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Este trabajo tiene como objetivo demostrar que los parámetros G y Kv encontrados garantizan que el ancho de banda aproximado del sistema de control fisiológico es igual a un valor asignado (1 rad/s)....

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Regulación de la Glucosa Donnadine Velandia Alvarez [email protected] Ingeniería Biomédica Resumen—Este trabajo tiene como objetivo demostrar que los parámetros G y Kv encontrados garantizan que el ancho de banda aproximado del sistema de control fisiológico es igual a un valor asignado (1 rad/s).

I.

INTRODUCCIÓN

El sistema que regula los niveles de glucosa en la sangre, consiste en que cuando los niveles de glucosa en plasma están elevados, la secreción de insulina se estimula. Esto eleva el nivel de insulina en la sangre, lo que aumenta la absorción de glucosa en la sangre por los tejidos. El aumento de la salida de glucosa de la sangre y el fluido intersticial conduce a una disminución de la concentración de glucosa, que posteriormente produce una reducción en la secreción de insulina.

En circunstancias normales, la glucosa entra en la sangre a través de la absorción del tracto gastrointestinal o a través de la producción del hígado. Se asume que este caudal de entrada es Ql. Existen tres maneras importantes a través de las cuales se elimina la glucosa de la sangre: 

(

)



La glucosa deja la sangre para entrar en la mayoría de las células a través de la difusión facilitada. En algunos tejidos, la tasa de utilización de glucosa sólo depende del gradiente de concentración extracelular a intracelular. En la mayoría de las circunstancias, podemos ignorar la concentración intracelular. Así, tenemos la tasa de utilización en tejidos independiente de la insulina



En ciertos tipos de células, como las del tejido muscular y adiposo, la insulina ayuda a estimular este proceso de difusión facilitado. Por lo tanto, la velocidad a la que la glucosa es absorbida por estas células es proporcional a x, así como a la concentración de insulina en sangre, y: tasa de utilización en tejidos dependiente de la insulina

II. DESARROLLO El modelo desarrollado fue propuesto por primera vez por Stolwijk y Hardy en 1974. Donde se asume que el volumen total de sangre y los fluidos intersticiales está representados por un solo compartimiento grande y que el flujo constante de la concentración de glucosa en este compartimento es x. Para que este nivel de x permanezca constante, la entrada total de glucosa en el compartimento debe ser igual a la salida total del compartimento. A continuación se muestra una representación esquemática de los principales procesos que afectan a este equilibrio.

Cuando se eleva más allá de cierto umbral (θ), la glucosa es excretada por los riñones a una proporción proporcional al gradiente entre x y θ:

Donde μ, λ y constantes.

son factores de proporcionalidad

Al igualar la entrada a la suma de los tres flujos de salida, se obtienen las siguientes ecuaciones de balance de masa para la glucosa en sangre: Figura 1. Representación esquemática del proceso que involucra la regulación de gluosa e insulina.

(

)

Obsérvese que en la ecuación anterior se introduce una no linealidad fuerte en forma del producto de x e y, junto con la no linealidad de umbral, que define un régimen por encima de θ y uno por debajo de él. Además, la retroalimentación negativa en este sistema de control está claramente incrustada en las características descritas por las ecuaciones anteriores: puesto que Ql es una constante, un aumento de x debe conducir a una disminución correspondiente en y, y viceversa.

Basándonos en la información presentada en el libro, se diseñó con la herramienta Simulink de Matlab el diagrama de bloques del sistema de regulación de glucosa.

Se establecerá una balanza similar para la insulina en sangre. La insulina es producida por el páncreas a una tasa dependiente del nivel de glucosa en plasma. Sin embargo, si x cae por debajo de cierto umbral ( θ), la producción de insulina cesa. Así, tenemos: (

)

La insulina se destruye a través de una reacción que implica la enzima insulinasa, a una tasa proporcional a su concentración en la sangre:

Combinando las anteriores ecuaciones obtenemos la siguiente ecuación que relaciona el nivel del estado estacionario de y con el de x:

(

)

Por lo tanto, aparte de la no linealidad de umbral, la respuesta de la insulina a la glucosa es básicamente lineal.

Figura 3. Diagrama Simulink del sistema de regulación de la glucosa para personas sanas. Donde los parámetros están definidos de las sigueinte manera: theta=2.5; mu=7200; lambda=2470; nu=139000; phi=0.51; beta=1430; alpha=7600; Qin=8400; CI=15000; CG=15000;

El nivel de estado estacionario de la glucosa y la insulina en la sangre bajo un conjunto de condiciones se puede predecir a partir de este modelo resolviendo las ecuaciones anteriores simultáneamente. A continuación se representa la concentración de insulina en estado estacionario (en mililitros por ml de sangre) contra la concentración de glucosa en sangre en estado estacionario (en mg por ml). La respuesta de insulina a la glucosa se muestra como la curva negrita, mientras que la curva más clara refleja la ecuación del balance de masa de glucosa.

Figura 4. Diagrama Simulink del sistema de regulación de la glucosa para personas con diabetes tipo 1. Figura 2. (a) condiciones normales (b) con diabetes tipo 1 (c) con diabetes tipo 2.

