Problemas Resuelto de Dinamica Aplicada Vasco Duke Cristobal Cherigo PDF

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Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Mecánica Ingeniería Mecánica Dinámica Aplicada Problemas Resueltos Rafael Silvera Autores: Vasco Duke Pe-12-2201 Cherigo Cristóbal 1-IM-131 Año Lectico 2012 Problema # 1 Determine la constante de resorte equivalente del sistema de la figura 1....

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Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Mecánica Ingeniería Mecánica Dinámica Aplicada Problemas Resueltos Rafael Silvera Autores: Vasco Duke Pe-12-2201 Cherigo Cristóbal 1-IM-131 Año Lectico 2012

Problema # 1 Determine la constante de resorte equivalente del sistema de la figura 1.67.

Problema # 2 Considere un sistema de dos resortes con rigideces y , dispuestos en paralelo como se muestra en la figura 1.68. La barra rígida a la cual están conectados los resortes permanece horizontal cuando la fuerza F es cero. Determine la constante de resorte equivalente del sistema ( ) que relaciona la fuerza aplicada ( ) con el desplazamiento resultante ( ) como

Sugerencia: Como las constantes de los dos resortes son diferentes y las distancias y no son las mismas, la barra rígida no permanecerá horizontal cuando se aplique la fuerza .

La barra permanece horizontal cuando F=0

Cuando se aplique la fuerza F, la barra no permanece horizontal

∑

Asumimos ángulos pequeños ,

∑

Problema # 3 La figura 1.81 muestra una barra de tres escalones empotrada por uno de sus extremos y sometida a una fuerza axial aplicada en el otro extremo. La longitud del escalón es y su área de sección transversal es , . Todos los escalones son del mismo material con módulo de Young . a. Encuentre la constante de resorte (o rigidez) del escalón en la dirección axial ( ). b. Encuentre la constante de resorte equivalente (o rigidez9 de la barra escalonada , en la dirección axial de modo que . c. Indique si los resortes se comportan como resortes en serie o en paralelo.

a)

b)

c) Resortes en serie

Problema # 4 Determine la constante de resorte equivalente del sistema que se muestra en la figura 1.82.

( resortes en paralelo) (resortes en serie) =

(resorte en paralelo)

(resorte en paralelo)

Problema # 5 Derive la expresión para la constante de resorte equivalente que relaciona la fuerza aplicada con el desplazamiento resultante del sistema que se muestra en la figura 1.86. Suponga que el desplazamiento del eslabón es pequeño.

∑

(

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

( (

(

)

(

)

)

)

( )

) (

)

Problema # 6 Dos resortes no lineales y están conectados en dos formas diferentes como se indica en la figura 1.88. La fuerza, , en el resorte Si está relacionada con su deflexión ( ) como =

,

Donde y son constantes. Si , donde es la deflexión total del sistema, define una constante de resorte lineal equivalente , encuentre una expresión para en cada caso.

Resortes no lineales

Caso(b): resortes en paralelo

Caso (a):

Problema # 7 La velocidad máxima alcanzada por la masa de un oscilador armónico simple es de 10 cm/s, y el periodo de oscilación es de 2 s. Si la masa se suelta con un desplazamiento inicial de 2 cm determine (1) la amplitud; (b) la velocidad inicial y (c) el ángulo de fase. ̇

̇

̇ ̇

√

(

̇

)

̇

√

̇ ̇ a) b)

̇

√

√ ̇

c)

(

̇

)

(

)

Problema # 8 Tres resortes y una masa se fijan a una barra rígida sin peso como se muestra en la figura. Determine la frecuencia de la vibración del sistema.

Asumo x>

Para la barra: ∑

̈

Para la masa: ∑

̈

̈ ̈

̈ (

(

)

̈

)

(

̈

(

)

)

√ ̈

(

)

Resolveremos este problema ahora por el principio de conservación de la energía:

̇

̇

(

)

(

[ ( [

(

)

)(

(

) )

)

](

)

](

)

√

Problema # 9 Halle la frecuencia natural de la vibración de un sistema de resorte-masa colocado sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura.

