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RESISTENCIA DE MATERIALES I PRACTICAS Y EXAMENES USMP ______________________________________________ Ph.D. Genner Villarreal Castro PREMIO NACIONAL ANR 2006, 2007, 2008 Lima – Perú 2012 PROLOGO La Resistencia de Materiales, es una ciencia sobre los métodos de cálculo a la resistencia, la rigidez y l...

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RESISTENCIA DE MATERIALES I PRACTICAS Y EXAMENES USMP ______________________________________________

Ph.D. Genner Villarreal Castro PREMIO NACIONAL ANR 2006, 2007, 2008

Lima – Perú 2012

PROLOGO La Resistencia de Materiales, es una ciencia sobre los métodos de cálculo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los elementos estructurales. Se entiende por resistencia a la capacidad de oponerse a la rotura, rigidez a la capacidad de oponerse a la deformación y estabilidad a la capacidad de mantener su condición original de equilibrio. Por lo general, el dictado de los cursos de Resistencia de Materiales, se centran principalmente en la descripción teórica y en la resolución de un escaso número de problemas, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje, más aún tratándose de un curso eminentemente práctico y con una diversidad de problemas. El presente libro nació, después de comprobar las grandes dificultades mostradas por los alumnos en la resolución de problemas aplicados en prácticas calificadas y exámenes, así como en la realización de sus trabajos domiciliarios. Es por ello, que tomé el reto de escribir un libro, que haga más didáctico el proceso de estudio individual, resolviendo en forma seria y con el rigor científico todas las prácticas calificadas y exámenes aplicados por el autor en el período 2006-I al 2008-I, correspondiente al curso Resistencia de Materiales I dictado en la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad de San Martín de Porres, propiciando, de esta manera, una forma más amena de convivencia con la Resistencia de Materiales y conducente a un mejor dominio de la materia. Este libro es un complemento perfecto al editado anteriormente por el autor, denominado Resistencia de Materiales, el cual se usa como texto base en las Carreras de Ingeniería Civil de muchas Universidades nacionales y extranjeras, así como en Centros de Investigación en Ingeniería Estructural. Como base se tomó la experiencia adquirida en el dictado de los cursos de Mecánica de Materiales y Resistencia de Materiales en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, Universidad de San Martín de Porres y Universidad Privada Antenor Orrego. En mi modesta opinión, el presente libro es único en su género, tanto en la forma de resolución de problemas; así como en su contenido, que no es una repetición de otros textos, editados anteriormente. El presente libro consta de 4 Prácticas Calificadas, Examen Parcial y Examen Final por cada ciclo, siendo un total de 5 ciclos. En la Práctica Calificada Nº 1 se evalúa el capítulo tracción y compresión. En la Práctica Calificada Nº 2 se evalúan los capítulos esfuerzo y deformación y torsión. En el Examen Parcial se evalúan los capítulos tracción y compresión, esfuerzo y deformación y torsión. En la Práctica Calificada Nº 3 se evalúa el capítulo flexión. En la Práctica Calificada Nº 4 se evalúa el capítulo deformación en vigas. En el Examen Final se evalúan los capítulos flexión y deformación en vigas. El presente texto está dirigido a estudiantes de ingeniería civil y docentes que imparten el curso Resistencia de Materiales I; así como, a ingenieros civiles, postgraduandos e investigadores en el área de estructuras. Este libro se lo dedico a mis alumnos de Mecánica de Materiales y Resistencia de Materiales de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, Universidad de San Martín de Porres y Universidad Privada Antenor Orrego; quienes con sus consultas me motivaron a escribir el presente libro y con su energía renovada me permitieron culminar con éxito este trabajo.

2

De manera muy especial, dedico el presente libro a mi sobrina Joanna Noriko Villarreal Imamura, quien con su inteligencia, carisma y dulzura, fue un soporte invalorable en la culminación de este trabajo, rogando a Dios Todopoderoso podamos seguir juntos aportando al desarrollo integral de la sociedad.

