a 30° el torque del peso ha de compensar el torque de la fuerza magnética: ฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀

+ ฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀

=0

⟹

฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀

= −฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀

Esto nos indica que: i)

El módulo del torque magnético es igual al módulo del torque del peso cuando la espira está a 30°. El torque magnético tiene la misma dirección PERO SENTIDO CONTRARIO al torque del peso. Así el torque magnético tiene DIRECCIÓN z y SENTIDO POSITIVO: +k

ii)

Así, imponiendo la condición de equilibrio a la espira a 30°, hemos deducido que el torque magnético tiene que producir un giro en torno al eje Z en sentido ANTIHORARIO, como se indica en verde en la figura de la derecha. ¿Qué sentido tiene que llevar el campo B para producir ese giro? Hay dos posibilidades.

¿B?

θ = 30° y

θ = 30°

r y

x

Peso

I

z

x z

τPESO

μ I

τMAGNÉTICO

Vamos a ver cuál de ellas origina el giro ANTIHORARIO respecto del eje z, que indica la figura de la derecha.

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Analizamos los dos casos por separado (B hacia arriba y B hacia abajo). Para ver el sentido de giro hemos de llevar ฀฀ sobre �฀฀por el camino más corto en cada caso. En la figura se indica el sentido de giro resultante.

Caso

Caso

B

θ = 30°

θ = 30°

y

y

μ

x

x

I

z

z

μ

B I

τMAGNÉTICO

τMAGNÉTICO Como vemos, para reproducir el torque magnético deseado, el campo magnético tiene que apuntar hacia abajo: Dirección –j (sentido negativo de la dirección Y). � = −฀฀฀฀ ฀฀ Para determinar el módulo del campo B, nos queda imponer la condición de que ambos torques tienen el mismo módulo: |฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀ |

= |฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ |

⇒ |฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ |

฀฀ =฀฀2(฀ ฀ + ฀฀)฀ ฀ sin 30 2

Calculemos ahora el módulo del torque magnético: |฀฀| = |฀฀||฀฀| sin ฀ ฀ = ฀฀฀฀|฀฀| sin ฀ ฀ = ฀฀(฀฀฀฀)|฀฀| sin ฀฀ Donde hemos aplicado que |฀฀| = ฀฀฀฀ siendo A el área de la espira A =ab. α es el ángulo que forman ฀฀ y �฀฀. Atendiendo al dibujo, vemos que el ángulo que forman � es 90-30 = 60 grados. Fíjense que ฀฀ � va en la vertical, y ésta forma 30° con el lado ฀฀ y ฀฀ de la espira y que ฀฀ es un vector que por definición está perpendicular al plano de la espira y por lo tanto, perpendicular a cada lado de la espira:

30° y

μ

90°-30° 30°

x z

B

I

τMAGNÉTICO 6

|฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀ |

= |฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ |

|฀฀

⇒ |฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ |

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ |

฀฀ =฀฀2(฀ ฀ + ฀฀)฀ ฀ sin 30 2

= ฀฀(฀฀฀฀)|฀฀| sin 60

Igualando ambas expresiones y despejando el valor del módulo de B: ฀฀ ฀฀2(฀ ฀ + ฀฀)฀ ฀ sin 30 = ฀฀(฀฀฀฀)|฀฀| sin 60 ⇒ 2

฀฀ ฀ + ฀฀)฀ ฀ sin 30 2 ฀฀2(฀ |฀฀| = ฀฀(฀฀฀฀) sin 60

Sustituyendo los valores en el SI: λ= 0.15 g/cm = 0.015 kg/m a = 6 x 10-2 m b = 8 x 10-2 m obtenemos: |฀฀| = 0,024 ฀฀ Finalmente, el valor del campo magnético que hace que la espira gire hacia la derecha hasta formar un ángulo de 30 grados con el plano YZ es:

� = −0,024฀฀ ฀฀ ฀฀

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