∑

̈

̈

̈ (

)

√

Problema # 10 Encuentre la frecuencia natural del sistema que se muestra en la figura con y sin los resortes viga elástica.

̈

∑

̈ ̈ ̈ ̈

̈

̈

Si

√

y

a la mitad de la

Problema # 11 Cuatro eslabones rígidos y un resorte sin peso están dispuestos para que soporten un peso de dos maneras diferentes, como se muestra en la figura. Determine las frecuencias naturales de vibración de las dos disposiciones.

( )

( )

(

(

)

)

(

(

)

)

Problema# 12 Un cilindro de masa y momento de inercia Jo rueda libremente sin deslizarse pero está restringido por dos resortes de rigideces y , como se muestra. Encuentre su frecuencia natural de vibración, así como el valor de a que maximiza la frecuencia natural de vibración.

̇

( (

) ̇

(

) ̇

) ̇

̇ ̈

̇

̈

√

√

√ Problema# 13 Encuentre la ecuación de movimiento de la barra rígida uniforme su frecuencia natural.

de longitud y masa

de la figura. Encuentre también

̅

∑

̈

[̅

()] ̈

) ̈

( ̈

(

√

)

(

)

Problema# 14 Un disco circular uniforme gira alrededor del punto , como se muestra en la figura. Encuentre la frecuencia natural del sistema, así como su frecuencia máxima al variar el valor de .

̈

∑

̈ ̅

) ̈

(

√

√

(

(

)

(

)

(

)

)

[

]

√ (

√

(

√

)

)

Problema # 15 Derive la ecuación de movimiento del sistema, mostrado en la figura., con los siguientes métodos: (a) la segunda ley del movimiento de Newton; (b) el principio de D’Alembert, (c) el principio de la conservación de la energía y (c) el principio del trabajo virtual.

̈

∑

( ) (

)( )

(

)( )

) ̈

(

̈

( )

) ̈

(

( ) ̈

(

̅

( )

) (

)

̈ ̈ ̈

∑

( )

( )

(

) ( )

(

) ( )

(

( ) )

( )

(

̇

(

( )

)

̇ ̈ ̇

( ̈

)

)

̇

Problema # 16 Una masa se fija en un extremo de una barra uniforme de masa cuyo otro extremo gira alrededor del punto como se muestra. Determine la frecuencia natural de vibración del péndulo resultante para pequeños desplazamientos angulares.

̈

∑

̈ ̈

̅

̅

(

) (

( )

(

)

̈

) (

)

(

)

Problema # 17 Las respuestas de vibración libre de un motor eléctrico de 500 N de peso montado en cimentaciones diferentes se muestran en las figuras (a) y (b). Identifique lo siguiente en cada caso: (i) la naturaleza del amortiguamiento provisto por la cimentación, (ii) la constante de resorte y el coeficiente de amortiguamiento de la cimentación, e (iii) las frecuencias no amortiguada y amortiguada del motor eléctrico.

√

√

√ √

√

(

Amortiguamiento de Coulomb

√

)

Problema # 18 Un carro de ferrocarril de 2000 kg de masa que viaja a una velocidad = 10 m/s es detenido al final del carril por un sistema de resorte-amortiguador, como se muestra. Si la rigidez del resorte es = 80 N/mm y la constante de amortiguamiento es = 20 N-s/mm, determine (a) el desplazamiento máximo del carro después de que choca con los resortes y el amortiguador y (b) el tiempo requerido para que alcance un desplazamiento máximo.

√

√

√

̇ ̇

̇ ̇

̇

Problema # 19 Un péndulo torsional tiene una frecuencia natural de 200 ciclos/min cuando vibra en el vacío. El momento de inercia de masa del disco es de 0.2 kg-m2. Luego se sumerge en aceite y se ve que su frecuencia natural es de 180 ciclos/min. Determine la constante de amortiguamiento. Si cuando el disco se coloca en aceite, se hace que se desplace 2°, encuentre su desplazamiento al final del primer ciclo.

