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Resumen para final de algebra y geometría analítica Temas: Numero complejos Geometría analítica Algebra lineal Vectores Sistema de ecuaciones lineales Matrices determinantes Análisis combinatorio Números complejos: es el par ordenado de números reales escrito como z=(x,y) X es la parte real de z Y es la parte imaginaria de z Z=x + i y

Sistema numérico ℕ = número natural Z= número entero Q= número racional I= número irracional R= números reales

Numero natural: un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de ciertos conjuntos (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Numero entero: es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales ℕ={1,2,3,4…..} , sus opuestos y el cero. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que cero y todos los enteros positivos.

Numero racional: Los números racionales son todos aquellos números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común con un números y denominador distinto de cero.

Numero irracional: es un número que no puede ser expresado como una fracción m⁄n, donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero. Es cualquier número real que no es racional, y su expresión decimal no es ni exacta ni periódica.

Numero reales: el conjunto de los números reales incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales

Numero imaginario: es un numero complejo cuya parte real es igual a cero por ejemplo 3i es un numero imaginario, así como i o –i son también número imaginarios.

Propiedades 1. El producto de complejos es ley de composición interna (el producto de otro complejo da otro complejo). 2. Propiedades asociativa de números complejos (Z1. Z2) Z3 o Z1(Z2. Z3) Se puede tomar los dos primeros o los dos últimos. 3. Elemento neutro: El elemento neutro es 0 + 0 i, puesto que Z1. Zn=Z1 (a, b). (x, y) = (a, b) 4. Todo complejo no nulo admite inverso multiplicativo Z.Z-1 =Z-1 Z= 1,0 neutro 5. Conmutativa: Z1. Z2=Z2. Z1 6. Distributiva: Z1 (Z2+ Z3) = Z1 Z2 + Z1 Z3

Método de sustitución: 1. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones, que quedará en función de la otra incógnita (seguiremos teniendo una ecuación). 2. En la otra ecuación que no hemos utilizado, se sustituye la misma incógnita por el valor obtenido en el paso 1. 3. Despejar la única incógnita que nos quede. Obtenemos el valor numérico de una incógnita. 4. Sustituir la incógnita despejada en el paso 3 por su valor numérico (también obtenido en el paso 3) en la ecuación obtenida en el paso 1. 5. Operar para obtener el valor numérico de la otra incógnita.

Método de igualación: El método de igualación, consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.

Método determinante: El método determinante consiste en sacar el determinante principal (ΔP), luego los determinantes de X (ΔX) y de Y (ΔY) las operaciones se lo hacen en cruzado

Unidad imaginaria Z1= i= (0,1) Se verifica real puro X i = Nº imaginario puro

Propiedades de la potencia de i los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i , se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i0= 1 i 1 =i i 2 =-1 i 3 =-i i 4 =1

Forma binomica La forma binómica de un número complejo es la expresión a+bi, a se llama la parte real y b la parte imaginaria. Si la parte imaginaria es nula, entonces el número es real. Por tanto, los números reales están contenidos en los números complejos. Se llaman números imaginarios puros a los que tienen parte real igual a cero.

Forma trigonométrica Z= ꝭ (cosϕ+i senϕ)

Forma polar Z= ꝭϕ

Propiedades de los números complejos y sus conjugados 1. La suma de 2 números complejos conjugado e igual al duplo de la parte real. El producto de 2 complejo conjugado es siempre un número real no negativo Z+ =2 Re ꝭ (a + bi) + (a – bi) = 2ª 2a + bi-bi Producto : Z+ Real ≥0 (a + bi). (a – bi) = a2 – abi + bia- bi2 = (a2 + b2) = real ≥ 2. Un numero complejo es real si solo si es igual a su conjugado Z € ℝeales ↔ Z= a + bi = a – bi a + ai = a – ai a=a

Propiedades del modulo 1. El módulo de todo numero complejo es mayor o igual que su parte real |a| ≥|z| 2. El producto de cualquier número complejo por su conjugado es igual al cuadrado del modulo Z. = |Z|2 3. El modulo del producto de 2 complejos es igual al producto de los módulos |Z1. Z2|= |Z1|. |Z2| 4. El módulo de la suma de 2 números complejos es menor o igual que la suma de los módulos |Z1 + Z2| ≤ |Z1|+ |Z2| 5. El módulo de una potencia de exponente natural es igual a la potencia del modulo |Zn| = |Z|n

