Proyecto 2 PDF

Preview

Summary

Warning: TT: undefined function: 32 Warning: TT: undefined function: 32 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICA INTERMEDIA II Sección: C Catedrático: MBA ING. FRANCISCO GARCÍA AUX. MIGUEL ORELLANAPROYECTO No.No. de Registro Nombre comple...

Description

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICA INTERMEDIA II Sección: C Catedrático: MBA ING. FRANCISCO GARCÍA AUX. MIGUEL ORELLANA

PROYECTO No.2

No. de Registro

Nombre completo del estudiante

201907064

Sebastian Alejandro Pivaral Lopez

201903787

Marolo Andrés Monzón Pavón

Guatemala, [26/10/2020]

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

3

OBJETIVOS

4

MARCO TEÓRICO

5

RESULTADOS

6

CONCLUSIONES REFERENCIAS

2

1. INTRODUCCIÓN El presente informe describe el Proyecto No.2 de matemática intermedia 2 cuyo tema a desarrollar es el de “Uso de integrales para la resolución de problemas”. Se busca resolver los diferentes problemas planteados en el documento utilizando diferentes métodos y programas para la obtención de resultados más precisos, con esto se busca mejorar la capacidad de análisis matemático de los estudiantes. Se utilizaron diferentes programas matemáticos como apoyo para la resolución de los problemas como “Mathlab”,” Geogebra”, “Wólfram” y “Symbolab”. Luego de la recopilación de datos se continuo con la explicación de cada problema planteado y análisis de los datos obtenidos a través de un video. Al finalizar el análisis de resultados se espera llegar a una conclusión sobre los datos solicitados y recopilados durante la realización del proyecto.

3

2. OBJETIVOS Objetivos General Realizar un análisis matemático completo sobre los problemas planteados para su posterior resolución.

Objetivos específicos

●

Aplicar conocimientos matemáticos para la resolución de los problemas.

● Aprender a identificar el método con el cual se obtiene un resultado más preciso minimizando el error en este.

•

Aprender a identificar el método óptimo para resolver cada tipo de problema.

4

3. MARCO TEORICO Para realizar este proyecto fueron de gran ayuda los temas aprendidos durante todo el curso de matemática intermedia 2 como: Integrales dobles: La integral doble es utilizada para calcular volúmenes o Áreas bajo la superficie de una función que depende de 2 variables. Integrales triples: La integral triple es como una integral doble solo que esta se utiliza para volúmenes ya que se toma en cuenta una tercera variable, por lo tanto, el grafico o lo que formara la integral triple es una figura en 𝑅 3 .

Aplicaciones de integrales triples: Las integrales triples tienen muchas aplicaciones en la matemática como el calculo de la masa de un objeto o el momento de inercia del mismo tal como podremos apreciar en la resolución de problemas. Coordenadas esféricas: Las coordenadas esféricas se utilizan para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos estas coordenadas nos pueden ayudar a que los problemas que necesitamos encontrar sean más de resolver. Integral Impropia: La integral impropia se define como el limite de una integral definida cuando uno de sus limites de integración tiene a infinito, al evaluar el limite de la integral podremos observar si esta converge a algún valor determinado o en otro caso esta integral diverge.

5

4. RESULTADOS PROBLEMA #1

Si 𝐸 es el sólido que está acotado por el cilindro 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟗 y los planos 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟑𝒙 𝑦 𝒛 = 𝟎 en el primer octante, con función de densidad 𝝆(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐, calcule las cantidades siguientes con tres decimales.

a) La masa b) El volumen c) El momento de inercia alrededor del eje z. Antes de proceder con los enunciados, se grafico el solido solicitado utilizando el programa de GeoGebra 3D.

6

a) Para calcular el valor de masa del solido acotado se definió el tipo de integral que se usaría, en este caso una integral triple con la ecuación de rho .