̈ (

)(

)

(

)(

)

√

√

(

̇

(

)

√

(

( √

)

(

)

)

√ )

( )

Problema # 20 Un chico montado en una bicicleta se puede modelar como un sistema de resorte-masa-amortiguador con un peso, rigidez y constante de amortiguamiento equivalente de 800 N, 50,000 N/m y 1000 N-s/m, respectivamente. La colocación diferencial de los bloques de concreto en la carretera hace que el nivel de la superficie se reduzca de repente, como se indica en la figura. Si la velocidad de la bicicleta es de 5 m/s (18 km/h), determine el desplazamiento del chico en la dirección vertical. Suponga que la bicicleta no vibra en la dirección vertical antes de encontrarse con el desnivel en el desplazamiento vertical.

̈

̇

̇

√

√

̇

√

La distancia d=15m, viajando a una velocidad de V=5m/s se recorre en t=d/V=15/5=3s

̇

̇ ̇ Para la segunda parte del movimiento ̈

̇ ̇

̇

Problema # 21

̇

= ̇ =

̇

[

̇ = ( (

[

]

[

]

]

) ̇ =

̇

)=

( ) APLICANDO EL METODO DE LAGRANGE

[ ̇

]

[

̇ )]=

(

̈

̇ ] =0

[

(

[

)

̇

+

(

=

̇

(

)

̇

)]

̇

[

] ̇

̇

̈

̇

+

=0

Linealizando ̈

̇ (

̈

)

̇

=0

=0

Aplicando el Método de Newton

̈

( ̈

) (

(

̈

( )

)=

(

+

Linealizando

̈

̇ ( ̇

( ̇

)

( )

̇

̈

̇

)

) =0

=0

=0

̈

) (

)

Problema # 22

=

̇

[

̇

] ̇

̇ APLICANDO EL METODO DE LAGRANGE PARA LA COORDENADA

[ ̇

]

̇

[ [

̇

̈

̇

] ] =0

= ̇

̈

APLICANDO EL METODO DE LAGRANGE PARA LA COORDENADA [

] ̇

[ ̇

̇

] [

̇ ]=

[ [

̇ ̇

̈ ]] =0 (

̇

)-2r

= ̈

(

)-2r

=0

Aplicando el Metodo de Newton Coordenada ̈ ̈ ̈ ̈

(

)-2r

Coordenada

̈

̈

̈

̈

Problema # 23 En la figura 1.69 encuentre la constante de resorte equivalente del sistema en la dirección de .

+ + + Linealizando [

]

Problema # 24

En la figura 1.76 una barra rígida uniforme de masa m pivotada en el punto O y conectada por resortes de rigideces k1 y k2. Considerando un pequeño desplazamiento angular de la barra rígida con respecto el punto O determine la constante de resorte equivalente asociada con el momento de restauración

=

̇ = ( (

) ̇ = )=

[

̇ ( ) APLICANDO EL METODO DE LAGRANGE

[ ̇

]

[

(

̇ )]=

̈

]

[

̇ ] =0

[

]

=0 ̇

[ ̇

] ̇

̈+

=0

Linealizando

̈

̈+

=0 =0

Problema # 25 Encuentre la constante de resorte equivalente y la masa equivalente del sistema que se muestra en la figura 1.79 con referencia a . Suponga que las barras AOB y CD son rigidas con masa insigificante. En la figura 1.92 se muestra una flecha de helicecompuesta, hecha de acero y aluminio.

