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Universidad Tecnólogica de PanamáFacultad de Ingeniería EléctricaIngeniería ElectromecánicaDinámica AplicadaCódigo de Asignatura 3940II Semestre 2017INTRODUCCIÓNPara poder determinar las características modales del puente peatonal a estudiar, tenemos que tener claro primero algunos aspectos fundamen...

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Universidad Tecnólogica de Panamá

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Ingeniería Electromecánica

Dinámica Aplicada Código de Asignatura 3940

II Semestre 2017

INTRODUCCIÓN Para poder determinar las características modales del puente peatonal a estudiar, tenemos que tener claro primero algunos aspectos fundamentales y base anteriores a este análisis, uno de los conceptos claves en este proyecto es vibración, una vibración es todo movimiento oscilatorio con respecto a una posición de referencia, los movimientos que se registran en base a un punto. Las vibraciones en cualquier tipo de sistema son normales a una escala pequeña, sin embargo suelen presentarse a gran escala debido a problemas de fabricación de algún producto, a errores en calibración o uso de maquinaria, o al rediseño de alguna estructura, debido a que no se consideran algunos cambios y con éstos factores suelen presentarse dichos movimientos. Como hemos estudiado en clases sabemos que existen dos tipos de vibraciones, lo que son las vibraciones simples, las cuales existen debido a que un sistema se desplaza y las vibraciones forzadas, causadas al aplicarse fuerzas externas y estas simplemente son las respuestas, además las vibraciones forzadas se subdividen en periódicas, cuando el movimiento que se genera debido a las fuerzas externas se repite con todas las características iniciales en un intervalo de tiempo (periodo) y las vibraciones forzadas no periódicas, en las que no existen intervalos regulares. Las vibraciones periódicas pueden afectar tanto en la durabilidad como en la funcionalidad de estas estructuras. Para limitar los efectos vibratorios en las estructuras, el valor de la frecuencia propia debe estar alejada de la frecuencia de los eventos que la provocan, evitando así causar resonancia, la cual causa que una fuerza relativamente pequeña aplicada de forma repetida hace que la amplitud del sistema oscilante vaya aumentando de forma progresiva, este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos. Al diseñar puentes peatonales, como en este caso, y estructuras en general se intenta en el ámbito de estética diseñarlas cada vez más simples y con menor distancia entre cada apoyo (entre las luces), por esta misma razón pueden presentarse vibraciones incómodas para los usuarios y dañinas para la estructura a largo plazo. Al ser este puente peatonal creado por la necesidad de los estudiantes es lógico que sea muy transcurrido por personas y son estas personas las que fácilmente podrían notar las vibraciones, en este caso utilizaremos a esta estructura mecánica mediante la representación de una serie de masas interconectadas por resortes y amortiguadores.

1 ANÁLISIS PREVIO Si tomamos una cuerda en reposo sujeta a una tensión T (figura 1a) luego la halamos sacándola de su posición de equilibrio (figura 1b) y la soltamos, ella empieza a vibrar asumiendo varias configuraciones. En un instante cualquiera, la cuerda puede tener la forma indicada en la figura 1c, la cual obviamente varía en cada instante dependiendo de las propiedades del cable, la tensión inicial y la amplitud inicial con la que la hayamos excitado. Por lo estudiado en clases, superposición, ya conocemos que cada configuración, en cada instante, puede ser obtenido por la suma de un infinito número de curvas armónicas de las cuales se indican las tres primeras en las figuras 1d, 1e y 1f.

Figura 1. Ejemplo de posibles configuraciones con superposición

Cada curva armónica es llamada un modo de vibración y su amplitud varía al vibrar el cable, por lo cual un cable puede tener un número infinito de frecuencias naturales. Debe notarse que mientras mayor número de ondas tenga un modo de vibrar, menor es su amplitud y mayor es su frecuencia y por lo tanto, usualmente, solo se requieren los primeros modos para representar el cable vibrando. El primer armónico se llama el modo fundamental de vibración y su frecuencia la frecuencia natural. La frecuencia W de cualquier modo esta dada por la siguiente expresión: En la cual: n = Cualquier número entero desde 1 hasta infinito λ=Distancia horizontal entre apoyos T = Tensión en el cable q = Peso del cable por unidad de longitud, supuesto uniforme g = Aceleración de la gravedad Wn =Frecuencia de vibración de un armónico.