Ph.D. Genner Villarreal Castro [email protected] Lima, Abril del 2012

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U N I V E R S I D A D

D E

SAN MARTIN DE PORRES

USMP - FIA

EVALUACIÓN

PRACTICA CALIFICADA Nº 1

SEM. ACADÉMICO

2006 – I

CURSO

RESISTENCIA DE MATERIALES I

SECCIÓN

26E

PROFESOR

Ph.D. GENNER VILLARREAL CASTRO

DURACIÓN

110m

ESCUELA

INGENIERIA CIVIL

CICLO

V

1. Determinar el máximo valor del radio “r” de la columna, tal que la estructura mostrada no se hunda, si el 2

terreno tiene una capacidad portante de 2,5kg / cm . Considerar que la zapata y la columna son de 3

concreto armado, cuyo peso específico es 2400kg / m y que sobre la columna actúa una carga de 33112kg ………………………. (4 puntos)

2. Una estructura ahusada de acero de 4cm de espesor se muestra en la figura. Se pide determinar el incremento de longitud en esta estructura debido a su peso propio, si en la parte superior está

empotrada y en la parte inferior libre. Considerar que el peso específico del acero es  a  7,8T / m y 3

el módulo de elasticidad es E a  2,1.10 kg / cm 6

2

………………………. (4 puntos)

4

3. Un bloque perfectamente rígido ABC, cuyo peso es 75000kg, está soportado por tres cables de la misma sección y del mismo material. Determinar la fuerza que soporta cada cable, teniendo en consideración que el bloque no queda en forma horizontal. ………………………. (4 puntos)

4. Una columna cuadrada de concreto armado de 30cm de lado y 3m de altura, está reforzada con 4 varillas de acero de ¾” de diámetro y sometida a la acción de una carga axial de compresión de 50T. Considerar E c  15000 f c , siendo f c  210kg / cm '

'

2

y E a  2,1.10 kg / cm . Determinar los 6

2

esfuerzos normales en el concreto y en el acero, así como el acortamiento que se produce en la columna. ………………………. (4 puntos) 5. La barra compuesta mostrada en la figura está firmemente sujeta a soportes indeformables. El montaje o

se ejecutó a la temperatura ambiente de 17 C . Calcular los esfuerzos en cada material, si la o

temperatura se eleva a 60 C . Las características se dan en la siguiente tabla: MATERIAL

AREA DE LA BARRA

MODULO DE ELASTICIDAD

ACERO

A a  14cm 2

E a  2,1.10 6 kg / cm 2

ALUMINIO

A al  10cm 2

E al  7,2.105 kg / cm 2

COEFICIENTE DE DILATACION TERMICA

 1   a  1,2.10 5  0   C

 1   al  2,4.10 5  0   C ………………………. (4 puntos)

FECHA

La Molina, 27 de Marzo del 2006

5

SOLUCIONARIO DE PRACTICA CALIFICADA Nº 1 CICLO 2006 – I 1. Calculamos el peso total de la estructura:

  P  33112  2400 (2r ) 2 (2,70)  1,2.1,2.3r   33112  10368r  20357,52r 2 4 

Como nos piden el máximo valor del radio “r”, tenemos que igualarlo con la capacidad portante del terreno.

20357,52r 2  10368r  33112  25000 1,2.1,2 20357,52r 2  10368r  2888  0

De donde:

r  0,2m

2. Dividimos la estructura, tal como se muestra en la siguiente figura:

De la relación de triángulos rectángulos se obtiene:

m 15  x 150



m  0,1x

Luego:

b x  5  m  5  0,1x

A x  (5  0,1x).4  20  0,4x

Px   a Vx   a  A x dx   a  (20  0,4x )dx   a (20x  0,2x 2 ) x

x

0

0

En consecuencia:



 Px dx  a Ea Ax Ea 0

L

F  0 M  0

(20x  0,2x 2 )dx 7,8.10 3 5  0 (20  0,4x) 10 6.2,1.10 6 .7642,13  2,838.10 cm

150

3. Efectuamos un corte por los tres cables y analizamos el equilibrio del bloque ABC Y

A

 

P1  P2  P3  75

………………….. (a)

2,8P2  4P3  150

………………….. (b)

6

Efectuamos el diagrama de desplazamientos y analizamos la relación existente entre triángulos rectángulos.

