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Ejercicios y teoría de la realización de los problemas de sturm-Liouville....

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Universidad Estatal de Cuenca Facultad de Ingeniería

Problemas de Sturm-Llouville

Profesor: Ing. Juan Ugalde Estudiante: Materia: Ecuaciones diferenciales

Ciclo: Septiembre 2015 – Febrero 2016

Universidad Estatal de Cuenca

Problemas de Sturm-Liouville Sturm y Liouville demostraron que las ecuaciones de Bessel, Legendre y otras ecuaciones importantes en la ingeniería pueden considerarse desde un punto de vista común, con el resultado de que se obtienen familias de soluciones que resultan muy convenientes para la representación de series de funciones dadas que se presentan en mecánica, conducción de calor, electricidad y otras aplicaciones físicas.

Ecuación general de Sturm-Liouville Esta ecuación es de la forma:

[r ( x ) y ' ]' + [ q ( x ) +λp ( x ) ] y=0 Hay un sin número de ecuaciones que se pueden escribir de la forma de la ecuación de SturmLiouville, aquí se da como ejemplo la ecuación de Bessel y a continuación la de Legendre.

Ecuación de Bessel en la forma Sturm-Liouville 2 dy ' ' d y ' ,y = 2 La variable independiente está escrita como w y y = dw dw 2 2 w 2 y ' ' + w y ' + ( w −n ) y=0

Puede transformarse haciendo cancelarse

k

2

y

k

w=kx ; entonces

y ' = y ' / k , y '' = y '' / k 2

y se obtiene (al

en los dos primeros términos)

x 2 y ' ' + x y ' + ( k 2 x 2−n2 ) y =0 Y al dividir entre x

de pase de una ecuación de Bessel a una Sturm-Liouville '

( −nx + λx ) y=0

[ x y' ] +

2

(λ=k 2 )

Ecuación de Legendre en la forma de Sturm-Liouville Ecuación de Legendre:

( 1−x 2) y '' −2 x y' + n (n +1 ) y=0 Puede escribirse: '

[ ( 1−x 2 ) y ' ] + λy=0

[ λ=n ( n+ 1 ) ]

Estas dos ecuaciones hasta ahora presentadas se encuentran la forma de la ecuación SturmLiouville

[r ( x ) y ] + [ q ( x ) +λp ( x ) ] y=0 ' '

Hay otras ecuaciones que pueden escribirse en esta forma. La ecuación Sturm-Liouville más simple es: ''

y + λy=0 Con r= p=1 1

y

q=0 Diego Alvarez

Universidad Estatal de Cuenca La ecuación Sturm-Liouville se considera en un intervalo dado continuidad de p , q y r así como:

a≤ x≤b

y se supone

p(x)>0 En este intervalo. En los puntos extremos (puntos frontera) condiciones de frontera:

a

y

b

se imponen las

k 1 y ( a ) +k 2 y ' ( a) =0 l 1 y ( b) +l 2 y ' (b )=¿ 0 Con las constantes k 1 y k 2 sin ser ambas cero, y las constantes l 1 y l2 sin ser ambas cero. El problema con valores en la frontera se llama problema de Sturm-Liouville. Evidentemente y=0 es siempre una solución del problema, pero carece de uso práctico. Lo que quiere encontrarse es soluciones de

[r ( x ) y ] + [ q ( x ) +λp ( x ) ] y=0 ' '

(1)

Que satisfagan

k 1 y ( a ) +k 2 y ' ( a) =0

(2)

' l1 y (b ) +l2 y (b )=¿ 0

Sin ser una identidad con cero. A tal solución y (x) –si existe- se le llama Eigenfuncion y al número λ para el que existe una eigenfuncion se le llama Eigenvalor del problema.

Existencia de eigenvalores Eigenvalores de un problema de Sturm-Llouville (1), (2), incluso en un número indefinido, existen bajo condiciones bastantes generales sobre p , q , r en (1). Condiciones suficientes son p ( x )> 0 y r (x )>0 en a ≤ x ≤ b .

Naturaleza real de los eigenvalores p , q , r y r ' en (1) son funciones con valores reales y continuas en el intervalo y p es positiva o negativa en ese intervalo entonces todos los eigenvalores del problema de Sturm-Llouville (1), (2) son reales.