TIPOS DE MOVIMIENTOS DE LOS PUENTES a) Oscilación con el viento Este es el modo de vibración transversal fundamental. El tiempo que toma un ciclo de movimiento hacia adelante y hacia atrás es el período de vibración. Las estructuras sumamente grandes y pesadas como algunos puentes se mueven lentamente, y por lo tanto tienen periodos de vibración largos. b) Ráfagas de viento Cuando la estructura se tuerce en dirección opuesta de la ráfaga de viento, si en el diseño la estructura no se toman las debidas precauciones éste método de vibración de torsión puede provocar el colapso de la estructura. c) Vibración vertical Es la aplicación de una fuerza vertical y al retirarla el puente oscila hacia arriba y hacia abajo, puentes grandes tales como el Golden Gate tarda alrededor de 8 segundos para contemplar un ciclo en éste tipo de oscilación. d) Sacudida en el área de anclaje Agitación en los apoyos de la estructura, lo cual hace que el puente tenga ciertas vibraciones por ello. Cuando hay un terremoto, el puente responde de manera más intensa cuando el movimiento de la tierra coincide con el periodo de vibración del puente FRECUENCIAS Y RESONANCIA EN LOS PUENTES PEATONALES El uso de grandes luces en puentes peatonales ha permitido que los modos de vibración de éstos estén asociados generalmente a frecuencias bajas, entre 1 Hz y 8 Hz. El caminar de las personas está clasificado según el tipo de actividad y la frecuencia de paso, así, para caminata la frecuencia de paso está entre 1.7 Hz y 2.3 Hz y para trote entre 2.5 Hz y 3.2 Hz . Debido a esto, nos damos cuenta del riesgo potencial de estas estructuras a entran en resonancia, siendo la frecuencia de excitación la frecuencia de paso de las personas o uno de sus armónicos. Es así como tomamos como criterio la norma AASHTO [1] para puentes peatonales, la cual en su numeral 1.3.2 especifica lo siguiente: “La frecuencia fundamental de un puente peatonal sin carga viva, debe ser mayor de 3.0 Hz para evitar el primer armónico”. A su vez, en los comentarios aclara lo siguiente: “El rango del primer al tercer armónico que pueden ser excitados por personas que caminan o trotan en el puente peatonal, está entre 2 y 8 Hz, con una frecuencia fundamental entre 1.6 y 2.4 Hz. Por ésta razón, los puentes con frecuencias fundamentales menores de 3 Hz, se deben evitar” PUENTE PEATONAL DEL CASO ACTUAL

En este caso vamos a despreciar todos los tipos de vibraciones distintos a la vibracion o excitación vertical debido a que notamos que la vibracion a estudiar ocurre cuando al menos una persona está sobre el puente ya sea parada o caminando, el tipo de puente es una estructura que consta de vigas metalicas de seccion cajón cuadrada en forma de cercha similar al tipo Warren plano, trabajando junto con una loseta tipo MetalDeck reforzado con concreto. Todo esto a su vez está soportado por columnas metálicas de sección cajón rectangular.

Figura 2. Cercha utilizada similar a Warren Plana. Figura 3. columnas metálicas de sección cajón rectangular.

Al ir a la parte del puente que se está estudiando realicé un pequeño experimento en el que primero medí la distancia entre la puerta hasta el primer apoyo, conocido como luz (aproximadamente 29.75 m) después de esto calcule el punto medio (casi a 15 m desde la puerta), de ahí fui acercándome cada vez más al punto medio con unos intervalos de dos pasos mientras que otra persona caminaba por el puente, lo que pude notar es que a medida que me acercaba al punto medio era más notoria la presencia de las oscilaciones del puente, lo que hace sentido y comprueba la teoría si asumimos el puente como una viga ideal con dos apoyos que serían las columnas, el punto medio tendría la deflexión máxima. De esta manera utilizare el análisis de la sección del puente a estudiar considerándola como una viga ideal con dos apoyos simples en los extremos en las que situaré el peso de la persona caminando como una carga puntual y consideraré

el peso muerto de la viga como una carga distribuida, todos los valores calculados para dicha carga distribuida serán calculados con los anchos, altos y profundidades proporcionados por el plano del puente peatonal de la Universidad Tecnológica de Panamá

2 ANÁLISIS EXCITACIÓN VERTICAL En la figura 4 se indica el modelo simplificado del sistema vibratorio “persona estructura”. Dado que no se presenta una reacción de la estructura hacia las personas, debe modelarse la persona que camina ó corre como una fuerza actuante sobre la estructura y no como un sistema de resorte-masa acoplado a ésta. De esta forma la excitación rítmica producida por las personas en la estructura al caminar puede expresarse por una función armónica con un perfil de onda simple:

F ( t )=C 1+C 2 sen ωt Cuando las personas en vez de caminar corren, la excitación es impulsiva y periódica, por lo cual es conveniente utilizar la expresión para la fuerza en forma compleja:

F ( t )=C 1+ ∑ C ω e iωt ω

La ecuación diferencial que describe el movimiento de la estructura causado por esta fuerza F esta dada por: ''

'

F=m z +r z + kz cuya solución particular corresponde a:

z ( t ) =zcos ( ωt + φ) ω 1− ωe

√

( )

c (¿¿2)2 +( z=

rω 2 ) c

F ¿

Es ampliamente conocido que la amortiguación viscosa es sumamente baja, por lo cual z(t), la amplitud de la vibración, depende prácticamente de la relación

ω ωe

(frecuencia de la fuerza excitatriz/frecuencia propia), siendo evidente que para valores cercanos a 1 ó de 1 la amplitud de la vibración se vuelve excesivamente grande o infinita produciendo severos daños en la estructura o inclusive su colapso.