Donde los parámetros son iguales, a diferencia de que beta toma un nuevo valor: beta1=beta*0.2;

Figura 5. Diagrama Simulink del sistema de regulación de la glucosa para personas con diabetes tipo 2. Donde los parámetros son iguales, a diferencia de que nu toma un nuevo valor:

Figura 7. Diagrama Simulink del sistema de regulacion de glucosa para todas las condiciones. Para obtener los valores de iniciales de referencias para cada una de las condiciones debemos analizar cual caso de la no linealidad se cumple, para este caso las condiciones que se cumplen son:

nu2=nu*0.2; El cambio en esto valores se debe a que se pretende en el primer caso reducir la sensibilidad de la respuesta de la insulina a la glucosa; es decir, al reducir beta tendremos más glucosa en la sangre y menos insulina. Y se agrega como entrada del sistema una señal de pulso que simulará la infusión rápida (15 min) de 25 g de glucosa.

(

)

Siendo así tenemos: 󰇗 Aplicando la condición: 󰇗 Y los valores de los parámetros: 󰇗

( ) (

)

Y 󰇗 Aplicando la condición: 󰇗 Figura 6. Infusión rápida de glucosa Integrando los 3 modelos que corresponden a cada una de las condiciones de las personas (sanas, con diabetes 1 y 2) y agregando al señal de entrada se obtuvo el siguiente sistema:

(

)

Y los valores de los parámetros: 󰇗 ( (

) ( )

Igualamos a cero ambas ecuaciones: ( ) ( ) ( ( ) ( ) Despejamos y ( (

))

Despejamos x y reemplazamos y

(

( )

( (

))

(

)( ) ( )

(

)( )( )

)

( )

Figura 8. Respuesta a la infusión rápida de glucosa Personas Sanas – Concentración de glucosa en sangre.

√

Figura 9. Respuesta a la infusión rápida de glucosa Personas con Diabetes tipo 1– Concentración de glucosa en sangre. Y reemplazamos en valor de x en y: ( (

))

Entonces finalmente tenemos las condiciones iniciales para las personas sanas:

Del mismo modo se hayan las condiciones iniciales para las personas con diabetes tipo 1 y tipo 2 variando el valor de beta y de nu resectivamente como se explicó anteriormente; finalmente se obtienen los valores:

Figura 10. Respuesta a la infusión rápida de glucosa Personas con Diabetes tipo 2– Concentración de glucosa en sangre.

Diabetes tipo 1:

Diabetes tipo 2:

Graficamos las respuestas obtenidas a la infusión rápida de glucosa (señal de entrada) para peronas sanas, con diabetes tipo 1 y con diabetes tipo 2 – Concentración de glucosa en sangre.

Figura 11. Gráfica comparativa de las respuestas a la infusión rápida de glucosa– Concentración de glucosa en sangre.

Donde se observa que la gráfica de diabetes tipo 1 no aparece y es porque se encuentra solapada por la gràfica de diabetes tipo 2 porque son iguales. Ahora graficamos las mismas respuestas obtenidas pero esta vez de la concentración de insulina en sangre.

Figura 15. Gráfica comparativa de las respuestas a la infusión rápida de glucosa– Concentración de insulina en sangre.

Figura 12. Respuesta a la infusión rápida de glucosa Personas sanas– Concentración de insulina en sangre.

Tendiendo los valores de equilibrio para cada una de las condiciones graficamos la concentración de la glucosa contra la concentración de la insulina para verificar que esos puntos de equilibrio hallados sean correctos.

Figura 13. Respuesta a la infusión rápida de glucosa Personas con Diabetes tipo 1– Concentración de insulina en sangre.

Figura 16. Concentración de Insulina vs Concentración de Glucosa Personas Sanas.

Figura 14. Respuesta a la infusión rápida de glucosa Personas con Diabetes tipo 2– Concentración de insulina en sangre.

Figura 17. Concentración de Insulina vs Concentración de Glucosa Personas con Diabetes Tipo 1.

insulina a la glucosa por lo cual se puede decir que al reducir el valor de β (para el ejemplo un 20%) se tiene más glucosa en sangre por lo tanto se reduce la insulina; por otra parte la diabetes tipo 2 fue simulada reduciendo el valor de nu (v) (un 20%) de esta manera aumenta el nivel insulina en sangre y se reduce el de glucosa.

Figura 18. Concentración de Insulina vs Concentración de Glucosa Personas con Diabetes Tipo 2. En resumen las gráficas obtenidas por el sistema son:

Figura 19. Infusión rápida de glucosa, Respuesta a la infusción rápida de glucosa – concentración de glucosa en sangre, Respuesta a la infusción rápida de glucosa – concentración de insulina en sangre.

Figura 20. Concentración de Insulina vs Concentración de Glucosa Para todos los casos. III. CONCLUSION

El sistema debe permanecer en equilibrio, es decir la tasa de producción debe ser igual a la tasa de destrucción, si no es así es cuando la persona se encuentra en condiciones patológicas como lo es la diabetes. Para el desarrollo de este sistema la diabetes tipo 1 fue simulada reduciendo la sensibilidad de la respuesta de la...