Además, si

a≤ x≤b

Esto es lo que esperaría un ingeniero ya que los eigenvalores muchas veces se relacionan con frecuencias, energías y otras cantidades físicas que deben ser reales.

Para los problemas regulares de Sturm-Liouville se cumple: 1. Todos los autovalores λ son reales. 2. Existe una cantidad infinita de autovalores:

λ1 < λ 2< …< λ n< λn+ 1< … Con un autovalor mínimo, y verificando

λn → ∞ cuando n → ∞

3. A cada autovalor λn le corresponde una autofuncion, denotada por y (x) (que es única salvo constantes multiplicativas), que tiene exactamente (n−1) ceros en el intervalo a ≤ x ≤ b . 2

Diego Alvarez

Universidad Estatal de Cuenca 4. Las autofunciones y (x) forman un conjunto “completo”, es decir, cualquier función suave a trozos f ( x ) se puede representar en serie de Fourier generalizada de las autofunciones: ∞

f (x)

∑ an y n ( x ) n=1

an .Más aun, esta serie converge

Para ciertos coeficientes generalizados de Fourier

al

x +¿ ¿ valor medio x−¿ en a ≤ x ≤ b . f¿ ¿

5. Las autofunciones correspondientes a autovalores distintos son ortogonales respecto a la función peso p ( x ) es decir: b

∫(x) ym (x) p ( x ) dx=0

Si

λ n ≠ λm

a

6. Cada autovalor está relacionado con su autofuncion correspondiente mediante el cociente de Rayleigh:

−rydy /dx λ=CR ( y) ≡

b b

a+∫ [ r (dy /dx )2−q y 2 ] dx a b

∫ y 2 pdx a

Algunos de estos resultados pueden ser validos también para problemas de autovalores de Sturm-Liouville que no son regulares, es decir, con condiciones de contorno más generales, de periodicidad o de no singularidad. Las condiciones de periodicidad son

dy dy ( a ) =, r ( b) (b ) ; las condiciones de no dx dx acotado siempre que la función p(x) se anule, de

y ( a )= y ( b ) , r ( a )

singularidad imponen y manera que el producto py

se anule en ese punto.

Ejemplo e ilustración del teorema de Sturm-Liouville Podemos ver el significado de estos resultados usando el ejemplo más sencillo de problema de Sturm-Liouville regular:

{ 3

d2 y + λy =0 dx2 y ( 0 )=0 y ( L)=0 Diego Alvarez

Universidad Estatal de Cuenca En este caso la ecuación diferencial con coeficientes constantes tiene condiciones de contorno nulas en ambos extremos. Como ya sabemos, los autovalores y sus correspondientes autofunciones son

λn =(

nπ 2 ) , L

y n ( x ) =sen

nπx , L

n=1,2, 3, … ,

Lo que da lugar a una serie de Fourier de senos. Vemos que los autovalores son reales, forman una sucesión con un primer autovalor λ1=(π / L)2 , y que se tiene λn → ∞ cuando n → ∞ Las autofunciones y ( x )=sen(nπx / L) , una para cada autovalor, tienen exactamente ( n−1) ceros cada una en el intervalo ( 0 , L ) : la función sen(nπx / L) , no tiene ceros sen (2 πx / L) , se anula una única vez en ( 0 , L ) sen (3 πx /L) , tiene dos ceros, etc. Las autofunciones se pueden utilizar siempre para representar cualquier función suave a trozos

f (x)

∑ an sen ( nπx L ) ∞

f (x)

n=1

Reconocemos en este desarrollo una serie de Fourier de senos. De hecho estas autofunciones son ortogonales con peso de Fourier. Los coeficientes an

∂=1

como sabemos de las series

son aquí los coeficientes de Fourier del desarrollo en serie de senos.