 2   3 1   3  1,2 4

1,21  4 2  2,8 3  0 Reemplazamos valores:

P L  PL  P L  1,2 1 1   4 2 2   2,8 3 3   0  EA   EA   EA 

1,2.(P1 ).(4)  4.(P2 ).(5)  2,8.(P3 ).(5)  0

4,8P1  20P2  14P3  0

…………………… (c)

Resolvemos las ecuaciones (a), (b) y (c), obteniendo:

P1  30,730T  30730kg

P2  22,567T  22567kg P3  21,703T  21703kg

4. Como la columna es de concreto armado, se debe de cumplir la siguiente relación:

a  c



Pa L PL  c Ea Aa EcAc

Siendo:

E c  15000 210  217370,65kg / cm 2

  A a  4 .0,75 2   1,767p lg 2  11,4cm 2 4 

A c  30 2  11,4  888,6cm 2 Luego:

Pa 

2,1.10 6.11,4 Pc  0,124Pc 217370,65.888,6 7

Además:

Pa  Pc  P

0,124Pc  Pc  50000 Pc  44483,99kg Pa  5516,01kg

Calculamos los esfuerzos en el concreto y acero:

c 

Pc 44483,99   50,06kg / cm 2 Ac 888,6

a 

Pa 5516,01   483,86kg / cm 2 Aa 11,4

Determinamos el acortamiento en la columna:

 columna   a   c 

Pc L 44483,99.300   0,069cm  0,69mm E c A c 217370,65.888,6

5. Eliminamos el empotramiento del lado izquierdo y lo reemplazamos por su reacción.

Se sabe que el desplazamiento en el empotramiento es cero, es decir:

T  P  0

 al (T)L al   a (T)L a 

2,4.10 5.43.25  1,2.10 5.43.38  De donde:

Luego:

P 9530   953kg / cm 2 A al 10

a 

P 9530   680,71kg / cm 2 Aa 14

P.25 P.38  0 5 7,2.10 .10 2,1.10 6.14

P  9530kg

Graficamos el diagrama de fuerza axial o normal.

 al 

PL al PL a  0 E al A al E a A a

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EVALUACIÓN

PRACTICA CALIFICADA Nº 1

SEM. ACADÉMICO

2006 – II

CURSO

RESISTENCIA DE MATERIALES I

SECCIÓN

26E

PROFESOR

Ph.D. GENNER VILLARREAL CASTRO

DURACIÓN

110m

ESCUELA

INGENIERIA CIVIL

CICLO

V

1. Al ensayar a compresión una probeta de concreto, el diámetro original de 6plg se incrementó en 0,0004plg y la longitud original de 12plg se redujo en 0,0065plg bajo la acción de la carga de compresión P  52000lb . Determinar el coeficiente de Poisson  y el módulo de elasticidad E

………………………. (3 puntos) 2. Sabiendo que la estructura mostrada en la figura es de concreto armado y pesa 4881,6kg. Considere su peso específico 2400kg/m 3. Se pide, determinar el valor de “X”, el peso de la zapata combinada y la capacidad portante mínima del terreno para que la estructura no se hunda. ………………………. (4 puntos)

3. Una barra troncocónica AB de sección transversal circular se somete a una carga P en su extremo libre, tal como se muestra en la figura. Los diámetros en los extremos son d 1 y d 2 , la longitud L y el módulo de elasticidad es E. Obtener una fórmula para la energía de deformación U de la barra y determinar el alargamiento  de la barra debido a la carga P

………………………. (4 puntos)