Raíz cuadrada comp. En forma binomica X1= ±√| Z| +a 2 √ Z

X2= ±√| Z| a 2

La raíz cuadrada de un numero complejo dado en forma binomica presenta 2 Z| +a raíces que son igual a= X1= ±√| 2

X2= ±√| Z| a 2

Operaciones en forma trigonométrica Z1= ꝭ1 ( cos ϕ1 + I sen ϕ1) Z2= ꝭ2 ( cos ϕ2 + i sen ϕ2)

Producto Z1. Z2 = ꝭ1. ꝭ2 [(cos (ϕ1+ ϕ2) + i sen (ϕ1 + ϕ2)] Cociente Z1 = ꝭ1 [(ϕ1 - ϕ2) +i sen (ϕ1 - ϕ2)] Z2 ꝭ2

Potencia formula de Moivre La fórmula de De Moivre, afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que: Zn = ꝭn [cos nϕ+ i sen nϕ]

Unidad II geometria analítica Geometria analítica Estudia la figura geométrica utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraico, las coordenadas se representan por grupo numérico y la figura por ecuaciones la geometria analítica es la parte de la matemática que establece una conexión entre el álgebra y la geometria eucleriana y en la cual se estudian figura referida a un sistema de coordenada.

Sistema de coordenadas cartesiana Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica)

Distancia entre dos puntos Para encontrar la distancia entre dos puntos P (x1, y1) y Q (x2, y2) que no estén en la misma recta vertical u horizontal, construimos un triángulo rectángulo que tenga al segmento PQ por hipotenusa, como se muestra en la figura, las longitudes de los lados de los catetos son |X2 – X1| y |Y2 – Y1| La

distancia entre P y Q es la longitud de la hipotenusa del triángulo. Recordemos que el teorema de Pitágoras dice que "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos",

Entonces: d (P, Q)2= (X2-X1 )2 + (Y2-Y1)2 y, por lo tanto: d (P, Q) = √(X2-X1 )2 + (Y2-Y1)2

División de un segmento en una razón dada Para determinar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) en la razón r = P1P PP 2, se aplica el siguiente procedimiento. Por los puntos P1, P, y P2 se trazan perpendiculares a los ejes coordenados; como las rectas paralelas P1 Q1, PQ y P2 Q2 interceptan segmentos proporcionales sobre las dos transversales P1 P2 y Q1 Q2 se establece que P1P =Q1Q PP2 QQ2

Las coor Q2(X2 ,0)

X1 ,0), Q (X ,0) y distancia

dirigida de cada segmento Q1Q= x-x1 = − y QQ2 = x2 – x, se sustituye en la ecuación de la razón, y resulta: r= P1P =Q1Q = x-x1 = r PP2 QQ2 x2-x Al despejar para x tenemos: x – x1 = r (x2- x) x – x1 = rx2- rx x + rx =x1 + rx2 x (1+r ) = x 1+ rx2 r ∴x = x1+ rx2 Es r ≠ −1 1+ r Teorema Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) en la razón dada r = P1P PP 2 x = x1+ rx2 x = y1+ ry2 siendo r ≠ −1 1+r 1+ r

Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices Área de una región triangular. Sean P1 (X1, Y1), P2 (X2, Y2) y P3 (X3, Y3) los vértices de un triángulo, su área se puede obtener sumando las áreas de los trapecios Q1Q3 P3P1 y Q3Q2 P2P3, y restando el área del trapecio Q1Q2 P2P1. Dichos trapecios se forman trazando perpendiculares de los vértices del triángulo al eje x.

El área de un trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases (lados paralelos); por lo tanto, el área del triángulo P1P2P3 es:

A = área del trapecio Q1Q3 P3P1 + área del trapecio Q3Q2 P2P3- área del trapecio Q1Q2 P2P1

Lugares geométricos En el estudio de la geometría analítica se nos presentan dos problemas básicos que son inversos entre sí: 1. Dada una ecuación, determinar el lugar geométrico que representa, es decir, trazar la gráfica correspondiente. 2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática. Un lugar geométrico es el punto o conjunto de puntos que satisfacen una o varias condiciones.

La pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical es un número que mide que tan inclinada esta la recta y hacia donde esta inclinada. La recta de la figura por cada 3 unidades que avanza hacia la derecha, sube 4 unidades

0

decimos que la pendiente de la recta es 4 3. Usualmente se denota con la letra m a la pendiente. Para encontrar la pendiente de una recta no vertical, tomamos dos puntos P (x1 y1) y Q (x2 y2) de la recta y calculamos el cociente: m= y2 – y1 x2 - x1

Si tomamos otro par de puntos P' y Q' en la misma recta, como se muestra en la figura, se obtienen dos triángulos rectángulos semejantes, y por lo tanto, la razón de sus catetos es la misma. Es decir, la pendiente de una recta puede determinarse usando dos puntos cualesquiera. Observaciones: La pendiente es positiva cuando la recta esta inclinada hacia la derecha. La pendiente es cero cuando la recta es horizontal. La pendiente es negativa cuando la recta esta inclinada hacia la izquierda. Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta está más inclinada. Una recta vertical no tiene pendiente.