Finalmente cada autovalor se relaciona con su autofuncion de la siguiente manera L

∫(d y n /dx )2 dx λn =CR ( y n) ≡

0 L

∫ y n2 dx 0

L

(nπ / L)2∫ (cos(nπx / L))2 dx 0 = =( nπ /L )2 L

∫ sen( nπx / L)2 dx 0

Ortogonalidad Las eigenfunciones de los problemas Sturm-Liouville poseen notables propiedades generales; ante todo la Ortogonalidad que se define como sigue:

Definición de Ortogonalidad: Las funciones y 1 , y 2 , … definidas en un intervalo a ≤ x ≤ b a ≤ x ≤ b con respecto a una función peso ∂ ( x ) > 0 si:

se llaman ortogonales en

b

∫ p ( x ) y m ( x ) y n ( x ) dx=0 para m ≠ n (3 ) a

La norma

‖ y m‖

√∫

de

y m se define por:

b

‖ y m‖=

2

p( x ) y m ( x ) dx (4)

a

4

Diego Alvarez

Universidad Estatal de Cuenca Las funciones se llaman ortonormales en todas tienen norma 1.

a≤ x≤b

si son ortogonales en

a≤ x≤b

y

En lugar de ortogonal con respecto a ∂ ( x )=1 se dice simplemente ortogonal. Así, las funciones y 1 , y 2 , … son ortogonales en un intervalo a ≤ x ≤ b si: b

∫ ym ( x) y n ( x ) dx=0 para m ≠ n ( 3 ' ) a

La norma

√

‖ y m‖

de

y m se define entonces por:

b

‖ y m‖= ∫ y m ( x ) dx (4 ') 2

a

Y las funciones se llaman ortonormales en tienen norma (4’) igual a 1.

a≤ x≤b

si todas son ortogonales ahí y todas

Ejemplos de los problemas de Sturm-Liouville Ejemplo 1 Encontrar los autovalores y autovectores de la siguiente ecuación diferencial:

y '' +λy =0, y ( π ) = y ( −π ) , y ' (π )= y '(− π ) A partir de la solución general y= Acos ( kx )+Bsen(kx) , donde condiciones en la frontera se obtienen las dos soluciones.

k =√ λ , y de las

Acos ( kπ ) +Bsen ( kπ ) = Acos (−kπ ) +Bsen (−kπ ) −kAsen ( kπ ) + kBcos ( kπ )=− Asen (−kπ ) + kBcos(− kπ ) Puesto que

cos (−a )=−cos(a)

y sen ( −a )=−sen(a ) , se obtiene

2 2 sen ( kπ )=0, λ=k =n =0,1, 4, 9, …

Por lo tanto las eigenfunciones son

1, cos x , sin x , cos 2 x ,sin 2 x , … Cualesquiera dos de estas funciones que pertenecen a eigenvalores diferentes son ortogonales en el intervalo −π ≤ x ≤ π y la Ortogonalidad de cos mx y sin mx para la misma m se sigue por integración: π

π

−π

−π

∫ cos mx sin mx dx = 12 ∫ sin 2 mx dx=0 Para las normas se obtiene ‖1‖=√ 2 π y √ π para todas las demás, por consiguiente, un conjunto ortonormal de eigenfunciones del problema es:

1/ √2 π , cos x / √ π , sin x / √ π , cos 2 x / √ π , sin 2 x /√ π , … Ejemplo 2 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre. 5

Diego Alvarez

Universidad Estatal de Cuenca Como sabemos la ecuación de Legendre es una ecuación Sturm-Liouville '

[ ( 1−x 2 ) y ' ] + λy=0

[ λ=n ( n+ 1 ) ]

Con r=1−x 2 , q=0 y p=1. Puesto que r ( −1) =r ( 1)=0, no se necesitan condiciones en la frontera, pero se tiene un problema singular de Sturm-Liouville en el intervalo −1≤ x ≤ 1 . Se sabe que para n=1,2, … de donde λ=0,1∗2,2∗3 , … , los polinomios de Legendre Pn (x) son soluciones del problema. Por lo tanto estas son las eigenfunciones que deben ser ortogonales en ese intervalo, es decir: 1

∫ Pm ( x ) Pn ( x ) dx=0 ( m ≠ n ) −1

La norma es:

√

1

‖Pm ‖= ∫ Pm (x ) dx= −1

6

2

√

2 (m=0, 1, … ,) 2 m+1

Diego Alvarez...