Resolução de exercícios do capítulo 8 do livro Cálculo A PDF

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Resolução de exercícios do capítulo 8, seção 8.7 do livro Cálculo A, sexta edição...

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8.7 – EXERCÍCIOS – pg. 359 Nos exercícios de 1 a 5, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.

1. y = x + 1 , x = 0 , x = 2 e y = 0 y

3

2

R

1

x 1

( x + 1)3 v = π ( x + 1) dx = π . 2

2

2

0

3

= 0

π 3

2

( 27 − 1) = 26

π

3

u. v.

2. y = x 2 + 1 , x = 0 , x = 2 e y = 0 y 5

4

3

2

1

R x 1

2

664

2

(

2

)

2

(

)

v = π x2 + 1 dx =  x 4 + 2 x 2 + 1 dx 0

0 2

  x5 x3 = π  + 2 + x  3 0  5

 32 16  206π = π  + + 2 = u. v. 15  5 3  3. y = x 2 e y = x3 y

1

R x 1

1

[(

v = π  x2

) − (x ) ]dx 2

3 2

0 1

(

)

= π  x 4 − x 6 dx 0 1

 x5 x 7  1 1  2 = π  −  = π  −  = π u. v. 7   5 7  35 5 0 4. y = cos x , y = sen x , x = 0 e x =

π 4

665

y

1

R

x -/4

π

4

(

/4

/2

)

v = π  cos2 x − sen2 x dx 0 π

4 1 + cos 2x 1 − cos 2x = π  − 2 2 0  π

  dx 

4

= π  cos 2 x dx 0 π

4 1 = π sen 2 x 2 0

=

π π π  sen  = u. v. 2  2 2

5. y = x 3 , x = −1, x = 1 e y = 0 y

1

R -1

x 1

-1

666

1

( )

v = 2π  x 3 dx 2

0 1

= 2π  x6 dx 0

x7 = 2π 7

1

= 2π 0

1 2 = π u. v. 7 7

Nos exercícios de 6 a 10 determinar o volume do solído gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R, delimitada pelos gráficos das equações dadas. 6. y = ln x , y = −1 , y = 2 e x = 0 y

2

1

R

x 1

2

3

4

5

6

7

8

-1

2

( )

2

v = π  e y dy −1 2

1 = π  e dy = π e 2 y 2 −1

2

2y

=

−1

π 4 π 1 e − e−2 =  e4 − 2  u .v 2 2  e 

(

)

7. y = x 2 , y = x 3

667

y

1

R x 1

2 1  1 2  v = π   y 3  −  y 2   dy      0 1

1

= π   y  0

2

3

− y  dy  1

 53  y2  3 1  y =π −  = π −  2   5 5 2  3 0 6 −5 π u. v. =π = 10 10 8. x = y 2 + 1 , x =

1 , y = −2 e y = 2 2 y

2

1

R

x 1

2

3

4

5

-1

-2

668

2  2 2 1  v = 2 π  y + 1 −    dy  2   0  2

(

)

2 1  = 2 π  y 4 + 2 y 2 + 1 −  dy 4 0 2

 = 2 π  y 4 + 2 y 2 + 0

3  dy 4

 y5 2 3 = 2 π + y 3 + y 4  5 3

2

  0

3   32 2 = 2 π + . 8 + . 2  4   5 3 397 π u. v. = 15 1 1 , x = 0, y = e y = 4 x 4

9. y =

y

4

3

2

1

R x 1

2

3

4

5

2

1 v = π    dy 1  y 4 4

4

=π

 1

4

y −1 1 dy π = y2 −1

4

1

4

1 1  1  15π  u. v. = −π  − = −π  − 4  =  4 4 1 4  4 

669

10. x = 3 + sen y , x = 0 , y =

− 5π 5π e y= 2 2

y 5 /2 2 3 /2 

R

/2

x 1

2

3

4

- /2 - -3/2 -2 -5/2

5π

v=π

π (3 + sen y ) dy

−5

5π

=π

2

2

2

2

π (9 + 6 sen y + sen y )dy 2

−5

2

1 1  = π 9 y + 6( − cos y) + sen y cos y + 2 2 

5π

 2 y  −5 π

2

− 5π 1 − 5π   5π 1 5π = π 9 . + . −9. −  2 2 2 2 2 2    90π 10π  = π +  4   2 95π 2 u .v = 2

Nos exercícios de 11 a 16, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas ao redor dos eixos dados. 11. y = 2 x − 1 , y = 0 , x = 0 , x = 4 ao redor do eixo dos x

670

y 7 6 5 4 3 2 1

Eixo de rotação 1

2

3

x

4

-1

4

v = π  ( 2 x − 1) dx 2

0 4

(

)