Ecuación punto pendiente y – y1 = m (x – x1) Esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación punto-pendiente de la recta, ya que la obtuvimos conociendo la pendiente y un punto de ella, y recíprocamente si vemos una ecuación de este tipo, podemos saber por qué punto pasa la recta y que pendiente tiene. Podemos escribir la ecuación de una recta de varias maneras, dependiendo de los datos que sepamos de ella., y recíprocamente, si tenemos la ecuación de una recta, podemos llevarla a distintas formas, y obtener de esas expresiones distintas informaciones acerca de la recta. Un caso importante es cuando conocemos la pendiente m y el punto donde corta al eje Y, que usualmente Se denota con la letra b y se llama ordenada al origen. Tomando el punto P (0, b) y la pendiente dada. y - b= m (x –0) que también se puede escribir como: y = mx + b A esta última forma de la ecuación de la recta se le conoce como la ecuación pendiente-ordenada al origen de la recta.

Ecuación general de la recta

la ecuación general de la recta y se obtiene pasando todos los términos de la ecuación a un miembro de manera que este quede igualado a cero. Ecuación general: Ax +By +C=0.

Ecuación de la recta en forma simétrica A partir de la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 si C ≠ 0, podemos pasarlo al otro lado de la igualdad y dividir entre -C para obtener Ax + By = 1 -C -C si, además, A y B también son distintos de cero, podemos escribir la ecuación anterior como x + y C C A

=1

B

llamamos ahora a = − C y b =− C y escribimos, A B

Ecuación simétrica= x + y = 1 a b esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación simétrica de la recta y tiene la ventaja de que podemos ver explícitamente en ella los puntos en los que la recta corta a los dos ejes, en efecto, si hacemos x = 0, obtenemos y = b, y con y = 0, obtenemos x = a, es decir, la recta corta al eje Y en y = b y corta al eje X en x = a.

Ecuación de la recta e La recta L queda determin desde el origen y el ángul

erpendicular trazada dicular forma con el eje

de las x. La perpendicular OA a la recta L, representada por P, se considera siempre positiva por ser una distancia. EI ángulo W engendrado por OA varia de 0°≤ W < 360°. Si damos valores a p y W, la recta L trazada por A (x1, y1) queda determinada por la ecuación de la recta en su forma normal que se obtiene en la forma siguiente:

Observando la figura anterior, tenemos: cos w = x1 p

sen w =y1 p

Despejamos: x1= p cos w

Despejamos: y1 = p sen w

Sustituimos los dos valores anteriores en A = (x1, y1), con lo cual obtenemos las coordenadas del punto A, que son: A = (p cos W, p sen w) Para su parte, la pendiente m de OA es: m =tan w m =-cot w = cos w sen w Sustituyendo en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente los valores de (x1, y1) y de m, queda: y – y1= m (x – x1) y -p sin w = cos w x- p cos w sin w

Quitamos el denominador sen w y desarrollamos: y sen w -p sen2 w = -cos w (x -p cos w) = -x cos w + p cos2 w Agrupando: x cos w + y sen w = p sen2 w + p cos2 w Factorizamos el segundo miembro: x cos w + y sen w = p (sen2 w + cos2 w) Aplicamos la identidad pitagórica: sen2 w + cos2 w = 1 sustituimos: x cos w + y sen w = p De donde x cos w + y sen w- p = 0

Forma normal de la ecuación de la recta

Angulo de intersección entre dos rectas Si la recta L1, con ecuación y = m1x + b1, se intercepta con la recta L2, con ecuación y = m2x + b2, se forman dos ángulos, el ángulo θ y su suplementario 180°- θ. Para obtener el valor del ángulo θ procedemos en la forma siguiente: Como "en todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a el":

el problema lo resolveremos usando la función tangente; en consecuencia, podemos indicar que; tan θ =tan (α2- α1).