∫. ∫. ∫. Ꝓ(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑣 𝐸

Se utilizaron conversión a coordenadas cilíndricas para resolver la integral, para esto se definieron los límites de las variables de r, ꝋ y x. Ꝓ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 Ꝓ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 9𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 0≤ r≤3 0 ≤ ꝋ ≤ π/2 0 ≤ x ≤ cos ꝋ Con los límites establecidos se procedió a plantar la integral final. π 2

3

∫ ∫ ∫ 0

0

cosθ 0

r(x2 + 9cos 2 θ)dxdrdθ

Se evaluó la integral definida por coordenadas esféricas en el programa matemático Symbolab, para un resultado preciso.

Dándonos como resultado para el inciso “a” 28 unidades de masa. 7

b) Para calcular el valor del volumen del solido acotado se definió el tipo de integral que se usaría, en este caso una integral doble de volumen. ∫ ∫ Z dA Q

Primero de definió la región plana que usaríamos como área, para esto nos ayudamos del programa de GeoGebra3D, junto a esto se definieron los límites de Y y X para lo diferenciales dxdy.

0≤y≤3 0≤x≤

y

3

Con los limites definidos se procedió a plantear la integral de volumen utilizando el valor de Z como la ecuación que genera el cilindro “𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 =9 " despejando la variable z 3

y 3

∫ ∫ √9 − y2 dxdy 0

0

Se evaluó la integral definida de volumen en el programa matemático Symbolab, para un resultado preciso.

Dándonos como resultado para el inciso “b” 3 unidades cubicas 8

c) Para calcular el valor de la inercia alrededor del eje z del solido acotado se definió el tipo de integral que se usaría, en este caso una integral triple de volumen. ∫ ∫ ∫ (𝑥 2 + 𝑦 2 ) Ꝓ(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑣 𝑄

Se utilizaron los mismos valores de los límites para las variables x, y, z del inciso anterior, para platear la integral deseada.

0≤y≤3 y 0≤x≤ 3 0 ≤ z ≤ √9 − y 2 3

y 3

∫ ∫ ∫ 0

0

√9−y2 0

(x2 + y2 )(x2 + y 2 )dzdxdy

Se evaluó la integral definida de volumen en el programa matemático Wólfram alfa, para un resultado preciso.

Dándonos como resultado para el inciso “C” un aproximado de 59.7943 unidades 9

PROBLEMA #2 1 Las superficies con ecuación 𝑝 = 1 + sin(𝑚𝜃) sin (𝑛𝜙)han sido empleadas como modelos para cier 5

tipos de tumores, estas reciben el nombre de “Esferas disparejas” vea la gráfica de un ejemplo de 1

esfera dispareja que fue trazada con la ecuación 𝑝 = 1 + sin(3𝜃) sin (9𝜙) de la cual se puede notar 5 claramente que los valores de las constantes, usados en este caso fueron m = 3 y n = 9

Nota: Calcule m como el promedio del último número del carnet de los integrantes del grupo, si el promedio da como resultado un número no entero m será el número impar más cercano al promedio y n = m+ 2. 2.1) Graficar la Esfera dispareja que le corresponda de acuerdo a las indicaciones de m y n que encontrará al final del enunciado

1

La grafica de la esfera dispareja 𝑝 = 1 + sin(5𝜃 ) sin (7𝜙) Graficada en GeoGebra es: 5

Ecuaciones utilizadas para graficar la esfera:

Grafica de la Esfera:

2.2) Hallar el volumen que encierra la superficie del inciso anterior. Para encontrar el volumen de la esfera se utilizó symbolab, pero se cambiaron los nombres de l variables para que no fuera tan tardado meterlo al programa utilizando así a ρ = r, a θ = x, ϕ = y

La integral a evaluar fue

π

∫ ∫ 0

2π 0

∫

1 1+5 sin(5x)sin (9y)