= π  4 x 2 − 4 x + 1 dx 0 4

  x3 x2 = π  4 − 4 + x  2 0  3 =

172 π u. v 3

12. y 2 = 2 x , x = 0 , y = 0 e y = 2 , ao redor do eixo dos y y

2

Eixo de rotação

1

x 1

2

671

2

 y2 v = π    dy 0 2  2

2

= π 0

y4 dy 4 2

π y5 8π u. c. = = 4 5 0 5 13. y = 2x2 , x = 1, x = 2 e y = 2, ao redor do eixo y = 2 y 8 7 6 5 4 3 2

Eixo de rotação

1

x 1

2

(

)

2

2

v = π 2 x 2 − 2 dx 1 2

(

)

= π  4 x 4 − 8 x 2 + 4 dx 1 2

  x5 x3 = π 4 − 8 + 4x  3 1  5 152 = π u. c. 15 14. x = y 2 e x = 2 − y 2 ; ao redor do eixo dos y

672

y

2

Eixo de rotação

1

x 1

2

-1

-2

1

((

) ( ) )dy

(

)

v = 2π  2 − y 2 − y 2

2

0 1

= 2π  4 − 4y 2 + y 4 − y 4 dy 0 1

(

)

= 2π  4 − 4 y 2 dy 0 1

4   = 2π 4y − y 3  3 0  4  = 2 π 4 −  3  16 = π u. v. 3 15. y = x + x2 , y = x 2 − 1 e x = 0 ; ao redor do eixo y = 1

673

y

2

Eixo de rotação 1

x -1

1

-1

-2

0

[(

)]

) (

V = + π x 2 −1 −1 − x 2 + x −1 dx 2

2

−1 0

(

)

= + π  − 2 x3 −3 x 2 + 2 x + 3 dx −1

  x4 x3 x2 = + π − 2 − 3 + 2 + 3 x  4 3 2  

0

−1

 1  = −π  − + 1 + 1 − 3   2  3π u. v. = 2 16. y = x

2

3

e y = 4 ; ao redor dos eixos x = − 9 , y = 0 e x = 0 y

Eixo de rotação

3

Eixo de rotação

4

2

1

x

Eixo de rotação -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

674

Eixo x = −9 4 2 2 3   3 V = π   y 2 + 9  −  − y 2 + 9   dy      0 3 3  3 2  = π   y 2  + 18y 2 + 81− 81+ 18y 2 − y 3  dy    0 4

4

4

2 72 2304 = π 36 y 2 dy = π 36 y 2 . = π. π u. v . 32 = 5 5 5 0 0 3

5

Eixo x = 0 4

2

3 V = π   y 2  dy   0 4

4

y4 = π  y dy = π 4 0 3

= π . 64 = 64 π u . v . 0

Eixo y = 0 8

V = 2π  42 − x  0

4

3

 dy  8

7   x 3  = 2π 16 x −  7  3 0  3   1024 π = 2π  16 . 8 − . 128  = u. v. 7 7  

17. Encontra o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada por y 2 = 16x e y = 4 x .

675

y 4

3

2

1

Eixo de rotação

x

1 -1

-2

1

(

)

V = π 16 x − 16 x 2 dx 0 1

 x2 x3   = π 16 − 16 3  0  2  16  = π 8 −  3  8π u. v. = 3 18. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2 , da região limitada por y = 1− x 2 , x = − 2 , x = 2 e y = 2. y 2

Eixo de rotação

1

x -2

-1

1

2

-1

-2

-3

-4

676

2

(

V = π 1 − x2 − 2

)

2

dx

−2

2

(

= π  −1 − x 2

)

2

2

(

)

dx = π  1 + 2 x 2 + x 4 dx

−2

−2

2

 x3 x5  = π x + 2 +  3 5  −2  2 32   = 2 π 2 + . 8 +  3 5   412π u. v. = 15 19. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2 , da região limitada por y = 3+ x 2 , x = − 2 , x = 2 e y = 2 . y 8 7 6 5 4 3

ixo de rotação 2 1

x -2

2

(

-1

1

2

)

2

V = 2π  3 + x 2 − 2 dx 0 2

(

= 2π 1 + x 2 0

)

2

dx =

412π u. v. 15

20. Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = − 2 , da região limitada por y = cos x , y = − 2 , x = 0 e x = 2π .