Figura 5. Simplificación del modelo Hombre-Estructura, siendo c la constante del resorte y r la constante de amortiguamiento

TRÁNSITO PEATONAL Los estudios de Matsumoto y Schulze [2] coinciden en que la frecuencia de las personas que caminan normalmente esta entre 1.6 y 2.4 Hz, con una media de 2.0 Hz. Estas frecuencias están entre 2.4 y 2.7 Hz para trote normal y pueden llegar a 5.0 Hz para personas corriendo.

Figura 6. Distribución de frecuencias de una persona al caminar, Resultados de los estudios de Matsumoto y Schulze

En la figura 7 se indica el desarrollo en el tiempo de la carga dinámica debida a ambos pies. Es importante notar que las solicitaciones de ambos pies se traslapan y que se pueden tener igualmente contribuciones en el segundo y tercer armónico.

Figura 7. Carga dinámica producida por ambos pies de una persona al caminar, Resultados de los estudios de Matsumoto y Schulze

3 ECUACIONES

Para trabajar las ecuaciones decidí que la mejor manera era dejar los valores expresados debido a que la principal idea era que se entendiera los procedimientos, indistintamente de los resultados numéricos, detallando las variables de tal manera:  L: Representa la longitud desde la puerta hasta el primer apoyo del puente, 29.75 m  F: Representa la carga puntual o el peso de la persona, según la figura 7 la carga a utilizar será 1.5 veces el peso de la persona a evaluar en el puente  W: Representa el peso muerto de la estructura en sí, por esto la representamos como una carga distribuida, dependerá de las dimensiones del puente y los materiales de los que está hecho  E: Representa el coeficiente de elasticidad, depende del material que escojamos como principal de la estructura  I: Representa el momento de inercia de la sección

4 CONCLUSIONES Después de la investigación y los análisis hechos en este proyecto puedo concluir de primero que las oscilaciones en los puentes peatonales y cualquier tipo de puente son completamente normales y aunque al prestar atención podamos notar su presencia no significa estrictamente que hay problemas con el diseño o estructura del mismo. Antes de investigar asumí que la causa de notar dicha vibración se debía únicamente a la distancia que tenía entre los apoyos, pero puedo decir ahora que existe una razón mucho más estrecha a estas vibraciones y es debido a la frecuencia que tiene el mismo puente y la frecuencia que tienen las cargas ejercidas, en este caso las personas que caminamos por dicho puente. De acuerdo con la distribución de frecuencias indicada en la figura 6, en un puente peatonal pueden presentarse excesivas vibraciones verticales si su frecuencia fundamental está entre 1.6 y 2.4 Hz y por esto debe evitarse que la frecuencia fundamental del puente y sus armónicos estén en este rango. Esta condición puede expresarse como 1.6 Hz > f > 2.4 Hz. Para poder reducir estas vibraciones es necesario hacer algún cambio con la frecuencia actual del puente peatonal debido a que al ser capaces de sentir estas vibraciones simplemente por el paso de una persona, además que, por los análisis mediante ecuaciones, podemos concluir que ya existe resonancia entre la frecuencia del paso de personas y el puente, por lo que debemos diseñar un absorbedor de vibraciones. Para el correcto diseño de un absorbedor de vibraciones, es necesario crear un dispositivo cuya frecuencia natural coincida con la frecuencia de excitación externa del sistema que se desee aislar, en este caso el paso de los estudiantes. Luego, resulta primordial determinar la masa que se deberá instalar en el extremo del dispositivo con el fin de mitigar efectivamente las vibraciones del sistema a la velocidad de funcionamiento del motor generador de excitaciones.

5 REFERENCIAS [1] AASHTO: American Association of State Highway and Transportation Officials [2] Gimsing; Niels J., “Cable Supported Bridges Concept and Design“; Second Edition; Edit. John Wiley & Sons; USA 1998.    

Zivanović, S. Pavic, A. Reynolds, Paul. (2005). "Human Structure Dynamic Interaction in Footbridges," Institution of Civil Engineers, pp. 165-177. Hauksson, F. (2005). “Dynamic Behaviour of Footbridge to People Induce Vibrations”. Lund, Suecia. AISC. (2003). “Floor Vibrations due to Human Activity - Steel Design Guide Series 11”. Chicago, E.E.U.U. RAO, SINGIRESU S. Vibraciones mecánicas Quinta edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012...