0

r 2 sin(Y) drdxdy

Utilizando symbolab para evaluar la integral nos queda

El Volumen de la esfera es: 33272π ≈ 4.314842963 U 3 V= 24225

11

PROBLEMA #3

Demuestre que

∞

∞

∞

2 +y2 +z2

∫−∞ ∫−∞ ∫−∞ √x 2 + y 2 + z2 ∗ ex

dxdydz = 2π

(La integral triple impropia se define como el límite de una integral triple en una esfera sólida conforme el radio de la esfera aumenta indefinidamente.) Procedimiento: Para lograr demostrar que la integral triple utilizamos lo que dice el problema en las últimas 2 líneas, d que esa integral se define como el límite en una esfera sólida cuando el radio aumenta indefinidamen Por lo tanto, se hizo el cambio de coordenadas rectangulares a Coordenadas esféricas por lo tanto se Hicieron los cambios debidos a la ecuación para que se tomara como una esfera de radio que aumen ρ2 = x 2 + y 2 + z 2 ρ = √x 2 + y 2 + z 2

Y la integral para coordenadas esféricas esta definida por

∫ ∫ ∫ ρ2 sin(ϕ) dρdθdϕ A

Por lo tanto, la ecuación cambiando las coordenadas queda de la siguiente manera:

∬ ∫A ρ ∗ eρ ∗ ρ2 sin(ϕ) dρdθdϕ Luego de un poco de algebra se llega a la siguiente 2

expresión π

2π

∞

2

lim ∞ ∫ ρ3 ∗ e−ρ ∗ sin (ϕ)dρdθdϕ

∫∫

ρ 0 0 0 Los limites se obtuvieron ya que se tomo como una esfera con radio que aumenta indefinidamente

Por lo tanto, se tuvo que utilizar el límite cuando ρ tiende a infinito, el proceso para evaluar la integral fue el siguiente: π 2π a 2 ∫ ∫ sin(ϕ) dθdϕ ∗ ∫ p3 ∗ e−ρ dρ 0

0

𝑎

b

−ρ2

∫ 𝑝 ∗e 𝑏

3

2

−(ρ2 + 1)e−ρ 𝑑ρ = 2

12

Una vez calculada la integral de la primera expresión se procede a evaluar el limite cuando esta es infinita y restar cuando p=0 π 2π 2 ∫ ∫ sin(ϕ) dθdϕ ∗ [ lim −(ρ2 + 1)e−ρ ( 2 + 1)e0 ]

− 0 2 ∞ ( ) ] − [ 0 ρ 2 Utilizando symbolab se determinó que lim p 00=0 0

Por lo tanto, la expresión queda π 2π

∫ ∫ 0

0

π 2π 1 1 sin(ϕ) dθdϕ ∗ (0 − (− )) = ∫ ∫ sin(ϕ) dθdϕ ∗ 2 2 0 0

Ahora se evalúa la siguiente integral: π 2π sin (ϕ dθdϕ ∫ ∫ 2 0 0

Utilizando symbolab se determinó que el resultado de esta integral de 2π.

13

Por lo tanto

∞

∫ ∫

∞

−∞ −∞

∞

2 +y2 +z2

∫ √x 2 + y 2 + z2 ∗ ex −∞

dxdydz = 2π

14

5. CONCLUSIONES •

Nos fueron de gran ayuda todos los conocimientos aprendidos a lo largo de la carrera y en el curso de matemática intermedia 2 ya que nos ayudaron a explicar cómo solucionar los problemas, así mismo encontrar la manera más fácil de dar la solución.

•

Se logro determinar el volumen de la esfera dispareja utilizando programas matemáticos a la vez que se identifico que la mejor manera de trabajar el problema era a través de coordenadas esféricas.

•

Se logro determinar que la manera más precisa para demostrar el resultado del problema No.3 es utilizar una integral triple, sustituir las variables planteadas por esféricas e identificar con cuales límites de integración facilitando así la obtención de una respuesta.

15

6. REFERENCIAS 1.Avny, M. (2010). Symbolab Math Solver - Step by Step calculator. Recuperado el 27 de octubre de 2020 de https://www.symbolab.com. 2. Yates, C. (2004). Shotcut -from http://www.shotcut.org/. 3. Stewart, J. (2017). Clculo de varias variables (8th ed.). Distrito Federal: CENGAGE Learning.

16

17...