677

y

1

x -/2

/2

3/2



2

-1

Eixo de rotação

-2

2π 2 V = π  (cos x + 2) dx 0 2π

(

)

= π  cos 2 x + 2 cos x + 4 dx 0 2π

1  1 = π  x + sen 2 x + 2 sen x + 4 x  4 0 2

1  = π . 2 π + 4 . 2 π  2  2 = π(π + 8π ) = 9π u. v. 21. Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2 , da região entre os gráficos de y = sen x , y = sen3 x de x = 0 ate x =

π 2

.

y

Eixo de rotação 2

1

x /2

678

π

 [(sen

V=π

2

)

2

2

]

3

x − 2 − (sen x − 2 ) dx

6

x − 4 sen 3 x − sen 2 x + 4 senx dx

0

π

=π

2

 (sen

)

0

=

4 3 π − π 2 u. v. 3 32

Nos exercícios de 22 a 27, calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado. 22. y = 2x3 , 0 ≤ x ≤ 2 , eixo dos x 2

A = 2π  2x 3

1 + 36x 4 dx

0

1 = 4π . 1 + 36x 4 144

(

=

π 54

(577

23. x =

3

)

2

2 . 3

2

0

)

577 − 1 u. a.

y , 1 ≤ y ≤ 4 , eixo dos y 4

1 dy 4y

A = 2π  y 1 + 1 4

4 y +1 dy 4y

= 2π  y 1 4

= 2π 

1

(1 + 4 y ) 2 dy y 2 y

1 4

1

= π  (1 + 4 y ) 2 dy 1 3

=

π (1 + 4 y ) 3

4

2

4 2

1

3 3 π 2 = . 17 2 − 5 2 

4 3

=

π 6

(17



)

17 − 5 5 u. a.

679

24. y = x 2 , − 2 ≤ x ≤ 2 , eixo dos x 2

A = 2π  x 2 1 + 4 x 2 dx 2

x

2

1 + 4x 2 dx

u 2 = 4 x2 u = 2x x=

u du ∴ dx = 2 2

u2 du 2  4 1+ u . 2 u = tg θ du = sec 2 θ dθ 1 + u 2 = sec θ

1 tg 2 θ sec θ. sec2 θ dθ 8 1 =  sec3 θ tg 2θ dθ 8 1 =  sec 3 θ sec 2 θ − 1 dθ 8 1 =  sec 5 θ − sec 3 θ dθ 8

I=

(

(

)

)

1 1 1 1  sec 3θ tgθ −  secθ tg θ + ln sec θ + tg θ  + C 32 32  2 2  3 1 1 1 = ln 1+ u 2 + u + C 1+ u 2 . u − 1+ u 2 . u − 64 64 32 3 1 1 1 = 1 + 4 x2 . 2 x − 1+ 4 x2 . 2 x − ln 1 + 4 x2 + 2 x + C 32 64 64 =

680

2

3 1 1  1  A = 2π  1 + 4x 2 . 2x − 1 + 4 x 2 . 2 x − ln 1 + 4 x 2 + 2 x  64 64  32  −2

17 17 17 1 = π − + ln  2 4 32  ≅ 53 .226

25. y =

17 − 4  17 + 4 

1 x , 0 ≤ x ≤ 4 , eixo dos x 2

4 1 1 A = 2π  x 1 + dx 2 4 0 4

1 5 x dx = 2π . . 2 2 0 =

5π x2 . 2 2

4

0

5 π 16 . 2 2 = 4 5 π u. a. =

26. y = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤1 , eixo dos x

1

A = 2π  4 − x 2 1 + 0 1

= 2π



4− x 2

0

x2 dx 4 − x2

4 −x2 + x2 dx 4 −x2

1

= 2 π  2 dx 0

= 4π x

1 0

= 4 π u. a. 27. y = 16 − x2 , − 3 ≤ x ≤ 3 , eixo dos x

681

3

A = 2π  16 − x 2 . 1 + −3 3

= 2π  16 − x 2 . −3

16 − x 2 + x 2 dx 16 − x 2

3

= 2π  16 − x 2 . −3

= 2π . 4x

x2 dx 16 − x 2

4 16 − x 2

dx

3 −3

= 48π u . a . 28. Calcular a área da superfície obtida pela revolução da parábola y2 = 8 x, 1 ≤ x ≤ 12 , ao redor do eixo dos x . 12

A = 2 π  8x . 1 + 1 12

= 2π  8x . 1

16 dx 8x

8x + 16 dx 8x

12

= 2π  (8 x + 16 .)

1 2

dx

1 3

12

1 (8 x +16 .) 2 = 2π . . 3 8 2 1 3 3 1 2 = 2 π . . 112 2 − 24 2   8 3 8π = 28 7 − 3 6 3

[

]

29. Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta y = 4x , 0 ≤ x ≤ 2 : a) ao redor do eixo dos x 2

A = 2 π 4 x . 1 + 16 dx 0

x2 = 2π 17 . 4 2

2

0

= 16 17 π u . a .

682

b) ao redor do eixo dos y

8

A = 2π 0

1 y . 1 + dy 4 16

1 17 y 2 = 2π . . . 4 16 2

8

0

= 4 17 π u. a.

683...