Resumen de Formulas de AM II PDF

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Summary

Temas incluidos:
- Campo Escalar
- Función Vectorial
- Campo Vectorial
...

Description

Función Vectorial

Dada una función f(t) = (f1(t);f2(t);….;fn(t))

 Límite El límite se define como el límite de cada una de las funciones componentes. (siempre y cuando exista para cada una de ellas)

 Continuidad Decimos que f(t) es continua en t=a, si cada una de sus funciones componentes es continua en dicho punto.  Derivada: La derivada de una función vectorial, es el vector compuesto por las derivadas de cada una de las funciones componentes. Por definición: Lim

F(P0 + h) – F(P0)

h 0

h

 Recta Tangente: La ecuación de la recta tangente esta dada por: (vectorial)

(x;y) = (f1(P0);f2(P0)) + λ.(f’1(P0);f’2(P0)) (parametrica)

x = f1(P0)+ λ.f’1(P0) y = f2(P0) + λ.f’2(P0) (cartesiana)

Despejar λ de x (en paramétrica)

Reemplazar en la λ de y  Primitiva: Se obtiene integrando cada una de las funciones componentes.

Campo Escalar

Dada una función f(x1,x2,…,xn) = z

 Curvas de nivel: Curva de nivel k conjunto formado por los puntos del dominio para los cuales se verifica: f(x,y) = k Ck = {(x;y) e Dom f / f(x,y) = k}  Limite y continuidad: Decimos que z es continua en P0 = (x0,y0) , si verifica las siguientes condiciones: 1. Existe f(P0) ; P0 pertenece al Dom f 2. Lim

f(x;y) = L (no finito)

(x;y)  (x0,y0) 3. L = f(P0) Limite por derecha/izquierda Lim [ Lim f(x,y)] yy0 xx0 Limite por arriba/abajo Lim [ Lim f(x,y)] xx0 yy0

 Derivada: Derivada respecto de un vector (v): Df(P0; v) = Lim h0

f(P0 + h.v) – f(P0) h

Derivada direccional (respecto de un versor (vu) ): Df(P0; vu) = Lim

f(P0 + h.vu) – f(P0)

h0

h

Ó Df(P0; vu) = 1 . Df(P0; v) |v| Si vu = iu = direccion del eje x = (1,0) : derivada parcial con respecto eje x Si vu = ju = direccion del eje y = (0,1) : derivada parcial con respecto eje y Derivada parcial usando reglas de derivación:

Cuando se deriva con respecto a x la y es constante Cuando se deriva con respecto a y la x es constante  Vector Gradiente: Sea f un campo escalar con derivadas parciales continuas en P0, se define al vector gradiente como el vector cuyas componentes son las derivadas parciales. VF(P0) = (f’x1(P0);f’x2(P0);…;f’xn(P0))  Formula de cálculo de derivada direccional: Df(P0; vu) = vu. VF(P0) o

Cálculo de derivada direccional máxima Dfmáx(P0,vumax) = |VF(P0)|  valor vumax = VF(P0) |VF(P0)|

o

Cálculo de derivada direccional mínima Dfmin(P0,vumin) = -|VF(P0)|  valor vumin = -VF(P0) |VF(P0)|

o

Cálculo de derivada direccional nula Valor = 0 vunulo = (perpendicular vector) (a,b) = (-b,a)

 Teorema de Shwarz

Para campo escalar de 2 variables independientes Dado z = f(x,y) tal que existen y son continuas F’ x, F’y, F’xy en P0 => Existe F’yx en P0 y se verifica que Fxy = Fyx (en P0)  Cálculo diferencial Sea f(x,y) un campo escalar y sea P0 = (x0,y0) interior al dominio de F: 1. Incremento de F (ΔF)

ΔF = F(x0 + Δx ; y0 + Δy ) – F(x0,y0) 2. Si f posee derivadas parciales en P0 el diferencial de f en dicho punto se define: dF (P0; Δx; Δy) = F’x (P0). Δx + F’y(P0). Δy 3. Campo escalar diferenciable

f es diferenciable en P0 si se verifica: ΔF = dF (P0; Δx; Δy) + Error (Δx; Δy)  Aproximación por diferencial:

Cerca de (x0,y0) se verifica que: F(x0 + Δx ; y0 + Δy ) ≈ F(x0,y0) + dF (P0; Δx; Δy)  Aproximación por ecuación del plano tangente: F(x,y) ≈ F’x(x0,y0).(x-x0) + F’y(x0,y0).(y-y0) + F(x0,y0)  Diferencial de 2º orden: D2F(x,y) = Fxx(x,y). Δx2 + 2.Fyx(x;y).Δy.Δx + Fyy(x,y)Δy2  Polinomio de Taylor: Mejora la aproximación realizada mediante diferencial o plano tangente siempre que sea grado ≥ 2 Si f posee derivadas parciales continuas hasta el orden n+1 en el punto (x0,y0)

la función puede aproximarse de la siguiente manera: Pn(x0,y0) = F(x0,y0) + dF(x0,y0) + 1/2! . d2F(x0,y0) + …. + 1/n! dnF(x0,y0)

Si n = 2 P2(x0,y0) = F(x0,y0) + F’x(x0,y0)(x-x0) + F’y(x0,y0)(y -y0) + 1/2! [F’xx(x0,y0).(x-x0)2 + 2.F’xy(x0,y0)(x-x0)(y-y0) + F’yy(x0,y0)(y-y0)2]

Mc Laurin (0,0)

Campo Vectorial

Sea f(x1,x2,x3) = (f1(x1,x2,x3);f2(x1,x2,x3);…;fn(x1,x2,x3)) : RnRm  Matriz Jacobiana (mxn) Sea f un campo vectorial con n ≥2 y m≥2.

Si f posee derivadas parciales continuas llamamos matriz jacobiana de F Jf(x1,x2,…,xn) a la matriz en cuyas filas ubicamos al vector gradiente de cada uno de los campos escalares componentes.

 Composición de funciones Para que sea posible la composición entre 2 funciones: La dimensión del espacio de llegada de la primer función que actua debe ser la misma que la dimensión del espacio de salida de la segunda. (Fog)

 actua primero la g y luego la F y la función resultante depende de las

variables de la función que actua primero  Regla de la cadena H = Fog = Dh(P0) = F’[g(P0)].g’(P0)...