9

4. La barra sólida AB es sujetada por tres cables, tal como se muestra en la figura. Determinar las áreas de las secciones de los cables, si se sabe que el cable 1 es de acero, el cable 2, de cobre y el cable 3,

 a

de aluminio. Además, el área del segundo cable es el triple del primero y el del tercer cable es el doble del primero. Considerar E a  2.10 MPa , E c  10 MPa , E al  0,7.10 MPa , 

c  60MPa y al  120MPa

5

5

5

 160MPa ,

………………………. (4 puntos)

5. Determinar los esfuerzos de montaje que surgen en las barras del sistema, si la barra 3 fue fabricada en

  0,4mm menor de lo proyectado. Considerar E  2.105 MPa , A 2  1,5A1 y A 3  2A1

………………………. (5 puntos)

FECHA

La Molina, 28 de Agosto del 2006 10

SOLUCIONARIO DE PRACTICA CALIFICADA Nº 1 CICLO 2006 – II 1. Calculamos la deformación transversal:

d d f  d i 6,0004  6    6,667.10 5 d di 6

' 

Ahora, determinamos la deformación longitudinal:



 L f  L i 11,9935  12    5,416.10 4 L Li 12

El coeficiente de Poisson será:



' 6,667.10 5   0,123   5,416.10 4

Calculamos el módulo de elasticidad:

E

P     A

 52000

  5,416.10 4. .6 2 4

2. Se sabe que:

 339,57.10 4 psi  3,39.10 6 psi

Pzapata  2Pcolumna  Ptotal

2400.(1,10).(8X).(0,60)  2.(2400).(X).(X).(2,50)  4881,6 12000X 2  12672X  4881,6  0

De donde:

X  0,3m

Calculamos el peso de la zapata combinada:

Pzapata  2400.1,10.0,60.2,4  3801,6kg

Determinamos la capacidad portante del terreno:

qa 

Ptotal A zapata

De donde:



qa 

4881,6 110.240

q a  0,185kg / cm 2 q a ,mín  0,185kg / cm 2  1,85T / m 2 (SUELO BLANDO)

3. Dividimos la estructura, tal como se muestra en la figura:

11

El diámetro a una distancia “x” será:

d x  d1 

(d 2  d 1 ) x L

Calculamos la energía potencial de deformación:

Px2 dx L 4P 2 dx 2P 2 L U   2EA x 0 2Ed1  (d 2  d1 ) x / L2 Ed 1d 2 0 L

Luego, por ser P carga única que actúa en toda la barra, se tendrá:



2U 4PL (ALARGAMIENTO)  P Ed 1d 2

4. Efectuamos un corte y analizamos el equilibrio de la barra sólida AB

F  0 M  0 Y

A



P1  P2  P3  300

………………… (a)

1,5P2  2,5P3  300

………………… (b)

1,5P2 a  2,5P3 a  300a



El sistema estructural es una vez hiperestático y dicha hiperestaticidad lo resolvemos a través del diagrama de desplazamientos.

Aplicamos la relación de triángulos rectángulos, obteniendo:

 2   3 1   3  a 2,5a

1  2,5 2  1,5 3  0 Además:

1 

P1 h ; Ea Aa

2 

P2 (0,6h ) ; EcAc

3 

P3 (0,7h ) E al A al

Reemplazamos valores y obtenemos:

P3 (0,7h ) P (0,6h ) P1h  2,5 52 6  1,5 0 6 10 .10 (3A) 2.10 .10 (A) 0,7.10 5.10 6 (2A) 5

12

0,5P1  0,5P2  0,75P3  0 Resolvemos las ecuaciones (a), (b) y (c):

………………… (c)

P1  117,39kN

P2  156,52kN P3  26,09kN

Aplicamos la condición de resistencia: ACERO:

 a  a



117,39.10 3  160.10 6 A



156,52.10 3  60.10 6 3A



26,09.10 3  120.10 6 2A



A  7,33.10 4 m 2 A  7,33cm 2

COBRE:

 c  c



A  8,69.10 4 m 2 A  8,69cm 2

ALUMINIO:

 al  al



A  1,09.10 4 m 2 A  1,09cm 2

De donde:

A mín  8,69cm 2 Luego:

A a  A  8,69cm 2

A c  3A  26,07cm 2

A al  2A  17,38cm 2 5. Se fija la barra 3 a la viga, obteniéndose las fuerzas internas después del corte efectuado.