En trigonometría se demostró que la tangente de la diferencia de dos ángulos es; Tan (α2- α1) = tan α2 – tan α1 1 +(tan α1) (tan α2 como tanα2 = m2 tanα1 = m1 Sustituyendo queda: Tan (θ) = m2 - m1 1+(m1) (m2)

fórmula para obtener el valor del Angulo θ

Para aplicar esta relación se debe tener sumo cuidado al determinar cuál es la pendiente m1 y cual m2. Para ello se deben seguir las indicaciones siguientes: A. Si las dos pendientes son positivas, m2 es la mayor y m1 la menor. B. Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m2 es la pendiente negativa y m1 la positiva. C. Cuando las dos pendientes son negativas, m2 tiene mayor valor absoluto.

Familia de la recta La ecuación de una recta, como ya lo estudiamos, queda determinada por dos condiciones independientes: dos puntos, la pendiente y un punto, la pendiente y su intersección con el eje, y la intersección de la recta con los dos ejes coordenados. En consecuencia, aceptamos que una recta que satisface una sola condición, no es una recta única, ya que hay infinidad de rectas que cumplen la misma condición. Todas las rectas que satisfacen una condición geométrica previamente establecida forman una familia o haz de rectas. En la ecuación de la recta y = mx + b, las constantes m y b son los parámetros. Si asignamos un valor particular a uno de los parámetros, se obtiene la ecuación de una familia de rectas del otro parámetro que identificaremos como K (K debe ser un número real).

Unidad III Algebra vectorial

Vectores llamamos vector a todo segmento orientado del plano que posee dirección, sentido, módulo y punto de aplicación.

Elementos de un vector: Dirección de un vector: la dirección de un vector es la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a éste. (Inclinación) Sentido: el sentido del vector es el que va desde el punto de aplicación al extremo. (La flechita) Módulo: el módulo de un vector es la longitud del segmento representado como | |. El mismo es siempre positivo o cero, puesto que no existen longitudes negativas. Módulo de un vector a partir de sus componentes

Módulo a partir de las coordenadas

Punto de aplicación: es variable, pues es el punto sobre el cual se supone actúa el vector.

El producto mixto (o también conocido como triple producto escalar) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado un escalar.

Se clasifica en Vectores fijos: tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen. Vectores desplazables: Son lo que están la misma dirección Vectores libres: (son lo que se trasladan en el plano o en el espacio) Vectores equipolentes: dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, sentido y dirección. Vectores opuestos: los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección y distinto sentido. Vectores unitarios: los vectores unitarios tienen como módulo la unidad, también se denomina versor. Vector de posición: el vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición. Vectores ortogonales: dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero. Vectores orto-normales: dos vectores son orto-normales entre sí, si son perpendiculares y unitarios.

Operaciones con vectores: Suma de vectores: Método del polígono: se colocan los vectores tales que el extremo del primero coincida con el punto de aplicación del segundo, y así sucesivamente. Suma de n vectores que formará un polígono de n lados. Método del paralelogramo: se grafican los vectores de modo que sus orígenes coincidan, se trazan paralelas a cada vector formando un paralelogramo de forma que la diagonal principal de éste coincide con la suma. Suma sólo de dos en dos. Forma analítica: se suman sus respectivas componentes, coordenadas X y coordenadas Y cada una con la que corresponde.

Propiedades de la suma de vectores: 1.Conmutativa. 2. Asociativa. 3. Elemento neutro.

4. Vector opuesto para todo vector a, existe el vector −a  tal que: a+ −a=0  al vector −a  lo llamaremos opuesto de a . Resta de vectores Método paralelogramo: para restar dos vectores u y v se suma el vector u con el opuesto de v. Forma analítica: Similar a la suma sólo que se resta. Producto de un vector por un escalar: El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a éste si el escalar es negativo. Sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar. Sean P un escalar y a un vector, el producto de P por a se representa Pa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar Pa=Pax i+Pay j+Paz k Con notación matricial es:

Propiedades del producto de un vector por un escalar 1. Asociativa. 2. Distributiva respecto de la adición de vectores. 3. Distributiva respecto de la adición de escalares. 4. Elemento neutro.

Combinación lineal de vectores Un vector V. es una combinación lineal de vectores V1, V2, V3... Vn si existen los escalares C1, C2, C3.... CN tales que V=  C1 V1 + C2 V2 + C3 V3 +.... +CN Vn

Coordenadas de un vector: si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son

Las coordenadas del vector coordenadas del origen.

son las coordenadas del extremo menos las

Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas.

En los sistemas de ecuaciones, se debe buscar los valores de las incógnitas, con los cuales, al reemplazar, deben dar la solución planteada en ambas ecuaciones. A cada una de las ecuaciones se les denomina tam...