̇ ̇

̇

̇

̇

̇ [

[ ̇

]

̇ ̇

] ̇

̇

̇ [

̇

]

̈

=

̈(

) =

Linealizando ̈

+

=0

Problema #26 a. Determine la constante de resorte torsional de la flecha. b. Determine la constante de rosorte torsional de la flecha compuesta cimpuesta cuando el diámetro interno del tubo de aluminio es de 5 cm en lugar de 10cm.

a)

=

b)

=

Problema # 27 Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin deslizar por un plano inclinado 15º. A su perímetro está sujeta una correa y un muelle lo mantiene en equilibrio como se muestra. Si el cilindro se desplaza hacia abajo 50 mm y se suelta. Determinar: (a) El período de la vibración, (b) La aceleración máxima del centro del cilindro

Datos e incógnitas

En la figura se muestra el DCL del cilindro en la posición de equilibrio estático

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene

∑

∑

Remplazando la ec. (1) en (2), resulta

En la figura se muestra el DCL del cilindro para un desplazamiento instantáneo XG a partir de la posición de equilibrio

Traslación

Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene

∑

∑

Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta

Remplazando la ec.(3) en (6), se tiene

De la geometría y teniendo en cuenta que el centro instantáneo de rotación es el punto de contacto, resulta

(8) (

)

Remplazando la ec.(8) y (9) en (7), resulta

(

)

La ec. (10) es la ecuación diferencial de una MAS con una frecuencia circular

√

La solución de la ecuación diferencial (10), es

La velocidad y la aceleración en cualquier tiempo

Remplazando las condiciones iníciales, resulta

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores, se tiene

Remplazando estos valores obtenidos resulta

(

)

La aceleración máxima será

Problema #28 Una rueda escalonada que pesa 90 N rueda sin deslizar por un plano horizontal, según se indica en la figura. Los resortes están unidos a hilos arrollados de manera segura sobre el cubo central de 30 cm de diámetro. Si el radio de giro del cilindro escalonado vale 225 mm, escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición XG(t) del centro de masa del cilindro y determinar el período y la frecuencia del movimiento vibratorio resultante.

Datos e incógnitas

En la figura se muestra el DCL de la rueda para una posición cualquiera X. Las fuerzas que obran son: el peso (W), la reacción normal (NC), la fuerza de fricción (Fs ) y las fuerzas elásticas Fe en cada uno de los resortes

Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene

̈

∑

̈ ̈ ̈

∑

̈ (

)

(

)

) ̈

(

Sumando las ecuaciones (1) y (2), resulta

(

)

(

̈

)

) ̈

(

La cinemática para la rueda muestra una relación entre las deformaciones de los resortes y el desplazamiento del de masa de la rueda

̈ (

)

(

)

Remplazando las ec. (4), (5) y (6) en la ec (3), resulta

(

)

(

)

(

(

) )

Remplazando valores se tiene

(

)

(

)

(

(

) )

Simplificando la ecuación anterior se tiene

De la ecuación diferencial (8), se obtiene la frecuencia circular.

√ El período de la vibración es

Problema #29

Un cilindro de masa m y radio R está conectado con muelles idénticos de constante k y gira sin rozamiento alrededor del punto O. Para pequeñas oscilaciones, ¿cuál será la frecuencia natural?. El cordón que soporta a W1 está enrollado alrededor del cilindro.

Datos e incógnitas "W ", "k", "r", "R", "m", En la figura se muestra el DCL del bloque.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio al bloque, se tiene.

∑

En la figura se muestra el cilindro en equilibrio estático.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio para el cilindro.

∑

En la figura se muestra el DCL del bloque pero desplazados de su posición de equilibrio estático.

Aplicando las ecuaciones de movimiento para el bloque se tiene

∑

̈ ̈ ̈

Aplicando las ecuaciones de movimiento al cilindro, se tiene

∑

Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces la ecuación anterior, se escribe

∑

Remplazando la ec. (3) en (4), resulta

̈ Al sustituir la ec (2) en (5), resulta

De la cinemática se tiene que

Remplazando la ec (7) en (6), resulta

̈

̈

̈ La ec.(8) constituye la ecuación diferencial de un MAS cuya frecuencia circular natural es

√

Problema # 30 Si el sistema mostrado en la figura se suelta desde una altura h sobre una superficie dura. ¿Cuál será el movimiento resultante de la masa m? siendo K la rigidez del resorte y c la viscosidad del amortiguador. Por conservación de...