F

Y

F

0



P3  2P1

………………… (a)

Analizamos el equilibrio en el nudo D Y

0



2P2 cos 45o  P3 P3  P2 2

………………… (b) 13

Analizamos el diagrama de desplazamientos en el nudo D sin considerar la fuerza P3 , solo consideramos las acciones de las fuerzas P2

Del gráfico tenemos:

 cos 45o   2



  2 2

………………… (c)

Ahora, analizamos el diagrama de desplazamientos del sistema estructural correspondiente a la viga CFH, traccionando la barra central hasta la viga, denominada posición inicial y retornando a una posición final del sistema.

De donde:

  1   3  

P L  P L  P L  2  2 2    1 1    3 3   0,4.10 3  EA 2   EA 1   EA 3 

P 2   P3 2   P3 .1  3 2 3 .  .   0,4.10   2 E(1,5A1 )   2 EA 1   E(2A1 )  4 2  P3   P3   P3    80.10 6      2  3  2A 1   2 A 1   2 A 1  14

4 2  3  2 3   3  80.10 6 3

 3  16,37.10 6 Pa  16,37MPa (TRACCION)

Ahora, determinamos los esfuerzos 1 y  2 , los cuales son de compresión y tracción respectivamente, de acuerdo a los diagramas de desplazamiento mostrados en la página anterior.

1  2 

P P1 P3  1      3   3  16,37MPa (COMPRESION) A1 2  A 1  2A 1

P  1  P2 2  P3  2       3  15,43MPa (TRACCION)  3  A2 2  1,5A1  1,5  2A1  1,5

15

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EVALUACIÓN

PRACTICA CALIFICADA Nº 1

SEM. ACADÉMICO

2007 – I

CURSO

RESISTENCIA DE MATERIALES I

SECCIÓN

26E

PROFESOR

Ph.D. GENNER VILLARREAL CASTRO

DURACIÓN

110m

ESCUELA

INGENIERIA CIVIL

CICLO

V

1. Determinar la fuerza de tracción máxima que puede soportar una varilla de acero de diámetro 5/8”,

donde el esfuerzo de fluencia es f y  4200kg / cm , considerando un factor de seguridad n  2 en 2

un diseño por esfuerzo simple. ………………………. (3 puntos) 2. La ménsula de acero mostrada en la figura está fijada a la columna mediante dos pernos, si la ménsula

soporta una carga P  2500kg y el esfuerzo admisible por corte de los pernos es de 750kg / cm . 2

Diseñar los pernos de fijación sabiendo que en el mercado se dispone de pernos con diámetros de 12, 16 y 20mm ………………………. (3 puntos)

3. Determinar los desplazamientos  x ,  y del nudo B y los esfuerzos normales que surgen en las barras, si L 2  L 3 , A 3  2A 2  4cm y A1  3cm . Considerar E  2.10 MPa 2

2

5

………………………. (5 puntos)

16

4. Para la barra escalonada, se tiene que E c  100GPa ; A c  1500mm ;  c  16,5.10 / C ; 2

6 o

E al  72GPa ; A al  1800mm 2 ;  al  23,9.10 6 / o C . Se pide determinar la fuerza de compresión en o

las barras mostradas después del incremento de temperatura en 96 C y la variación de longitud en la barra de cobre. ………………………. (4 puntos)

5. En la barra rígida AD de 10kN/m de peso es sujetada por dos cables de acero de 1,5cm de diámetro

( E  200GPa y   12,5.10 / C ) y a una temperatura inicial de 23 C . Si el sistema pasara a una 6 o

o

o

temperatura de 40 C . S...